彭劍　張改　李祿欣

(湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院, 湘潭　411201)

?

鉸支柔性梁主參數(shù)共振的時滯反饋控制*

彭劍?張改李祿欣

(湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院, 湘潭411201)

研究了時滯反饋控制作用下鉸支柔性梁主參數(shù)共振問題.采用多尺度法,從理論上推導(dǎo)了時滯位移反饋控制作用下鉸支柔性梁非線性主參數(shù)共振,分析了時滯、反饋控制增益,非線性系數(shù)等系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)非線性主參數(shù)振動的影響,分析了主參數(shù)動力響應(yīng)隨參數(shù)變化的規(guī)律.結(jié)果表明:隨著反饋增益的增大,系統(tǒng)響應(yīng)幅值得到明顯抑制,合理地控制系統(tǒng)參數(shù)選取可提高振動控制的效率.

時滯反饋,主參數(shù)共振,柔性梁,振動控制,穩(wěn)定性

引言

動力系統(tǒng)在本質(zhì)上是非線性或趨于在一定條件下的非線性,源于非線性項的影響,系統(tǒng)存在極限環(huán)、跳躍現(xiàn)象,分岔及混沌等.在實際工程中,柔性梁的非線性動力學(xué)及分岔研究、橫向激勵作用下柔性梁的大幅振動控制是重要研究內(nèi)容之一,采用時滯反饋控制技術(shù)也引起了廣泛關(guān)注.

Hegazy[1]采用三次非線性策略對單模態(tài)柔性梁進行振動控制.馮志宏和霍睿[2]基于加速度時滯閉環(huán)反饋控制策略,研究了壓電耦合懸臂梁的時滯反饋控制及穩(wěn)定性.陳龍祥和蔡國平[3]對旋轉(zhuǎn)運動柔性梁的時滯主動控制開展了實驗研究,得到控制系統(tǒng)中的時滯也有可利用的價值.趙艷影和徐鑒[4]研究了時滯非線性動力吸振器的減振機理,通過調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時滯來實現(xiàn)主系統(tǒng)的減振.Daqaq等[5]采用時滯加速度反饋控制研究了壓電耦合懸臂梁的非線性振動.劉銘等[6]對中立型時滯反饋扭轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了分析.賈雁兵, 等[7]研究了異質(zhì)性和時滯作用下神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的共振動力學(xué).王在華和胡海巖[8]對時滯系統(tǒng)研究進展作了系統(tǒng)的綜述.

本文研究了時滯反饋控制對鉸支-鉸支柔性梁非線性動力響應(yīng)的影響.運動方程具有平方阻尼、三次和五次非線性及參數(shù)激勵項.采用多尺度法求解該非線性方程.該系統(tǒng)采用線性時滯位移反饋控制,以幅頻響應(yīng)曲線和時程曲線反映其控制效果,分析了不同控制參數(shù)對系統(tǒng)主參數(shù)振動的影響.

1　振動控制模型

圖1給出了軸向激勵作用下長度為l的兩端鉸支柔性梁的物理模型.軸向激勵作用下鉸支梁的橫向位移w(x,t)的運動微分方程表示如下[9]:

(1)

其中:一撇表示對x求導(dǎo),m表示梁的線重,E是彈性模量,I為慣性矩,c是阻尼系數(shù).邊界條件如下:

(2)

運用Galerkin方法對位移函數(shù)w(x,t)進行展開:

(3)

f2qn3cosΩt-α1qn3-α2qn5)=Tn

(4)

Tn=-knqn(t-τ)

(5)

kn為控制增益,τ為時滯.

