倪守祥　徐逸凡　董芳芳

(鹽城景山中學(xué)　江蘇 鹽城　224002)

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巧用圓解決力學(xué)問題*

倪守祥徐逸凡董芳芳

(鹽城景山中學(xué)江蘇 鹽城224002)

通過例題介紹了圓在解決力的合成與分解、運(yùn)動(dòng)的合成與分解以及牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律等問題時(shí)的重要應(yīng)用.巧妙應(yīng)用圓的知識(shí)，可使復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單且易于理解.

圓力學(xué)力牛頓第二定律

物理與數(shù)學(xué)同為科學(xué)大家庭一員，互為表里，息息相關(guān).杰出的數(shù)學(xué)能力往往能幫助我們更快速有效地解決物理難題.而數(shù)學(xué)中的圓，作為自然界中最美的圖形，包含了直線、弧、圓心角、弦切角等豐富的幾何內(nèi)容.我們不妨思考，是否能將如此美麗的圖形為我們所用，以解決較為復(fù)雜的物理問題呢？今天，我們將讓物理邂逅數(shù)學(xué)，一起探討圓在高一物理中的運(yùn)用，主要分為以下3個(gè)部分.

1　圓在力的合成與分解中的應(yīng)用

【例1】將力F分解為F1和F2兩個(gè)分力，若已知F1和F2的夾角θ為鈍角，則當(dāng)F1,F2大小相等時(shí)，它們的大小為______；當(dāng)F1取最大值時(shí)，F(xiàn)2的大小為______.

圖1

解析：一力確定，另兩力夾角恒定，即F不變而分力F1和F2保持θ角不變，如圖1所示，可利用“同弧所對(duì)的圓周角不變”在圓中構(gòu)建變化的閉合矢量三角形，可輕松得出答案.

(1)當(dāng)F1，F(xiàn)2大小相等時(shí),有

即

【例2】在“互成角度的兩個(gè)力合成”實(shí)驗(yàn)中，用A,B兩只彈簧測(cè)力計(jì)把橡皮條上的結(jié)點(diǎn)拉到某一位置點(diǎn)O，這時(shí)AO和BO間夾角∠AOB<90°，如圖2所示.現(xiàn)保持彈簧測(cè)力計(jì)A的拉力大小不變，并逐漸減小α角，為了使結(jié)點(diǎn)仍被拉到O點(diǎn)，則應(yīng)調(diào)節(jié)彈簧測(cè)力計(jì)B拉力的大小和方向，下列調(diào)整方法中，一定不可行的是

A．增大彈簧測(cè)力計(jì)B的拉力和β角

B．增大彈簧測(cè)力計(jì)B的拉力，β角不變

C．增大彈簧測(cè)力計(jì)B的拉力，減小β角

D．B的拉力大小不變，增大β角

解析：以結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，對(duì)其受力分析，結(jié)點(diǎn)位置不變，說明皮條對(duì)結(jié)點(diǎn)的拉力不變，這是“一力確定，另一個(gè)力的大小確定”問題.利用“圓的半徑相等”，以O(shè)點(diǎn)為圓心，F(xiàn)A的大小為半徑作圓.

圖2

因?yàn)椤螦OB<90°，由圖3可知，隨著α角的減小，F(xiàn)B的大小不斷增大，β角先減小后增大.綜上，本題選D.

圖3

【例3】不可伸長(zhǎng)的輕繩AO和BO下端系一個(gè)質(zhì)量為m的物體，細(xì)線長(zhǎng)AO>BO，A，B兩端點(diǎn)在同一水平線上，開始時(shí)兩線剛好繃直，BO垂直于AB，如圖4所示.現(xiàn)保持A，B在同一水平線上，使A逐漸遠(yuǎn)離B，在此過程中，細(xì)線上的拉力FA，F(xiàn)B的大小隨A，B間距離的變化情況是

A．FA隨距離增大而一直增大

B．FA隨距離增大而一直減小

C．FB隨距離增大而一直增大

D．FB隨距離增大而一直減小

圖4

解析：如圖5所示，以結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，對(duì)其受力分析，兩繩合力與重力等值反向.由題意可知，OA與OB的長(zhǎng)度恒定，利用圓解決問題十分簡(jiǎn)便.以結(jié)點(diǎn)O為圓心，分別以O(shè)B，OA長(zhǎng)為半徑畫圓，因A，B始終在同一水平線上，由此確定遠(yuǎn)離過程中A，B端點(diǎn)位置，即確定拉力方向.

