一個求冪指函數(shù)的極限定理及其應(yīng)用

劉元宗，黃　誠

（廣東外語外貿(mào)大學南國商學院，廣州510545）

一個求冪指函數(shù)的極限定理及其應(yīng)用

劉元宗，黃誠

（廣東外語外貿(mào)大學南國商學院，廣州510545）

給出了一個關(guān)于求冪指函數(shù)極限的定理。通過該定理，把求冪指函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)乘積的極限，從而避免了在應(yīng)用第二重要極限時“湊指數(shù)”的繁瑣過程。給出的例子說明了這種方法的簡潔性。

冪指函數(shù)；重要極限；湊指數(shù)；應(yīng)用

冪指函數(shù)是微積分中一類重要的函數(shù)，其特點是底數(shù)和指數(shù)都帶有自變量。通常情況下，冪指函數(shù)表示為f( x)g( x)，當x發(fā)生變化時，底數(shù)和指數(shù)都發(fā)生變化。比如，就是這樣的函數(shù)。

1　冪指函數(shù)極限定理

引理1：若在x的某個變化過程中，有l(wèi)im?(x) =0，則有。

證明：令?(x)=t，則由lim?(x )=0可知t→0，于是由可得，

引理2［2］：若在x的某個變化過程中，有l(wèi)imf( x) =A >0和limg( x)=B，則有l(wèi)imf( x)g( x)=AB。

證明：因為limf( x)=A>0，由極限的保號性可知，在極限點的某個領(lǐng)域內(nèi)，有f( x)>0，于是由對數(shù)恒等式可得f( x)g( x)=eg( x)lnf( x )。令u( x)=g( x)lnf( x)，則eu( x)為連續(xù)函數(shù)。

由于eu(x)是連續(xù)函數(shù)，故有l(wèi)imeu( x)=elimu( x )，于是，有l(wèi)imf( x)g( x)=lim eg( x)lnf(x)=elimg( x)lnf(x)=eBlnA=AB。

定理1：若在x的某個變化過程中，lim?(x)=0，limf( x)=∞，lim?(x) f( x)=a，則有

證明：因為在x的某個變化過程中，有l(wèi)im?(x )=0，limf( x)=∞，所以，有

2　冪指函數(shù)極限定理的應(yīng)用

2.1求冪指函數(shù)極限的步驟

在x的某個變化過程中，若函數(shù)?(x)的極限為零，f( x)的極限為無窮大，則在求“1加無窮小的無窮大次冪”形式(1+?(x) )f( x)函數(shù)的極限時，可按以下步驟計算極限：1）將極限式化成lim(1+?(x) )f( x)=elim?(x) f( x)的形式；2）求極限lim?(x) f( x)；3）求lim(1+?(x ))f( x)。

當冪底的形式不是“1加無窮小”時，要先把它化為“1加無窮小”的形式1+?(x)后，再應(yīng)用式（1）求極限［3］。

2.2求冪指函數(shù)極限的例子

例1［4］：求極限

解：本例的冪底x不是“1加無窮小”的形式，必須把它化為x=1+(x?1)后，才能運用式（1）求極限。

解：本例的冪底為1? sin 3x ，不是“1加無窮小”的形式，需要先化為1+(?sin 3x)，再應(yīng)用式（1）求解。令，則有

為了避免在指數(shù)上進行極限運算，例3的求極限過程也可以表示為如下形式：

例4［4］：求極限

從以上幾個求冪指函數(shù)極限的例子可以看出，把冪指函數(shù)化為“1加無窮小的無窮大次冪”形式，求極限過程將變得簡單、快捷，學生易于掌握。

3　結(jié)束語

筆者給出了一個冪指函數(shù)的極限定理，通過該定理，可以把求冪指函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)乘積的極限，避免了應(yīng)用第二重要極限時“湊指數(shù)”的繁瑣，化解了教學難點。

在求冪指函數(shù)極限的教學過程中，該定理給出的方法具有一定的指導(dǎo)和借鑒意義。

［1］隋如彬，吳剛，楊興云.微積分：經(jīng)濟類［M］.2版.北京：科學出版社，2014：60-61.

［2］朱來義.微積分［M］.北京：高等教育出版社，2009：50.

［3］張建梅，馬慶華，席敏，等.經(jīng)濟數(shù)學：微積分［M］.北京：科學出版社，2012：41.

［4］吳贛昌.微積分［M］.北京：中國人民大學出版社，2009：54-55.

【責任編輯王云鵬】

A Theorem of Calculating Limit of Power Exponential Function and Its Application

LIU Yuanzong，HUANG Cheng
（South China Business College，Guangdong University of Foreign Studies，Guangzhou 510545，China）

A theorem of calculating limit of power exponential function was given in this paper.By this theorem，the limit of power exponential function was transformed into the product's limit of two functions so that the complex steps of making up index were avoided by means of the second important limit.The given examples have illustrated the conciseness of using this theorem to calculate limit of power exponential function.

power exponential function；important limit；make up index；application

G642.0

A

2095-7726（2016）03-0065-02

2015-09-04

廣東省教育廳高等教育教學改革項目（粵教高函〔2015〕173號）

劉元宗（1947-），男，河南鞏義人，教授，研究方向：初等數(shù)論和數(shù)學方法論。