圖1　軸向激勵下的鉸支柔性梁的理論模型Fig. 1　Theoretical model of a hinged-hinged flexible beam subjected to harmonic axial excitation

2　非線性響應(yīng):主參數(shù)共振

采用多尺度法[10]對主參數(shù)共振進行計算.令Ω=2ω0+εσ,σ=Ο(1).將方程(4)的解記為:

qn(t)=qn0(T0,T1)+εqn1(T0,T1)+…

(6)

式中T0=t,T1=εt,同時設(shè):

f1qncosΩt=f1qncos(2ω0T0+σT1),

f2qn3cosΩt=f2qn3cos(2ω0T0+σT1)

(7)

將方程(6-7)代入方程(4)中,令兩端的ε0和ε1的系數(shù)相等,得到:

D02qn0+ωn2qn0=0

(8)

D02qn1+ωn2qn1=-2D0D1qn0-μ1D0qn0-

μ2(D0qn0)D0qn0-f1qn0cosΩt-f2qn03cosΩt+

α1qn03+α2qn05-knqn0(T0-τ,T1)

(9)

方程(8)的通解可以寫為:

qn0=An(T1)exp(iω0T0)+

(10)

將qn0代入方程(9)中,并把cos(2ω0T0+σT1)用復(fù)數(shù)形式表示,有:

exp(iω0T0)-μ2ω02An2exp(2iω0T0)-

(11)

其中cc代表前面各項的共軛復(fù)數(shù).消去方程(11)中的久期項,有:

(12)

將An表示成極坐標(biāo)形式:

(13)

式中an和βn都是實函數(shù),分離實虛部,可得:

(14)

(15)

的解,這兩個方程取平方后相加,得到:

(16)

上式即主參數(shù)共振的幅頻響應(yīng)方程.

3　算例分析

本節(jié)主要討論時滯、控制增益及非線性系數(shù)對主參數(shù)振動第一階模態(tài)響應(yīng)的影響.

圖2　時滯值和控制增益對幅頻曲線的影響Fig. 2　Influence of time-delay value and control gain on the amplitude-frequency curves

選定參數(shù)f1=0.2,f2=0.03,f3=0.1,w=0.7,μ1=0.02,α1=0.1,α2=0.3.圖2給出了無控和有控,不同控制增益,不同時滯值時的幅頻響應(yīng)曲線.從中可以看出,施加控制之后,響應(yīng)幅值得到明顯抑制,且當(dāng)控制增益固定,隨著時滯值的增大,控制效果降低.同時,當(dāng)固定時滯值時,控制效果隨控制增益的增大而增強.并且所有曲線呈硬彈簧特性,有多值區(qū)域.

圖3　非線性系數(shù)和時滯對幅頻曲線的影響Fig. 3　Effect of non-linear coefficient and time delay on amplitude-frequency curves

圖3中,固定時滯值k1=0.2,得到不同非線性參數(shù)α1的幅頻曲線.隨著α1的增大,響應(yīng)由硬彈簧特性轉(zhuǎn)為軟彈簧特性,非線性特征發(fā)生本質(zhì)改變.當(dāng)α1>0時,響應(yīng)峰值隨時滯減小而增大,而當(dāng)α1<0時,響應(yīng)峰值隨時滯增大而減小.

圖4　τ=π/2時,受控梁的時程曲線和相圖Fig. 4　Time history curve and phase diagram of a controlled beam when τ=π/2

圖5　τ=3π/4時,受控梁的時程曲線和相圖Fig. 5　Time history curve and phase diagram of a controlled beam when τ=3π/4

圖6　τ=π時,受控梁的時程曲線和相圖Fig. 6　Time history curve and phase diagram of a controlled beam when τ=π

圖4～圖6給出了當(dāng)參數(shù)激勵頻率Ω≈2ω0情況下系統(tǒng)響應(yīng)的時程曲線和相圖.從圖中可以看出,隨著時滯值的增大,由0.5π增大到π,系統(tǒng)從穩(wěn)定運動到擬周期運動,且響應(yīng)幅值顯著增大.

4　小結(jié)

本文主要研究了采用時滯位移反饋控制鉸支柔性梁的主參數(shù)共振問題.利用多尺度法研究了主參數(shù)響應(yīng),得到結(jié)論如下:鉸支柔性梁的非線性動力系統(tǒng),主參數(shù)振動響應(yīng)存在多值和跳躍現(xiàn)象;采用時滯位移反饋控制策略,主參數(shù)響應(yīng)幅值得到明顯抑制;適當(dāng)?shù)恼{(diào)整時滯值和控制增益,可以達(dá)到最佳控制效果.

