楊承軍

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中后，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。而數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的三個基本思想——抽象、推理、建模的意義，以及在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用的確是巨大的。在此，從三個方面來說明，數(shù)學(xué)基本思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是如何滲透的，并提出滲透數(shù)學(xué)思想要行之有路，導(dǎo)之有法，做中感悟。

一、關(guān)于題解、數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)方法的問題

史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中提出：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、建模，學(xué)習(xí)者通過在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系?！辈⒂纱硕l(fā)出其他的，如分類、歸納、簡化等許多分類思想?？梢姡瑪?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓。

由于“數(shù)學(xué)思想”概念比較抽象，故小學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中去滲透它時是有難度的，而要讓小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中理解個中含義，更是難上加難。但是，在實際教學(xué)中，卻處處隱含著數(shù)學(xué)思想，即通過對事物的推理、演繹、歸納或分類、集合、量化和統(tǒng)計等方法，使之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方法，從而獲得解決問題的辦法。一旦學(xué)生理解了，掌握了，就會對它產(chǎn)生巨大的興趣，進而去進一步地發(fā)現(xiàn)它，研究它，不斷地提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標（2011年版）》較之《課標實驗稿》，由原來的“雙基”發(fā)展為“四基”，新增了“兩基”——基本思想和基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，其內(nèi)涵和外延也更加豐富，更加深刻?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課標（2011年版）》中所說的“數(shù)學(xué)基本思想”主要指“數(shù)學(xué)抽象思想”“數(shù)學(xué)推理思想”“數(shù)學(xué)建模思想”。人們通過“數(shù)學(xué)抽象”從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科；通過“數(shù)學(xué)推理”，進一步獲得更多的結(jié)論，使數(shù)學(xué)科學(xué)得以發(fā)展；通過“數(shù)學(xué)建?！?，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，在產(chǎn)生了巨大效益的同時，又反過來促進數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

筆者認為，以上三個基本思想是數(shù)學(xué)的“上位”思想，由此又派生、發(fā)展、演變出很多“分支”思想，即數(shù)學(xué)的“下位”思想。數(shù)學(xué)抽象思想的“下位”思想有“分類思想”“集合思想”“符號思想”，等等；數(shù)學(xué)推理思想的“下位”思想有“歸納思想”“演繹思想”，等等；數(shù)學(xué)建模思想的“下位”思想有“簡化思想”“量化思想”“函數(shù)思想”，等等。

縱觀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標（2011年版）》中所談到的“數(shù)學(xué)思想”并不是指數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是既有區(qū)別又有聯(lián)系的。數(shù)學(xué)思想是宏觀的，屬于上位的思維范疇，它常常通過數(shù)學(xué)方法去實現(xiàn)；而數(shù)學(xué)方法卻是微觀的，屬于下位的實踐層面，是解決數(shù)學(xué)問題的最直接具體的手段。數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下進行具體操作的，它是對數(shù)學(xué)思想的具體反映，屬于實施層面，兩者密不可分。

二、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的重要意義

從以上陳述可以看出，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想有著重要意義。下面，與大家分享幾個生活中的“鏡頭”，以此說明其重要性。

【鏡頭1】《福爾摩斯探案——藍寶石案》片段：福爾摩斯根據(jù)一頂舊帽子來推斷帽子主人的特征.即“從帽子的外觀來看，很明顯這個人是個學(xué)識淵博的人，而且在過去三年里，生活相當富裕，盡管他目前已處于窘境；他過去很有遠見.可是已今非昔比，再加上家道中落，因此精神日趨頹廢。這仿佛說明了他受到某種‘壞’的影響.也許染上了酗酒的惡習(xí)。他這個人一向深居簡出，根本不鍛煉身體，是個中年人，頭發(fā)灰白，而且是最近幾天剛剛理過的。頭發(fā)上涂著檸檬膏。這些就是根據(jù)這項帽子所推斷出來的比較明顯的事實。還有，順便再提一下。他家里是絕對不可能安有煤氣燈的”。

【鏡頭2】我們會根據(jù)手機套餐內(nèi)容，選擇適合自己使用的套餐，如動感地帶上網(wǎng)套餐（校園版）。

【鏡頭3】在第30屆英國倫敦奧運會上，我國以38枚金牌位居世界第二，“38”個數(shù)字深深地烙入人們的腦海中。

上述三個鏡頭，在滲透數(shù)學(xué)思想中，雖各具功能，但殊途同歸?！扮R頭1”中的福爾摩斯應(yīng)用數(shù)學(xué)推理思想推斷出帽子主人的身份以及特征；“鏡頭2”是運用數(shù)學(xué)建模思想根據(jù)每個人的實際情況選擇合適的手機套餐；“鏡頭3”中的奧運金牌數(shù)38，就是一個數(shù)學(xué)抽象思想。三個鏡頭詮釋了同一個道理：數(shù)學(xué)思想。

