放縮法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

鄭春靈（廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué)）

放縮法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

鄭春靈
（廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué)）

高中數(shù)學(xué)是高中生在高中階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及難點(diǎn)課程，其解題方法多種多樣，主要探討高中數(shù)學(xué)解題方法中的放縮法。

放縮法；函數(shù)；不等式

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容繁多，解題方法多樣，學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生畏難、抵觸情緒。因此，要想提高課堂的教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，教師就要把知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，讓學(xué)生在腦中形成整體的框架。下面本文主要從函數(shù)、數(shù)列、不等式及解析幾何這四個(gè)方面探討一下放縮法的應(yīng)用。

一、放縮法在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)部分是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)與重點(diǎn)。在高考中函數(shù)部分的題占有很大的比重，由于函數(shù)的題型復(fù)雜多變，一個(gè)不同的條件，解題思路就會(huì)截然不同，因此很多學(xué)生學(xué)起來都覺得很困難。下面我就簡(jiǎn)單分析一下放縮法在函數(shù)證明題中的作用。

又因?yàn)閚∈N*且n≥3，所以只需證：2n＞2n+1，

分析：此題涉及用二項(xiàng)式定理法的放縮，將二項(xiàng)式定理與函數(shù)結(jié)合起來運(yùn)用放縮法解題也是近年來高考的重點(diǎn)。很多學(xué)生在看到這道題后，都能很快地想到利用作差的方法將該題進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形，將n代入函數(shù)關(guān)系式中，從而經(jīng)過推導(dǎo)得出須證2n＞2n+ 1。然后很多學(xué)生就束手無策了，其實(shí)看到這樣的式子，我們就要在腦海里搜索，什么樣的表達(dá)式跟它相關(guān)，然后就能想到二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)式定理法就能將該題簡(jiǎn)單地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而放縮得出所求結(jié)論。

放縮法在函數(shù)中的應(yīng)用較為普遍，因此，教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，要注意學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合掌握，以便于能夠綜合利用所學(xué)的知識(shí)，采用最簡(jiǎn)便快捷的解題方法，提高解題的效率，提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量。

二、放縮法在數(shù)列中的應(yīng)用

放縮法在數(shù)列中的應(yīng)用可以分成兩種思路，即先求和后放縮、先放縮再求和兩種。下面我舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來幫助學(xué)生了解一下解題思路。

（一）先求和再放縮

（1）數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

解：（1）由已知得：4Sn=（an+1）2，當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=（an-1+1）2，

將兩式進(jìn)行作差，得：4an=an2+2an-an-12-2an-1，

將上式進(jìn)行整理，有（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

又因?yàn)椋鸻n｝為正數(shù)數(shù)列，

分析：由于該題的已知條件為數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，那么，學(xué)生自然而然地就想到利用作差的方式來求數(shù)列的通項(xiàng)公式。對(duì)于問題（2），根據(jù)學(xué)生的做題經(jīng)驗(yàn)以及總結(jié)，由于an的通項(xiàng)公式的特征，那么我們很容易就想到要利用裂項(xiàng)相消的方法來求bn的通項(xiàng)公式，從而得出bn的前n項(xiàng)和，再利用函數(shù)的基本性質(zhì)得出該題的證明結(jié)論。

總結(jié)：在做題時(shí)我們一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果此數(shù)列是等差或等比數(shù)列，就可以直接進(jìn)行求和，或是能通過變形轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，再進(jìn)行求和，再或者，可以利用裂項(xiàng)相加減求和、分組求和、倒序相加等求和方法求和。

（二）先放縮再求和

1.放縮成等差數(shù)列求和

例.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且an2+an= 2Sn

解：（1）由條件可知，若令n=1，則可以得到a1+a12=2S1=2a1，

因?yàn)閍1＞0，所以a1=1。

又由條件可知：an2+an=2Sn，則an+12+an+1=2Sn+1。

上述兩式相減可得：an+12+an+1-an2-an=2Sn+1-2Sn。①

又∵an+1=Sn+1-Sn，代入①可得：an+12+an+1-an2-an=2an+1

整理后得：（an+1+an）（an+1-an-1）=0

分析：由于給定的已知條件是數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系，那么，學(xué)生自然而然地就想到利用作差的方式來求解，通過計(jì)算找出an+1與an的關(guān)系，得出數(shù)列｛an｝的公差為1，進(jìn)一步再求證完成。對(duì)于（2）問，我們就要將已知與結(jié)論結(jié)合起來，并根據(jù)已經(jīng)得證的結(jié)論運(yùn)用合理的放縮，此題的放縮是問題的關(guān)鍵，若是放縮不恰當(dāng)，得出的結(jié)論就難以證明該題，從而覺得該題無從下手，沒有解題的技巧，只有熟練掌握放縮的原則，運(yùn)用合適的方法，才能夠得出正確結(jié)論。因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，也要讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)與反思，從而使他們的思維能夠深化，在解題時(shí)能夠多方面思考，從而快速地找到解題思路。