最初，F(xiàn)A=0，F(xiàn)B=mg，隨著A點(diǎn)遠(yuǎn)離B點(diǎn)，由圖示可知，F(xiàn)A一直增大，F(xiàn)B先減小后增大，所以此題選A.

圖5

2　圓在運(yùn)動(dòng)的合成與分解中的應(yīng)用

【例4】已知小船在靜水中的速度為v1，水流速度為v2，河寬為d.要使小船渡河時(shí)通過的路程最短，求下列兩種情況下小船靜水速度的方向與上游河岸的夾角分別為多大.

(1)v1>v2;

(2)v1

解析：(1)當(dāng)v1>v2時(shí)，小船靜水速度方向應(yīng)斜向上游，并使船垂直于河岸航行，則渡河路程最短．設(shè)船靜水速度的方向與上游河岸的夾角為θ，則v1cosθ=v2，所以

(2)當(dāng)v1

圖6

由圖6可知，當(dāng)船實(shí)際航行方向與圓相切時(shí)，小船與垂直河岸方向間的夾角最小，渡河的路程最短.此時(shí)，v2cosθ=v1，所以

3　圓在牛頓運(yùn)動(dòng)定律中的應(yīng)用

【例5】如圖7所示，AD,BD,CD是豎直面內(nèi)3根固定的光滑細(xì)桿，A,B,C,D位于同一圓周上，A點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，D點(diǎn)為最低點(diǎn)．每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫出)，3個(gè)滑環(huán)分別從A,B,C處釋放(初速度均為零)，用t1,t2,t3依次表示滑環(huán)到達(dá)D所用的時(shí)間，則

A．t1

B．t1>t2>t3

C．t3>t1>t2

D．t1=t2=t3

圖7

解析：設(shè)任意細(xì)桿與豎直方向的夾角為θ，則小滑環(huán)的運(yùn)動(dòng)路程為s=2Rcosθ，加速度a=gcosθ，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間

因此本題選D.

結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細(xì)桿由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等，像這樣的豎直圓我們簡(jiǎn)稱為“等時(shí)圓”.

推論：物體從最高點(diǎn)由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)(如圖7中，E，F(xiàn)點(diǎn))所用的時(shí)間相等.

【例6】如圖8所示，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平軌道面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于A點(diǎn)，豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓軌道的圓心．已知在同一時(shí)刻，a,b兩球分別由A,B兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)．則

A.a球最先到達(dá)M點(diǎn)

B.b球最先到達(dá)M點(diǎn)

C.c球最先到達(dá)M點(diǎn)

D.c,a,b三球依次先后到達(dá)M點(diǎn)

解析:設(shè)圓軌道半徑為R，根據(jù)“等時(shí)圓”理論

B點(diǎn)在圓外

c球做自由落體運(yùn)動(dòng)

所以此題選C和D.

圖8

【例7】(等時(shí)圓拓展)如圖9，AB是一傾角為θ的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道(假使光滑)，使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？

圖9

圖10

【例8】(等時(shí)圓拓展)在離坡底10 m的山坡上O點(diǎn)豎直地固定一長(zhǎng)10 m的直桿AO(即BO=AO=10 m).A端與坡底B間連有一鋼繩，一穿于鋼繩上的小球從A點(diǎn)由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，取g=10 m/s2，如圖11所示，則小球在鋼繩上滑行的時(shí)間為

圖11

解析：如圖12所示，以O(shè)點(diǎn)為圓心，以R=10 m為半徑作圓，則A,B為圓周上的點(diǎn)，AB為弦，故從A到B的時(shí)間等于從A沿直徑運(yùn)動(dòng)到直徑另一端點(diǎn)的時(shí)間,據(jù)“等時(shí)圓”可得

故B正確.

圖12

小結(jié)：“他山之石，可以攻玉”，適時(shí)地將各種學(xué)科有機(jī)結(jié)合，將所學(xué)的知識(shí)互相遷移，靈活運(yùn)用，不僅可以拓寬我們的思維，提高我們的創(chuàng)新能力，還常常會(huì)取得意想不到的效果.

1王中元.單位圓在物理學(xué)中的巧妙應(yīng)用.中學(xué)物理，2011(2)：49～50

2單文忠.巧畫圓解動(dòng)態(tài)受力平衡問題.物理教師，2012(2)：24～25

倪守祥(1998-)，男，在讀高中生.

指導(dǎo)教師：董芳芳(1987-)，女，碩士，中教一級(jí)，主要從事中學(xué)物理教學(xué)與研究.

2016-01-12)

*江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十一期立項(xiàng)課題，項(xiàng)目編號(hào)：2015JK11-L153