雖然大多數(shù)人已經(jīng)忘記了很多高深的數(shù)學(xué)知識，但是人們卻能夠用學(xué)到的數(shù)學(xué)思想方法去解決生活與工作中或其他領(lǐng)域遇到的問題，讓人們終身受益，正如一個學(xué)者對數(shù)學(xué)思想的描述——將具體的數(shù)學(xué)知識都忘掉后剩下的東西。盧梭說過：“我們的目的不是用知識充塞他的頭腦，而是教授愛彌爾獲得知識的方法，當他需要獲得知識時能獲得它?！边@里盧梭所說的“方法”，筆者把它理解為“數(shù)學(xué)思想方法”。這就是《2012年數(shù)學(xué)課程標準》中為什么“使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想”應(yīng)該作為數(shù)學(xué)課程的一個重要目標的意義之一。

同時，從數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展來說，數(shù)學(xué)思想和人的思想是一樣的，數(shù)學(xué)倘若沒有數(shù)學(xué)思想，它將是非常機械而枯燥的，根本談不上進步。數(shù)學(xué)思想就像科學(xué)技術(shù)一樣，能夠很好地推動數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動力。如解析幾何的產(chǎn)生正是由于有了數(shù)形結(jié)合思想的推動才發(fā)展的；公理化思想催促著歐式幾何的誕生等。數(shù)學(xué)思想能夠豐富數(shù)學(xué)內(nèi)容，并且使得數(shù)學(xué)知識越來越完善，越來越深刻，不斷從基礎(chǔ)發(fā)展到高端，從而促進數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)思想能使整個數(shù)學(xué)體系的各部分理論之間緊密聯(lián)系，如數(shù)形結(jié)合思想能讓代數(shù)和幾何這兩個理論緊密聯(lián)系，能夠充分發(fā)揮兩個理論的優(yōu)勢，從而獲得最好的解決問題的辦法。

正因為數(shù)學(xué)思想具備以上重要意義，所以數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中就開始滲透它，讓學(xué)生終身受益。

三、如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想

既然數(shù)學(xué)思想有著以上重要意義，那么，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何滲透數(shù)學(xué)思想呢？筆者將從以下幾個方面展開討論。

1.數(shù)學(xué)抽象思想的滲透

所謂數(shù)學(xué)抽象思想，是指在數(shù)學(xué)研究中，通過研究對象的現(xiàn)象，深入里層，抽取事物本質(zhì)特征的一種思想。筆者在執(zhí)教北師大版四年級下期“四邊形的分類”一課時，在教學(xué)中對數(shù)學(xué)抽象思想做了如下滲透。

首先.筆者出示8個四邊形（見圖1），請學(xué)生分類。怎么分由學(xué)生自己說了算，但要說明理由，對分類標準筆者不做任何限制。

學(xué)生通過自己動手操作.展示出如下幾種分法：第一種是把①②③④⑥⑦與⑤⑧分成兩類，學(xué)生這樣分的理由是把有平行線的分一類.沒有平行線的分一類；第二種是把①⑥與②④⑦以及⑤⑧分成三類，③單獨分一類，學(xué)生這樣分的理由是平行四邊形和梯形各分一類，一般四邊形分一類，菱形分一類；第三種是把①③⑥分成一類，把②④⑦分成一類，把⑤⑧分成一類，學(xué)生這樣分的理由是平行四邊形和梯形各分一類，一般四邊形分一類。學(xué)生從不同的角度思考問題.而且理由都充分。

這節(jié)課分類的目的是幫助學(xué)生更好地抽象出平行四邊形和梯形的概念。形成系統(tǒng)的知識體系。在學(xué)生思維充分展開的基礎(chǔ)上，筆者及時進行思維優(yōu)化.并提出：“如果以對邊是否平行為標準要分成哪幾類？”引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注問題的“表層結(jié)構(gòu)”——外在的圖形形態(tài).過渡到關(guān)注問題的“深層結(jié)構(gòu)”——圖形邊的形態(tài)。通過筆者提示，學(xué)生又做了如下分類：有把①③⑥分成一類的，有把②④⑦分成一類的，也有把⑤⑧分成一類的。筆者追問：“①③⑥為什么歸為一類？”在追問中學(xué)生抽象出“兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形?！碑攩柕健阿冖堍邽槭裁礆w為一類時”，學(xué)生的回答是“這三個四邊形都有一組對邊平行；有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫梯形”。教師針對學(xué)生這樣的回答可用如下方式進行提升。

教師：“你們能用‘只有’造句嗎？”學(xué)生：“我只有一本數(shù)學(xué)書。”教師：“那這里什么叫梯形，你能像剛才那樣用‘只有’造句嗎？”這時.學(xué)生就會很自然地類比出：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

從以上案例可以看出數(shù)學(xué)抽象思想在實施過程中離不開三個環(huán)節(jié)，即“分離一提純一簡化”。從幾個四邊形中通過“分類”產(chǎn)生“分離”，接著通過“類比”等“提升”出初步概念，最后“簡化”出本質(zhì)特征。

2.數(shù)學(xué)推理思想的滲透

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算?！惫P者曾指導(dǎo)一位教師執(zhí)教北師大版二年級下期“長方形與正方形”一課時，在教學(xué)中對數(shù)學(xué)推理思想做了如下滲透。

