劉自強(qiáng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常有一些疑難問(wèn)題會(huì)引起教師的爭(zhēng)議、困惑。比如：對(duì)一些數(shù)學(xué)概念的理解與把握等知識(shí)性問(wèn)題;對(duì)不同年段、學(xué)段教學(xué)要求的“度”的把握等技術(shù)性問(wèn)題;對(duì)教師教學(xué)語(yǔ)言、學(xué)生作業(yè)格式的要求等規(guī)范性問(wèn)題;因教學(xué)的階段要求以及學(xué)科概念與生活用語(yǔ)習(xí)慣混淆而引起的差異性問(wèn)題，等等。這些問(wèn)題往往在學(xué)生答題或質(zhì)疑時(shí)產(chǎn)生，教師卻難以給出明確回答，甚至在同行之間引發(fā)爭(zhēng)議，時(shí)常辯論不休，但又莫衷一是，成為長(zhǎng)期困擾一線教師的“沉疴痼疾”。國(guó)內(nèi)教育教學(xué)刊物上雖然有過(guò)一些相關(guān)具體問(wèn)題的探討，但多是零散討論，就題論題，沒(méi)能從根本上提高教師的分析、辨別能力。

針對(duì)上述問(wèn)題，福州市小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教研工作室從為教研服務(wù)的立場(chǎng)出發(fā)，將此作為一個(gè)課題，向一線教師廣泛征集疑難爭(zhēng)議問(wèn)題，并組織教研力量進(jìn)行深入研究，力圖給出較為規(guī)范、有根據(jù)的回答。在此基礎(chǔ)上，我們還通過(guò)適當(dāng)分類(lèi)，歸納形成了解決類(lèi)似問(wèn)題的一些基本方法、策略或原則。以下通過(guò)舉例說(shuō)明，與一線教師共享，希望有助于大家據(jù)此對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析，作出正確判斷。

一、登高望遠(yuǎn)，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)知識(shí)

從教師自身來(lái)看，很多爭(zhēng)議是由于教師自身數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的缺陷，對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及其產(chǎn)生的背景缺乏深刻的把握，以及小學(xué)教師職業(yè)帶來(lái)的思維“童化”——即伴隨著體驗(yàn)兒童認(rèn)知特點(diǎn)的過(guò)程，引起數(shù)學(xué)思維的退化現(xiàn)象。

問(wèn)題1 三角形能叫三邊形嗎？反之，多邊形為什么不叫多角形？

簡(jiǎn)答：在數(shù)學(xué)上，多邊形是用它的邊（線段）來(lái)定義的，其定義過(guò)程的邏輯順序是：

線段→折線→封閉折線→平面折線→多邊形→n邊形

所以，稱(chēng)“多邊形”符合它的概念定義特征。另外，組成幾何體的基本元素是點(diǎn)、線、面，用“×邊形”“×面體”來(lái)命名相關(guān)幾何形體也更顯得簡(jiǎn)潔、一致。

三角形的定義也是如此：“由三條線段首尾順次連接所組成的圖形……”按理叫它“三邊形”也無(wú)不可。

但是，雖然數(shù)學(xué)概念的定義要基于它的本質(zhì)屬性，而它的命名卻既有一定的合理性（能刻畫(huà)概念特征，簡(jiǎn)潔、系統(tǒng)），也有一定的偶然性（先入為主，沿用生活概念，約定俗成）。

采用“多邊形”命名主要源于前一種因素。其實(shí)類(lèi)似于三角形，生活中人們通常稱(chēng)四邊形、六邊形為“四角形”“六角形”?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)教師手冊(cè)》中就有“……多邊形，又叫多角形”的表述和“多角形，即多邊形”的解釋?zhuān)梢?jiàn)兩種命名均可，但n≥4時(shí)，數(shù)學(xué)上習(xí)慣稱(chēng)之為“n邊形”。

至于n=3時(shí)，數(shù)學(xué)上不采用“三邊形”這個(gè)名稱(chēng)，更多的還是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活的約定俗成因素，即“三角形”名稱(chēng)在生活中對(duì)人們的影響更強(qiáng)，所以《中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊(cè)》中特別指出：“……當(dāng)n=3時(shí)，習(xí)慣上稱(chēng)為三角形，而不說(shuō)三邊形。”

