陳立群

1. 上海大學(xué)力學(xué)系, 上海 200444; 2. 上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所, 上海 200072; 3. 上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200072; E-mail: lqchen@staff.shu.edu.cn

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軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的能量關(guān)系和守恒量研究進(jìn)展

陳立群

1. 上海大學(xué)力學(xué)系, 上海 200444; 2. 上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所, 上海 200072; 3. 上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200072; E-mail: lqchen@staff.shu.edu.cn

綜述了軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁的能量關(guān)系和守恒量的研究進(jìn)展。分別對(duì)于橫向線性振動(dòng)、橫向非線性振動(dòng)和耦合平面振動(dòng), 確定能量變化的關(guān)鍵量以及軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)總機(jī)械能的時(shí)間導(dǎo)數(shù), 結(jié)果表明總機(jī)械能不是常數(shù)。對(duì)于上述振動(dòng), 構(gòu)造在振動(dòng)過(guò)程中保持不變的守恒量, 可以用來(lái)證明直線平衡位形的穩(wěn)定性以及檢驗(yàn)數(shù)值算法。最后提出若干有望取得進(jìn)展的研究課題。

能量關(guān)系; 守恒量; 軸向運(yùn)動(dòng)弦線; 軸向運(yùn)動(dòng)梁; 非線性

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

軸向運(yùn)動(dòng)弦線、梁和板等結(jié)構(gòu)可以作為多種工程系統(tǒng)的力學(xué)模型。這些工程系統(tǒng)包括動(dòng)力傳送帶、磁帶、紙帶、紡織纖維、帶鋸、空中纜車索道、高樓升降機(jī)纜繩、單索架空索道等。因?yàn)檩S向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)是典型的陀螺連續(xù)體, 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中存在由于科氏加速度而產(chǎn)生的時(shí)間和奇數(shù)階空間混合偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng), 所以對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的研究有重要理論意義。從 Aiken[1]和 Skutch[2]的先驅(qū)性工作開始,運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的研究已經(jīng)有百余年歷史, 目前仍是活躍的研究領(lǐng)域, 近年來(lái)取得重要進(jìn)展[3–5]。

機(jī)械能是力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的重要特征量, 從能量觀點(diǎn)分析是分析力學(xué)的特點(diǎn)[6]。關(guān)于運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的大量研究側(cè)重于分析運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)在橫向振動(dòng)過(guò)程中的能量變化。與靜態(tài)彈性結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)能量守恒不同,即使在自由振動(dòng)中, 運(yùn)動(dòng)彈性結(jié)構(gòu)的能量也會(huì)發(fā)生變化, 此時(shí), 借助分析力學(xué)中 Jacobi 積分的思路[7],可以構(gòu)造守恒量。守恒量往往與對(duì)稱性相伴隨, 這也是分析力學(xué)研究的重要內(nèi)容, 并且在離散力學(xué)系統(tǒng)中已經(jīng)取得大量成果[8–9]。軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的守恒量可以應(yīng)用于穩(wěn)定性分析等, 本文將總結(jié)軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁的能量變化關(guān)系以及守恒量的研究進(jìn)展。

1　運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的能量關(guān)系

兩端固定的弦線和兩端簡(jiǎn)支和固支的梁, 不受橫向外激勵(lì)作用時(shí), 在橫向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)總機(jī)械能保持不變。在同樣的不動(dòng)邊界條件下, 如果弦線或梁有軸向運(yùn)動(dòng), 情形將發(fā)生變化。早期研究工作揭示了這種可能性, Chubachi[10]首先考察了軸向運(yùn)動(dòng)弦線能量的周期性變化。Miranker[11]導(dǎo)出勻速軸向運(yùn)動(dòng)弦線自由振動(dòng)的機(jī)械能時(shí)間偏導(dǎo)數(shù), 并說(shuō)明該偏導(dǎo)數(shù)通常不為零。Barakat[12]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁的能量變化, 尤其是支撐處的能量流動(dòng)。Tabarrok等[13]的研究表明, 無(wú)軸向力時(shí)軸向運(yùn)動(dòng)梁的機(jī)械能是時(shí)間的周期函數(shù)。這些研究已經(jīng)表明軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁的機(jī)械能隨時(shí)間變化。