1Hegazy U H. Single-mode response and control of a hinged-hinged flexible beam.ArchiveofAppliedMechanics, 2009,79(4):335～345

2馮志宏,霍睿.壓電耦合懸臂梁的時滯反饋控制及穩(wěn)定性分析.振動與沖擊,2011,30(6):181～184 (Feng Z H, Huo R. Time-delay feedback control and stability analysis of piezoelectric-coupling cantilever beam.JournalofVibrationandShock, 2011,30(6):181～184 (in Chinese)).

3陳龍祥,蔡國平.旋轉(zhuǎn)運動柔性梁的時滯主動控制實驗研究.力學(xué)學(xué)報,2008,40(10):520～527 (Chen L X, Cai G P. Experimental study on active control of a rotating flexible beam with time delay .ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics, 2008,40(10):520～527(in Chinese))

4趙艷影,徐鑒.時滯非線性動力吸振器的減振機理.力學(xué)學(xué)報,2008,40(1):98～105 (Zhao Y Y, Xu J. Mechanism analysis of delayed nonlinear vibration absorber.ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics,2008,40(1):98～105 (in Chinese))

5Daqaq M F, Alhazza K A, Arafat H N. Non-linear vibrations of cantilever beams with feedback delays.InternationalJournalofNon-LinearMechanics, 2008,43:962～978

6劉銘,徐曉峰,張春蕊.中立型時滯反饋扭轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析. 動力學(xué)與控制學(xué)報,2015,13(6):449～453 (Liu M, Xu X F, Zhang C R. Stability analysis of delayed torsional vibration system of neutral type.JournalofDynamicsandControl, 2015,13(6):449～453 (in Chinese))

7賈雁兵,楊曉麗,孫中奎.異質(zhì)性和時滯作用下神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的共振動力學(xué). 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2014,12(1):86～91 (Jia Y B, Yang X L, Sun Z K. Impact of diversity and delays on the resonance dynamics of neuronal networks.JournalofDynamicsandControl, 2014,12(1):86～91 (in Chinese))

8王在華,胡海巖.時滯動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔:從理論走向應(yīng)用.力學(xué)進展,2013,43(1):1～20 (Wang Z H, Hu H Y. Stability and bifurcation of delayed dynamics systems: From theory to application. 2013,43(1):1～20 (in Chinese))

9Zhang W, Wang F X, Zu J W. Local bifurcations and codimension-3 degenerate bifurcations of a quintic nonlinear beam under parametric excitation.Chaos,SolitonsandFractals,2005,24(4):977～998

10Nayfeh A H. Linear and nonlinear structure mechanics. New York: Wiley Interscience,2004

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (11402085), Scientific Research Foud of Hunan Provincial Education Department (14C0464) and Foudation of Excellent Doctoral Dissertation of Hunan Province (YB2015B035)

? Corresponding author E-mail: pengjian@hnu.edu.cn

30 December 2015,revised 18 January 2016.

TIME-DELAYED FEEDBACK CONTROL OF A HINGED-HINGED FLEXIBLE BEAMUNDER PARAMETRIC EXCITATION*

Peng Jian?Zhang GaiLi Luxin

(SchoolofCivilEngineering,HunanUniversityofScienceandTechnology,Xiangtan411201,China)

The time-delayed feedback control of a hinged-hinged flexible beam under parametric excitation are investigated in this paper. Based on multiple scales method, the nonlinear principal parametric resonance of a hinged-hinged flexible beam with time-delayed state feedback are obtained. The influences of the time delay, the feedback control gain and the nonlinear coefficient on the nonlinear main parametric vibration response of the system are investigated. Moreover, the variation of the main parametric response with the control system parameters is obtained. The results show that with the increase with the feedback gain, the system response amplitude is significantly suppressed. Therefore, through selecting appropriate control system parameters, the efficiency of vibration control can be improved.

time-delay feedback,primary parametric resonance,flexible beam,vibration control,stability

E-mail: pengjian@hnu.edu.cn

10.6052/1672-6553-2016-10

2015-12-30收到第1稿,2016-01-18收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金(11402085),湖南省教育廳資助項目(14C0464)和湖南省優(yōu)秀博士論文資助項目(YB2015B035)