2.放縮成等比數(shù)列求和

例.（1）（2012年廣東卷）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列。

①求a1的值；

②求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

解：（1）①略；②an=3n-2n

③∵an=3n-2n=（3-2）（3n-1+3n-2×2+3n-3×2+3n-3×22+…+2n-1）≥3n-1

（2）∵A9-A7=a8+a9，A8-A9=-a9，a8+a9=-a9，

分析：該題的數(shù)列｛bn｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是要對(duì)其進(jìn)行求和，那么，我們只能將其進(jìn)行放縮，根據(jù)其通項(xiàng)的特點(diǎn)以及要求的結(jié)論，找到合適的放縮方向，從而得出結(jié)論。這就要求學(xué)生對(duì)平時(shí)的學(xué)習(xí)過程加以重視，積累每道題的解題思路與方法，久而久之就能夠快速地找到解題技巧。

3.放縮為差比數(shù)列求和

4.放縮為裂項(xiàng)相消求和

（1）求f（x）的最大值；

（2）求數(shù)列｛an｝｛bn｝的通項(xiàng)公式；

解析，（1）利用導(dǎo)數(shù)求最大值、此略。

（2）an=2n-1（疊乘法），bn=2n-1（待定系數(shù)法）。

由（1）ln（1+x）＜x（x≥0）

分析：放縮成差比數(shù)列與放縮成裂項(xiàng)相消這兩種方式，主要要求學(xué)生對(duì)這類題有一定的積累，從而在做題時(shí)能夠準(zhǔn)確地找到解題思路，用這種仿佛解題可以有效地提高效率，節(jié)省做題時(shí)間。

以上例題通過不同的解題方法，比較全面地說明了放縮法在數(shù)列解題中的應(yīng)用，不同的解題方法，其思路基本一致，即放縮與求和，只要將這兩個(gè)部分靈活運(yùn)用，那么，運(yùn)用放縮法解數(shù)列題就不成問題，反而學(xué)生還會(huì)覺得這個(gè)解題過程充滿趣味。

三、放縮法在不等式中的應(yīng)用

放縮法在不等式證明中常在多項(xiàng)式中“舍掉一些正或負(fù)”從而使不等式各項(xiàng)之和產(chǎn)生變化，變大或變小。又“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Хǎ_(dá)到其證題目的。如重慶高考題：

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明An≥2；

（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x對(duì)x＞0成立。

證明：An＜e2（n≥1），其中無理數(shù)e=2.71828…

分析：由題目的已知條件，提示的思路很明確，首先要根據(jù)該題式子的特點(diǎn)，對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，即證明ln An＜2，而在已知An+1與An的遞推關(guān)系的基礎(chǔ)上，就應(yīng)該考慮是否要去掉一些項(xiàng)來進(jìn)行放縮。

證：（Ⅰ）略。（Ⅱ）由遞推公式及（Ⅰ）結(jié)論有：

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，利用已知的不等式，可得：

上式從1到n求和可得：

∴l(xiāng)n An＜2，故An＜e2（n≥1）

小結(jié)：本題解題過程中同時(shí)使用了多種放縮技巧，如舍項(xiàng)放縮與裂項(xiàng)放縮等，并在放縮的過程中構(gòu)造等比數(shù)列，技巧性和知識(shí)綜合度要求比較高。因此，教師在講課時(shí)，要將各知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來進(jìn)行講解，讓學(xué)生在腦中形成整體的框架，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成整體的輪廓，以便學(xué)生在做題時(shí)，不會(huì)局限在一個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，從而能夠有效地發(fā)散學(xué)生的思維。

再比如全國卷這道高考題，利用不等式的基本性質(zhì)來進(jìn)行放縮：

（Ⅰ）求a3+b3的最小值；

（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由。

分析：該題只是利用了不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮，因此解題十分簡(jiǎn)單。只要學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)牢固，就能快速地解決此題。這就要求高中數(shù)學(xué)教師在講解數(shù)學(xué)題時(shí)，要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，學(xué)生只有掌握了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，才能夠做到知識(shí)的融會(huì)貫通。

四、放縮法在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何的教學(xué)內(nèi)容也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容，其各種曲線的軌跡方程變化多端，是綜合性很強(qiáng)的題型。下面我就簡(jiǎn)單舉個(gè)例子來說明一下放縮法在解析幾何中的應(yīng)用。

分析：該題將不等式的性質(zhì)與解析幾何的知識(shí)進(jìn)行了融合，運(yùn)用不等式法進(jìn)行放縮，只有熟練掌握這兩部分的知識(shí)，才能夠快速解題。

綜上所述，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師要時(shí)刻注意培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)這幾種方法，并且引導(dǎo)他們舉一反三。同時(shí)教師要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況。只有學(xué)生在扎實(shí)的基礎(chǔ)上，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，才能夠?qū)⑵渎?lián)系起來，融會(huì)貫通，從而能夠快速而準(zhǔn)確地找到解題的思路，提高解題的效率。

［1］朱國宏.探析數(shù)列型不等式證明中“放縮法”的妙用［J］.高中數(shù)理化，2014（5）.

［2］張徐生.放縮有度，順應(yīng)目標(biāo)：例談放縮法在證明不等式中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2007（9）.

·編輯段麗君