先讓學(xué)生共同合作，在一塊釘有釘子的木板上圍出長方形和正方形各一個。

①匯報展示（略）。

②質(zhì)疑反思：為什么你認為你圍出的圖形就是長方形？為什么你認為你圍出的圖形就是正方形？

③總結(jié)概念（根據(jù)學(xué)生的回答進行板書）：長方形的上下兩邊與左右兩邊都相等，四個角都是直角，長方形有對邊，也有鄰邊，長方形中相鄰的兩條邊或者說組成長方形每一個直角的兩條邊就是長方形的一組鄰邊；正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作，鼓勵學(xué)生大膽猜想長方形的特征和正方形的邊角特征，并鼓勵學(xué)生對操作與猜想進行反思，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。

之后，教師再通過提問，加以提升：“是不是所有的長方形和正方形都具備這些特征？”學(xué)生驗證：用量一量、折一折的方法，驗證自己的發(fā)現(xiàn)；并把經(jīng)過驗證的結(jié)論填寫到書上，然后讓學(xué)生扮演小老師展示匯報驗證的過程。

以上片段說明，猜想驗證是推理思想的重要的步驟。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就不會有偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈孪胧菍W(xué)生在對事物有所感知后，做出初步的未經(jīng)證實的判斷。在這節(jié)課中，學(xué)生通過釘子板圍圖形猜想出圖形的特征，是以一定的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗知識和思維方法為基礎(chǔ)的一種合理猜想，也就是合情推理，并不是“瞎猜”。在這一過程中，教師充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的時間和空間，讓學(xué)生在自己動手操作中驗證了長方形和正方形的特征，在小組匯報時又展示出學(xué)生探索策略的多樣性；同時，讓學(xué)生不但要說出發(fā)現(xiàn)了什么，還要說出是怎樣發(fā)現(xiàn)的，關(guān)注學(xué)生的思考過程。通過讓學(xué)生動手操作來驗證自己的推理，讓學(xué)生感悟“猜想—驗證”的數(shù)學(xué)推理思想，在這樣的猜想驗證過程中又體現(xiàn)了合情推理和演繹推理是相輔相成的。

3.數(shù)學(xué)建模思想的滲透

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識?！比缃虒W(xué)北師大版五年級下期“分數(shù)乘法”一課時，教師在教學(xué)中可用如下方法滲透數(shù)學(xué)建模思想。

出示例題：1張圖片占一張彩紙的1/5.3張圖片占這張彩紙的幾分之幾？

先讓學(xué)生讀懂題意，明確問題，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。3個1/5是多少？或1/5的3倍是多少？1/5×3=？（3x1/5=？）

然后，解決問題，探索算法。首先，創(chuàng)設(shè)情境，建立模型：學(xué)生動手把1張紙平均分成5份，用彩筆涂畫出其中3份，涂色部分占這張紙的3/5，所以1/5×3=（）。其次，運用模型，解決問題：用已有的數(shù)學(xué)知識解釋上述算式為什么成立？解釋的過程即是寓理于算的推理過程。再次，互動質(zhì)疑，深化概念：讓學(xué)生想想，這兩種算法是不是適合所有的分數(shù)乘整數(shù).算一算2/7×3=（）。最后，教師激勵，拓展提升：歸納出分數(shù)乘整數(shù)的計算方法，并通過學(xué)生充分討論后歸納出分數(shù)與整數(shù)相乘的計算法則：axn/m=axn/m（a、m、n都是正整數(shù)）。

這一過程，通過提取關(guān)鍵步驟，簡縮思維過程，形成了運算法則，抽象成了數(shù)學(xué)模型，從而根據(jù)法則，進行計算。

從以上案例中，我們可以看出建模的過程大約經(jīng)歷以下幾個步驟。第一步，確定所研究的原型問題。第二步，建立數(shù)學(xué)模型思想和方法。任何的分數(shù)與整數(shù)相乘，都可以看作若干個整數(shù)與同分母的分數(shù)單位相乘。第三步，進行數(shù)學(xué)抽象。用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)表達方式來表達所確定的系統(tǒng)，如上例中學(xué)生不僅用語言歸納出分數(shù)乘整數(shù)的計算法則，還用字母這個數(shù)學(xué)符號表達出了分數(shù)乘整數(shù)的計算法則。第四步，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，對模型進行優(yōu)化。上例中用分數(shù)乘整數(shù)的計算法則不僅解決了實際問題，還將相關(guān)聯(lián)的知識都納入系統(tǒng)中，如在解題過程中，發(fā)現(xiàn)能約分要先約分。在這個案例中學(xué)生掌握了分數(shù)乘整數(shù)的計算方法，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟了數(shù)學(xué)建模思想的本質(zhì)，提高了發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要把數(shù)學(xué)思想的滲透真正做到行之有路，導(dǎo)之有法，做中感悟，定能收到良好的教學(xué)效果。

（責(zé)任編輯 羅登廉）