Wickert等[14]系統(tǒng)地研究了軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁的能量變化關(guān)系, 首次明確了機(jī)械能的時(shí)間全導(dǎo)數(shù)和時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。能量的全導(dǎo)數(shù)為能量的全局變化率, 偏導(dǎo)數(shù)為局部變化率, 全局變化率為局部變化率和單位長(zhǎng)度機(jī)械能與軸向運(yùn)動(dòng)速度乘積在兩端邊界處的差值之和。他們還導(dǎo)出用軸向力、軸向速度等系統(tǒng)參數(shù)和橫向位移及其空間導(dǎo)數(shù)的端點(diǎn)值表示的能量變化率, 說(shuō)明總機(jī)械能在振動(dòng)過(guò)程中不是常量。Wickert 等[14]還研究了軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁各個(gè)模態(tài)上的能量關(guān)系。Renshaw[15]用類似思路研究了兩類絞弦的能量關(guān)系, 說(shuō)明軸向運(yùn)動(dòng)邊界的情形與靜止情形有本質(zhì)上的不同。Renshaw等[16]進(jìn)一步精確化了運(yùn)動(dòng)弦線和梁的總機(jī)械能概念, 區(qū)分了針對(duì)空間區(qū)域的 Euler 描述和針對(duì)弦線上質(zhì)點(diǎn)的 Lagrange 描述, 并說(shuō)明文獻(xiàn)[14]中導(dǎo)出的能量變化率所采用的實(shí)際為L(zhǎng)agrange描述。至此,在線性理論的框架內(nèi), 對(duì)運(yùn)動(dòng)弦線和梁的橫向振動(dòng)過(guò)程中的能量變化已經(jīng)有比較清晰的理解。

軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁的能量關(guān)系可以推廣到更為復(fù)雜的情形。Lee等研究了軸向運(yùn)動(dòng)弦線[17]、軸向運(yùn)動(dòng)梁和輸液管[18]的能量變化。他們考慮在邊界上作用有非保守力, 這樣, 在能量關(guān)系中就需要考慮邊界上力所做的功。他們從能量角度, 用行波方法確定了最優(yōu)阻尼系數(shù)以實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定[17–18]。Lee等[19]還研究了受靜態(tài)質(zhì)量–彈簧–阻尼振子橫向約束的軸向運(yùn)動(dòng)弦線中的能量傳遞, 通過(guò)計(jì)算弦線中行波在接觸約束前后的能量變化, 得到傳遞到約束上的能量。Zhu等[20]研究了變長(zhǎng)度、帶軸向質(zhì)量–彈簧–阻尼振子的軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁的能量關(guān)系, 并應(yīng)用于穩(wěn)定性分析。

在軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)橫向線性振動(dòng)理論的能量關(guān)系研究相對(duì)成熟之后, Chen 等[21]提出軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁在橫向非線性振動(dòng)中的能量關(guān)系, 他們采用Euler 描述, 導(dǎo)出機(jī)械能時(shí)間變化率與系統(tǒng)參數(shù)和邊界值的關(guān)系。他們采用的弦線非線性橫向振動(dòng)的模型是 Mote 模型(一種偏微分方程[22]), 而進(jìn)一步的研究工作表明弦線 Kirchhoff 模型(一種偏微分–積分方程)更接近平面運(yùn)動(dòng)方程的結(jié)果[23]。Chen等[24]基于軸向運(yùn)動(dòng)弦線的 Kirchhoff 模型, 導(dǎo)出了能量時(shí)間變化率。