所以，如果有學(xué)生質(zhì)疑，可以告訴他：叫“三邊形”有道理，但是數(shù)學(xué)上尊重約定俗成。

由此引申到：課堂教學(xué)中讓小學(xué)生給數(shù)學(xué)概念“起名字”是否有意義？——我們認(rèn)為，關(guān)鍵要看是否指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概念的特征（本質(zhì)屬性）。比如：有的老師在給三角形分類(lèi)時(shí)，讓學(xué)生給各類(lèi)三角形起名字，由此引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注各類(lèi)三角形的不同特點(diǎn)，顯然很有意義。但如果只是形式上想體現(xiàn)讓學(xué)生“自主”，那就大可不必了。

問(wèn)題2 “平角是一條直線”，“周角是一條射線”，對(duì)嗎？0°角與周角有什么區(qū)別？

簡(jiǎn)答：新教材對(duì)角的定義是：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形。所以，我們要明確：角的圖形包括一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊以及它們叉開(kāi)（旋轉(zhuǎn)過(guò)）的角度。那么：

（1）平角是一條射線（始邊）繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，使終邊和始邊在同一條直線上，方向相反時(shí)，所構(gòu)成的圖形。它的要素包括：一個(gè)頂點(diǎn)，兩條邊以及一邊轉(zhuǎn)過(guò)的角度。平角是可以測(cè)量的，它等于180度。而直線是沒(méi)有端點(diǎn)、無(wú)限長(zhǎng)、不可測(cè)量、沒(méi)有角度的。

可見(jiàn)平角與直線是不同的概念，平角不是一條直線，但是我們可以說(shuō)“平角的兩邊在同一條直線上”。

（2）由上可知，一個(gè)角一定有一條始邊和一條終邊，看一個(gè)角不能只看終邊或只看始邊。所以，周角不是一條射線，而是射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360度后所成的圖形，這時(shí)它的兩條邊重合。0°角（也稱(chēng)零角）同樣要看作是兩條邊重合，因此不能認(rèn)為是一條射線。零度角與周角的區(qū)別在于：零度角的邊沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)。

可見(jiàn)，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，教師自身要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，努力提升學(xué)科本體知識(shí)水平，從更高的視角來(lái)分析、把握有關(guān)知識(shí)，才能撥開(kāi)迷霧見(jiàn)真理。

二、階段區(qū)別，關(guān)注知識(shí)后續(xù)發(fā)展

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)系統(tǒng)的整體，但很多數(shù)學(xué)內(nèi)容在小學(xué)是分階段、由低到高、螺旋上升編排的，往往在一個(gè)階段內(nèi)只學(xué)習(xí)某一知識(shí)的一部分，在后續(xù)的教學(xué)中再逐步加深和拓寬。這就給一線教師的教學(xué)及評(píng)價(jià)帶來(lái)了“如何把握教學(xué)要求的度”的問(wèn)題。

問(wèn)題3 二年級(jí)上學(xué)期教學(xué)《角的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，認(rèn)識(shí)銳角和鈍角，是以直角為標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)“銳角比直角小”“鈍角比直角大”。加上“大于0度”“比平角小”這樣的補(bǔ)充說(shuō)明，是不是更嚴(yán)謹(jǐn)？

簡(jiǎn)答：這是關(guān)于整體認(rèn)識(shí)和階段把握的問(wèn)題。新課標(biāo)第一學(xué)段要求：結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角，了解直角、銳角和鈍角。即只要學(xué)生能從具體實(shí)例中知道或舉例說(shuō)明對(duì)象的有關(guān)特征，以及根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說(shuō)明對(duì)象。由于二年級(jí)學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)有關(guān)角的度量的知識(shí)，所以此時(shí)只要學(xué)生能把一個(gè)角與直角進(jìn)行比較，知道它是哪一種角即可。

第二學(xué)段要求：知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的關(guān)系。因此，到了四年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)“角的分類(lèi)”時(shí)，在學(xué)習(xí)了“角的度量”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)銳角和鈍角，這時(shí)才可以要求學(xué)生根據(jù)角的度數(shù)來(lái)區(qū)分銳角和鈍角，明確鈍角大于直角而小于平角，銳角小于直角。

由于小學(xué)生直觀感知的角是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，所以不宜介入“零度角”這個(gè)概念，此時(shí)研究零度角也沒(méi)有意義。而且，認(rèn)識(shí)周角時(shí)還是以直觀演示的方式來(lái)突破“兩邊重合”這個(gè)難點(diǎn)，添上零度角只會(huì)給學(xué)生增添無(wú)謂的干擾。

