王麗

（云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500）

具有一個(gè)分擔(dān)值集合和虧量的整函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)*1

王麗

（云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500）

本文主要研究具有一個(gè)分擔(dān)值集合和虧量的整函數(shù)的性質(zhì)，獲得的定理推廣了前人的結(jié)果。

整函數(shù)；分擔(dān)集合；虧值

具有公共分擔(dān)值集的兩個(gè)亞純函數(shù)關(guān)系的問(wèn)題是具有公共值的兩個(gè)亞純函數(shù)問(wèn)題的推廣.這類(lèi)問(wèn)題難度較大，對(duì)一般類(lèi)型的公共值集，很難確定兩個(gè)亞純函數(shù)的關(guān)系.在文獻(xiàn)［1］里，儀洪勛給出了兩個(gè)亞純函數(shù)具有一個(gè)CM公共分擔(dān)值集含有兩個(gè)元素和虧量的一個(gè)結(jié)果.本文從整函數(shù)出發(fā)，探討了具有CM分擔(dān)值集含有兩個(gè)元素和虧量的兩個(gè)整函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步推廣了相關(guān)結(jié)果.

1.預(yù)備知識(shí)

定義1.3［2］記T（r，f）=m（r，f）+N（r，f）.稱(chēng)T（r，f）為f（z）的特征函數(shù).

下面用S（r，f）表示滿(mǎn)足o（T（r，f））（r→∞，r?E，mesE＜+∞）的量.

定義1.4［1］設(shè)f為開(kāi)平面上的非常數(shù)亞純函數(shù)，a為任意復(fù)數(shù)，定義a對(duì)于f的虧值（或簡(jiǎn)稱(chēng)為虧量）為

容易看出0≤δ（a，f）≤1.

引理1.1［3］設(shè)f為非常數(shù)亞純函數(shù)，k∈N+，f（k）（z）≠0，則

引理1.2［4］設(shè)f與g為非常數(shù)整函數(shù)，如果1為f與g的IM公共分擔(dān)值，則

引理1.3［1］設(shè)f與g為非常數(shù)亞純函數(shù)，1為f與g的CM公共分擔(dān)值.如果

Θ（∞，f）=Θ（∞，g）=1，及δ（0，f）+δ（0，g）＞1，則f≡g或f·g≡1.

2.主要結(jié)論

證明令

又記

我們斷言H≡0.事實(shí)上，若H?0，如果z0為f和g的公共單1-值點(diǎn)，在z0附近用Taylor展開(kāi)代入上式，可以看到，z0是H的零點(diǎn)，從而有

又知H的極點(diǎn)僅可能發(fā)生在F'與G'的零點(diǎn)和F與G沒(méi)有相同級(jí)的重1-值點(diǎn)，故

由1為F與G的IM分擔(dān)值，容易得到

結(jié)合（2.1）、（2.2）和（2.3），我們得到

而且，我們有

由（2.4）和（2.5）得

因?yàn)镕與G為非常數(shù)整函數(shù)，故由Nevanlinna的第二基本定理得

結(jié)合（2.6）和（2.7）得

又因?yàn)?/p>

于是由上式和引理2.2得

同理可證

又由

其中η=6-3（δ（0，F(xiàn)）+δ（0，F(xiàn)））＜1，T（r）=max（T（r，F(xiàn)），T（r，G））.于是T（r）＜（η+ο（1））T（r），矛盾.

因此，H≡0，又知1為F與G的IM分擔(dān)值，故1為F與G的CM分擔(dān)值.

于是，由引理1.3，我們得到F≡G或F·G≡1.

由此即得定理2.1的結(jié)論.

3.小結(jié)

容易驗(yàn)證f（z）與g（z）以｛1，-1｝為IM分擔(dān)值集，且δ（0，f）+δ（0，g）=，但f?g，f+g?0且 f·g?±1；這說(shuō)明定理2.1的結(jié)論可能可以減小，但最低也不能低于.

此外，在定理2.1中再添加條件δ（∞，f）=δ（∞，g）=1，則所得結(jié)果在亞純函數(shù)上仍成立［1］.

［1］儀洪勛，楊重駿.亞純函數(shù)的唯一性理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1995：557—567.

［2］楊樂(lè).值分布理論及其新的研究［M］.北京：科學(xué)出版社，1982.

［3］林秀清，儀洪勛.分擔(dān)1IM公共值的整函數(shù)的唯一性定理 ［J］，數(shù)學(xué)進(jìn)展，2011，40 （1）：79—86.

［4］王麗琴.分擔(dān)一個(gè)集合的整函數(shù)的唯一性 ［J］.福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，27（2）：15—20.

［5］Yi H.X..Uniqueness ofmeromorphic functions and a question of C.C.Yang complex Var.theory appl.，1990.14：169—176.

（責(zé)任編輯李艷梅）

A Property of Entire Functions Sharing One Value IM and Deficient Value

WANG Li
（School of Mathematics，Yunnan Normal University，Kunming，650500，Yunnan Province）

In this paper，we study the problem of entire functions sharing one value with ignoring the multiplicities and give a resultwhich extend some previous result.

entire function；shared-set；deficient value

O174.52

A

1671-7406（2016）03-0011-04

2016-01-12

王麗 （1993—），女，碩士研究生。