無(wú)論是Mote模型還是Kirchhoff模型, 都是結(jié)構(gòu)平面振動(dòng)向橫向振動(dòng)的退化。Chen[25]研究了軸向運(yùn)動(dòng)弦線平面運(yùn)動(dòng)的能量關(guān)系?？紤]圖1所示軸向變速運(yùn)動(dòng)彈性弦線, 設(shè)密度為ρ、截面積為A、彈性模量為E、初始張力為P0的弦線, 以一致的速度沿軸向移動(dòng), 速度γ (t)是時(shí)間t的函數(shù)。在軸向坐標(biāo)x處, 弦線的運(yùn)動(dòng)可以用弦線微段相對(duì)于以速度平動(dòng)的空間參照系的軸向和橫向位移 u 和 v 來(lái)描述。系統(tǒng)總機(jī)械能為

其中, ε (x, t)為由于位移產(chǎn)生的應(yīng)變

應(yīng)用弦線平面運(yùn)動(dòng)的控制方程[26], 導(dǎo)出能量的時(shí)間變化率為

其中, Pu和Pv分別為弦線張力的軸向和側(cè)向投影:

單位長(zhǎng)度能量定義為

此結(jié)果還可以推廣到弦線軸向、橫向和側(cè)向的三維運(yùn)動(dòng)[27]。軸向運(yùn)動(dòng)梁平面運(yùn)動(dòng)中也有類似的能量關(guān)系, 但需要考慮彎曲變形的能量[5]。

2　運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的守恒量及其應(yīng)用

軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)能量不守恒, 其原因?yàn)檩S向運(yùn)動(dòng)的存在導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)能不是速度的二次齊次式。借鑒分析力學(xué)中Jacobi廣義能量積分, 可以構(gòu)造軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)到守恒量[7]。

在橫向線性振動(dòng)的框架內(nèi), Miranker[11]構(gòu)造了勻速軸向運(yùn)動(dòng)弦線自由振動(dòng) Euler 描述的守恒量。Renshaw 等[16]構(gòu)造了軸向運(yùn)動(dòng)梁的 Euler 描述的守恒量以及軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁的 Lagrange 描述的守恒量。在非線性振動(dòng)的Euler描述下, Chen等[21]構(gòu)造了軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁橫向非線性振動(dòng)中的守恒量, 其中, 弦線和梁的控制方程均是非線性偏微分方程。鑒于軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁橫向振動(dòng)的偏微分–積分模型比偏微分模型更接近平面運(yùn)動(dòng)模型[23,28–29], Chen等基于軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的偏微分–積分模型, 構(gòu)造了軸向運(yùn)動(dòng)弦線[24]和梁的守恒量[30]。所構(gòu)造的守恒量具有能量的量綱, 因此是非保守系統(tǒng)中的類能量守恒量[31]。

橫向運(yùn)動(dòng)的守恒量也可以推廣到平面運(yùn)動(dòng)。在前面所述的軸向運(yùn)動(dòng)弦線平面振動(dòng)中, 若邊界處無(wú)橫向運(yùn)動(dòng)和軸向變形, 且軸向運(yùn)動(dòng)速度為常數(shù) c,則存在守恒量

其時(shí)間全導(dǎo)數(shù)為零。對(duì)于軸向、橫向和側(cè)向的三維運(yùn)動(dòng)的軸向運(yùn)動(dòng)弦線, 也存在相應(yīng)的守恒量[27]。附加彎曲變形對(duì)應(yīng)的變形能項(xiàng)后, 也可以構(gòu)造類似的守恒量[5]。

為了形象展示能量的變化和守恒量的不變化,這里給出一個(gè)算例?？紤]彈性模量 E=7.8×106Pa和密度ρ=930 kg/m3的彈性弦線, 其截面積A=3.14×10–6m2, 長(zhǎng)度 l=1 m, 初始張力P0=10 N。在軸向運(yùn)動(dòng)速度為 c=40 m/s 時(shí), 系統(tǒng)的能量(不包括為常量的整體平動(dòng)動(dòng)能 ρAc2/2)和守恒量如圖2所示。