問(wèn)題4 數(shù)平行四邊形個(gè)數(shù)時(shí)要不要包括長(zhǎng)方形？

簡(jiǎn)答：這個(gè)問(wèn)題要分學(xué)段來(lái)看。根據(jù)新課標(biāo)，第一學(xué)段對(duì)平行四邊形的學(xué)習(xí)要求為“能辨認(rèn)”“會(huì)（用它）拼圖”，都是直觀層面的;第二學(xué)段才要求“認(rèn)識(shí)”，即會(huì)描述其特征以及與相關(guān)對(duì)象間的區(qū)別和聯(lián)系。可見(jiàn)，在第二學(xué)段學(xué)習(xí)了平行四邊形與長(zhǎng)方形（正方形）的關(guān)系之后，數(shù)平行四邊形個(gè)數(shù)時(shí)要包括長(zhǎng)方形（同樣，數(shù)長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)時(shí)要包括正方形），而在第一學(xué)段則不應(yīng)要求學(xué)生做這樣的聯(lián)系。

但也有這樣的個(gè)例：一名三年級(jí)學(xué)生在數(shù)平行四邊形個(gè)數(shù)時(shí)包括了長(zhǎng)方形，他說(shuō)：“爸爸告訴我，長(zhǎng)方形也是平行四邊形。”我們認(rèn)為，個(gè)別學(xué)生在數(shù)學(xué)上的這種不同發(fā)展，是應(yīng)該允許和肯定的，這樣更有利于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

所以，對(duì)于不同階段學(xué)習(xí)要求上的差異，我們既要認(rèn)真鉆研新課標(biāo)和教材，從總體上把握好“度”，也要注意對(duì)特殊情況的妥善處理，使之更有利于后續(xù)學(xué)習(xí)的銜接。為此，在評(píng)價(jià)方面可以靈活掌握，但不必鼓勵(lì)所有學(xué)生都達(dá)到那樣超前的認(rèn)識(shí)。

三、恰當(dāng)規(guī)范，著重基于數(shù)學(xué)本質(zhì)

為了便于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、交流和運(yùn)用，數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多格式等方面的標(biāo)準(zhǔn)要求，我們不妨統(tǒng)稱(chēng)為“規(guī)范”。由于各種原因，這些規(guī)范在給數(shù)學(xué)教學(xué)和評(píng)價(jià)提供方便的同時(shí)，也帶來(lái)了一些爭(zhēng)議和不必要的麻煩。對(duì)此，我們必須明確：嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)的特征之一，所以“規(guī)范”是必要的，它有利于促進(jìn)學(xué)生的邏輯思維發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。其次，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要追求的是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而非形式，所以“規(guī)范”不應(yīng)是生硬和一成不變的。從一些數(shù)學(xué)規(guī)定不斷被優(yōu)化、簡(jiǎn)化的歷史發(fā)展過(guò)程，可以看出數(shù)學(xué)也是在動(dòng)態(tài)發(fā)展的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要基于數(shù)學(xué)的本質(zhì)來(lái)看待規(guī)范要求，使“規(guī)范”與“寬容”相輔相成，更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

問(wèn)題5 在解答如：“媽媽買(mǎi)了15個(gè)蘋(píng)果，吃了8個(gè)，還剩幾個(gè)？”這樣“已知總體求部分”的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生列成加法算式“8+7=15”是否可以？

簡(jiǎn)答：低年級(jí)學(xué)生受“想加算減”習(xí)慣的影響，常常會(huì)經(jīng)歷這樣一個(gè)過(guò)程，但是對(duì)這種做法不應(yīng)鼓勵(lì)，否則將不利于減法概念的建立，也不利于逆向思維的培養(yǎng)。

遇到這種情況，教師應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解題的基本規(guī)范，那就是：算出的答案必須是題目所要求的。同時(shí)，可以引導(dǎo)他們先將所求用括號(hào)表示：（ ）+8=15，然后根據(jù)逆運(yùn)算關(guān)系列出減法算式，這樣更能體現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維過(guò)程的引導(dǎo)。

