張改平，李智強，閆明寶

(空軍工程大學(xué)，陜西 西安　710051)

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波爾共振實驗中值得探討的兩個問題

張改平，李智強，閆明寶

(空軍工程大學(xué)，陜西 西安710051)

從實驗原理出發(fā)，計算相位差的不確定度，并對由公式計算的φ理值與實際測得的φ測值進行比較，發(fā)現(xiàn)二者之差最大可達到4.2°。分析了受迫振動相頻特性曲線的變化規(guī)律，對部分論文中出現(xiàn)錯誤的相頻特性曲線進行討論，最后得出結(jié)論：隨著驅(qū)動力頻率的增大，振幅與驅(qū)動力之間的相位差應(yīng)是逐漸減小的。

共振，相位差，不確定度

波爾共振儀可實現(xiàn)自由振動、阻尼振動和受迫振動三種振動。大部分高校都開設(shè)有這一實驗項目。然而本實驗的實驗原理較難，物理量的推導(dǎo)過程復(fù)雜，實驗數(shù)據(jù)較多，這些問題導(dǎo)致學(xué)生并不能完全理解振動的特性，甚至出現(xiàn)學(xué)生已做完實驗，但對實驗原理仍然沒有完全掌握。而且對于受迫振動的相頻特性研究，部分老師也并未完全理解相位差與驅(qū)動力頻率之間的變化關(guān)系，甚至出現(xiàn)了錯誤的結(jié)論。本文就相位差的不確定度計算及相頻特性曲線的變化規(guī)律進行重點討論，在對相頻特性的討論中，一方面，從實驗原理分析曲線的變化規(guī)律，并繪制出曲線圖，另一方面，通過實例驗證實驗原理。通過理論分析和實驗驗證的手段，使學(xué)生深刻理解受迫振動的特性。

1　實驗原理

1.1受迫振動方程建立及相關(guān)物理量導(dǎo)出

(1)

(2)

當(dāng)mcosωt=0時，式(2)即為阻尼振動方程。

方程(2)的通解為它的一個特解加上齊次方程的通解[3]：

θ=θ1e-βtcos(ωft+α)+θ2cos(ωt+φ)

(3)

上式第一項表示一個減幅振動，反映受迫振動的暫態(tài)行為，經(jīng)過很短的時間衰減至消失，第二項表示與驅(qū)動力頻率相同的穩(wěn)定的簡諧振動。當(dāng)?shù)谝豁椝p為零后，受迫振動可以表示為：

θ=θ2cos(ωt+φ)

(4)

對上式求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得：

(5)

(6)

將(5)和(6)式代入(2)式，得：

θ2(ω02-ω2)cosφ-2βθ2ωsinφ=m

(7)

θ2(ω02-ω2)cosφ-2βθ2ωsinφ=0

(8)

由(7)和(8)式，可得振幅與驅(qū)動力之間的相位差φ為：

(9)

且可得振幅

(10)

1.2穩(wěn)定受迫振動三種共振的條件

(1)位移共振

(2)速度共振

由(5)式可得受迫振動的速度

(11)

(3)加速度共振

由(5)式可得受迫振動的加速度

(12)

2　對兩個問題的探討

2.1對φ的測量不確定度分析

對φ的測量結(jié)果見表1。

表1　對φ的測量

2.2對受迫振動相頻特性曲線的描繪

對受迫振動特性研究中，在查閱資料的過程中發(fā)現(xiàn)，部分論文對于受迫振動相頻特性曲線的描繪是不正確的，出現(xiàn)了隨著ω的增大φ也增大的變化規(guī)律[6,7]，然而這一變化規(guī)律與實驗原理是相矛盾的。從實驗原理來看，由(9)式可知，相位差φ的表達式為一復(fù)合函數(shù)，為了分析φ隨ω的變化規(guī)律，本文采用Matlab繪圖軟件描繪φ隨自變量ω的變化圖像，如圖1所示。

圖1　φ函數(shù)圖像

從圖像便能直觀的看到φ隨ω的變化規(guī)律。很明顯，隨著驅(qū)動力頻率ω的增大，振幅與驅(qū)動力之間的相位差φ是逐漸減小的。為了更進一步驗證這一結(jié)論，本文測量了各個周期下的φ值，數(shù)據(jù)如表2，此項阻尼旋鈕置于11mm處，并繪制出φ隨ω的變化規(guī)律，如圖2所示。由圖可知,φ隨ω的變化規(guī)律與從實驗原理分析的結(jié)果是一致的。因此，本文特別提出這一問題，對部分論文中出現(xiàn)的錯誤的相頻特性曲線進行糾正，以免誤導(dǎo)學(xué)生。

表2　 受迫振動相頻特性曲線測量

圖2　受迫振動相頻特性曲線

2　結(jié)　　論

波爾共振實驗是我校開設(shè)的大學(xué)物理實驗中相對較難的一項實驗，大部分教材對該實驗的原理未做詳細(xì)推導(dǎo)，對方程中出現(xiàn)的各個物理量的物理意義未加說明，對三種共振的條件并未區(qū)分，這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)該部分內(nèi)容時并不能完全理解其物理含義。本文在原理部分對位移共振、速度共振和加速度共振三種共振做了詳細(xì)的分析，最后得出共振的條件。在討論部分分析了相位差的不確定度，并詳細(xì)討論了受迫振動的相頻特性曲線，通過理論分析+實例驗證的手段糾正部分論文中出現(xiàn)的錯誤相頻特性曲線。

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Study of Two Problems of the Pohl Resonator Experiment

ZHANG Gai-ping,LI Zhi-qiang,YAN Ming-bao

(Air Force Engineering University,Shaanxi Xi’an 710051)

Beginningfromexperimentalprinciple,itcalculatestheuncertaintyofthephasedifference,andcomparewiththetheoreticalvalueandthecalculatedvalueofthephasedifference,andthenobtainaresult:themaximumdifferencebetweenthetwois4.2°.Then,itanalysisthechangeregulationofthephase-frequencycharacteristicsoftheforcevibration,discussthemistakeofthephase-frequencycurveofapartofpaper,thelast,havearesult:thephasedifferencebetweenamplitudeanddrivingforceisgraduallydecreasewithenlargementofdrivingforcefrequency.

resonance；phasedifference；uncertainty

2016-01-31

國家自然科學(xué)基金資助項目(61501502)；陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2015JM6277)

1007-2934(2016)04-0018-03

O321

ADOI：DOI:10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.004.006