運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)守恒量研究中, 一個(gè)值得關(guān)注的新領(lǐng)域是變長(zhǎng)度弦線和梁的守恒量。Yang等基于一階Galerkin階段構(gòu)造了軸向伸展梁[32]和收縮梁[33]的絕熱不變量。他們的結(jié)論是針對(duì)離散化系統(tǒng)得到的,對(duì)于原來(lái)的連續(xù)系統(tǒng), 相應(yīng)結(jié)論是否成立, 還有待深入研究。

在軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)中, 守恒量可以應(yīng)用于穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[24]和[30]分別應(yīng)用守恒量證明, 對(duì)于亞臨界速度, 軸向運(yùn)動(dòng)弦線和梁橫向非線性振動(dòng)的直線平衡位形穩(wěn)定; 文獻(xiàn)[25]證明軸向運(yùn)動(dòng)弦線平面運(yùn)動(dòng)的直線平衡位形也穩(wěn)定。

守恒量還可以應(yīng)用于軸向運(yùn)動(dòng)弦線仿真算法的檢驗(yàn)。Chen 等分別利用基于靜態(tài)弦線模態(tài)的Galerkin方法[34]、基于Hermite函數(shù)的Galerkin方法[35]、對(duì)于空間變量的差分離散化[36]和對(duì)于空間和時(shí)間變量的差分離散化[37]幾類算法, 對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn), 發(fā)現(xiàn)這些算法都能保證守恒量不變。

3　結(jié)論與展望

本文綜述了軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)能量關(guān)系和守恒量方面的研究進(jìn)展。已有的研究工作建立了軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)橫向和平面運(yùn)動(dòng)中, 系統(tǒng)能量變化與邊界能量輸入的關(guān)系。這些關(guān)系表明, 即使對(duì)于固定邊界, 系統(tǒng)能量也不守恒。同時(shí), 構(gòu)造了相應(yīng)的具有能量量綱的守恒量。

關(guān)于能量關(guān)系和守恒量, 還有一些值得深入研究的課題。

1) 更復(fù)雜的平動(dòng)結(jié)構(gòu), 如板殼的能量關(guān)系和守恒量。例如, 面內(nèi)運(yùn)動(dòng)板橫向振動(dòng)已經(jīng)取得若干進(jìn)展[38], 但其能量關(guān)系和守恒量還沒(méi)有開展研究。

2) 能量關(guān)系和守恒量在運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析、數(shù)值結(jié)果檢驗(yàn)以及數(shù)值離散格式和控制律設(shè)計(jì)等方面的應(yīng)用。

3) 更深入的守恒量物理機(jī)理研究。目前所構(gòu)造的守恒量都是基于時(shí)間均勻性的 Noether 對(duì)稱性的應(yīng)用。近年來(lái), 分析力學(xué)界在離散系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量研究中取得重要的進(jìn)展[9], 或許有助于深入理解運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)守恒量的物理機(jī)理, 并有助于構(gòu)造新的守恒量。

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Advances in Energetics and Conserved Quantities of Axially Moving Structures

CHEN Liqun
1. Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200444; 2. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072; 3. Shanghai Key Laboratory of Mechanics in Energy Engineering, Shanghai University, Shanghai 200072; E-mail: lqchen@staff.shu.edu.cn

Progresses in investigations on energetics and conserved quantities are summarized. The key issue in energetics, the time-rate of the total mechanical energy of axially moving structures, is determined for linear transverse vibration, nonlinear transverse vibration, and coupled planer vibration. The result shows that the mechanical energy is not a constant. Conserved quantities are constructed so that the quantities remain unchanged during those vibrations. The conserved quantities can be used to prove stability of the straight equilibrium configurations and to check the numerical algorithms. Some promising topics are suggested for future research.

energetics; conserved quantity; axially moving string; axially moving beam; nonlinearity

O32

10.13209/j.0479-8023.2016.081

國(guó)家自然科學(xué)基金(11232009, 11572182)資助

2015-12-01;

2016-03-17; 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12