問(wèn)題6 對(duì)于“怎樣簡(jiǎn)便就怎樣算”這類(lèi)題目，解題時(shí)有什么具體要求？

簡(jiǎn)答：計(jì)算是比較主觀的過(guò)程，肯定應(yīng)該允許學(xué)生存在各自的差異性。從這個(gè)意義上說(shuō)，學(xué)生根據(jù)自己的計(jì)算習(xí)慣靈活選擇的算法、順序，只要正確都是可以的。

但是，教學(xué)中教師也必須和學(xué)生達(dá)成評(píng)價(jià)共識(shí)，從更寬闊的視野予以規(guī)范要求。那就是“簡(jiǎn)便”應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)為：（1）符合運(yùn)算法則和運(yùn)算定律;（2）便于口算或簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。例如：計(jì)算125×88，可以有125×8×11，125×80+125×8，125×11×8等不同的計(jì)算過(guò)程轉(zhuǎn)化。其中第三種先算“125×11”這一步，對(duì)于個(gè)別人也許覺(jué)得簡(jiǎn)便，但顯然沒(méi)有普遍性。前兩種都是先轉(zhuǎn)化成能口算出整十整百的數(shù)，對(duì)所有人來(lái)說(shuō)都簡(jiǎn)便。作為平時(shí)練習(xí)，應(yīng)該要有這樣的引導(dǎo)，讓學(xué)生自覺(jué)地對(duì)計(jì)算式題進(jìn)行分析，選擇較簡(jiǎn)便的計(jì)算過(guò)程，還可以設(shè)計(jì)較大數(shù)字，凸顯簡(jiǎn)便計(jì)算的好處，引導(dǎo)學(xué)生形成自覺(jué)運(yùn)用有關(guān)定律、性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的意識(shí)，提高運(yùn)算能力。但在考查時(shí)，則可適當(dāng)?shù)胤艑捯?，給學(xué)生更多的靈活性。

除了可以定論的規(guī)范要求之外，更多的是一些介于黑白之間的“灰色區(qū)域”，似乎是A面、B面都有道理，這種情況下只要不會(huì)傷及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，我們就應(yīng)采取寬容的態(tài)度，不要用太多人為“規(guī)矩”框住學(xué)生，影響他的數(shù)學(xué)思考。也就是說(shuō)，對(duì)于規(guī)范要求問(wèn)題，應(yīng)本著：

確實(shí)需要規(guī)范的，平時(shí)教學(xué)要從嚴(yán);應(yīng)該規(guī)范但無(wú)礙數(shù)學(xué)本質(zhì)的，考試評(píng)價(jià)可從寬。

四、嚴(yán)謹(jǐn)命題，聯(lián)系實(shí)際避免歧義

教學(xué)中很多爭(zhēng)議往往是從對(duì)學(xué)生答題的評(píng)價(jià)過(guò)程產(chǎn)生的。除了上述各種情況外，有相當(dāng)部分是由于題目設(shè)計(jì)時(shí)表述不夠嚴(yán)謹(jǐn)，條件限定不夠明確，或者由于題目情境聯(lián)系生活實(shí)際時(shí)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言與生活語(yǔ)言的差異造成的。

例如：判斷題“正方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形”雖然是真命題，但是從試題設(shè)計(jì)的目的性來(lái)看卻是劣質(zhì)題，劣在其檢測(cè)的目的不明確——是要考查學(xué)生對(duì)正方體概念的理解，還是對(duì)正方形和長(zhǎng)方形關(guān)系的把握？不如改成：（判斷題）“有兩個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體一定是正方體”或“有兩個(gè)相鄰的面是正方形的長(zhǎng)方體一定是正方體”，這樣檢測(cè)目的明確，既無(wú)歧義，又有思維含量，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

可見(jiàn)，設(shè)計(jì)題目時(shí)要仔細(xì)斟酌推敲，盡量避免歧義;一旦出現(xiàn)答題爭(zhēng)議，要多從題目自身的嚴(yán)謹(jǐn)性上去分析。另外，還要注意數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與生活概念、習(xí)慣用語(yǔ)之間的差別。

數(shù)學(xué)教育的核心在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，對(duì)教學(xué)中存在的疑難、爭(zhēng)議問(wèn)題的分析，應(yīng)本著著眼核心目標(biāo)，以是否關(guān)乎數(shù)學(xué)本質(zhì)，是否有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和后續(xù)學(xué)習(xí)的發(fā)展為準(zhǔn)則。基于這樣的理念，我們就容易作出正確判斷，達(dá)成共識(shí)。