馬小然

摘 要：通過對波利亞《怎樣解題》這本書的深入研讀，以讀后感的形式，對波利亞的“怎樣解題表”進行了介紹與分析，最后也介紹了波利亞的“怎樣解題表”在當今的發(fā)展情況。

關(guān)鍵詞：怎樣解題表；波利亞；研究成果；發(fā)展

喬治·波利亞（George Polya），是本世紀杰出的數(shù)學(xué)家和偉大的數(shù)學(xué)教育家，他復(fù)興了“探索法”，即數(shù)學(xué)啟發(fā)法，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)問題求解（Problem Solving）與合情推理的一個全新時代，他的著作已影響了全世界數(shù)以百萬計的數(shù)學(xué)教育工作者。文章對波利亞最具影響力的著作之一《怎樣解題》作重點介紹，并依據(jù)他的“怎樣解題表”提出自己的見解和看法。

一、波利亞的生平和主要數(shù)學(xué)研究成果

1.波利亞的生平

喬治·波利亞（George Polya），1987年12月13日誕生于布達佩斯，先后在布達佩斯、維也納、哥根廷、巴黎等地求學(xué)。1921年在布達佩斯的約特沃斯·洛輪德大學(xué)獲哲學(xué)博士學(xué)位，學(xué)位論文的題目是“概率演算中的一些問題及其有關(guān)的定積分”。1914年，波利亞接受德國數(shù)學(xué)家A·胡爾維茨（Hurwitz）的邀請，到蘇黎世的瑞士聯(lián)邦工學(xué)院任教；1920年升為副教授；1928年任教授；1938年任數(shù)理學(xué)院院長。1940年，由于第二次世界大戰(zhàn)，移居美國，歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授、美國國家科學(xué)院院士。1953年，在斯坦福大學(xué)退休。1953年至1956年，他受美國數(shù)學(xué)會之邀到過許多地區(qū)和學(xué)校講課、視察；1963年作為大克利夫蘭（Greater Cleveland）教育研究學(xué)會的顧問，參與課程內(nèi)容的建議，深入調(diào)查，掌握了豐富的現(xiàn)實材料；1972年，波利亞參加了第2屆國際數(shù)學(xué)教育會議；1980年被選為第4屆國際數(shù)學(xué)教育大會榮譽主席。1985年9月7日，波利亞在加福尼亞的帕洛阿爾托（Palo Alto）病逝，享年97歲。

2.波利亞的主要數(shù)學(xué)研究成果

（1）概率論

波利亞早期的工作主要涉及幾何概率方面，有人認為波利亞是第一個在論著中使用“中心極限定理”這一術(shù)語的人。波利亞還研究了概率論中的特征函數(shù)，提出所謂的“波利亞準則”。他的一個典型例子是——罐子模型（the Polya urn sche-me），而他對概率論最重要的貢獻是他在1921年發(fā)表的有關(guān)隨機游動的論文。他首創(chuàng)了術(shù)語“隨機游動”（random walk）。

（2）函數(shù)論

雖然波利亞在概率方面有引人注目的成就，但他最深奧、最艱難的工作卻是復(fù)變函數(shù)論，特別是全平面內(nèi)沒有奇點的單位函數(shù)的研究。在這領(lǐng)域有許多術(shù)語都是以他的名字命名的，如“波利亞峰”“波利亞表示”和“波利亞間隙定理”等。

在1957年，波利亞和舍恩伯格提出了一個有關(guān)冪級數(shù)的猜想：“能夠?qū)挝粓A映入凸區(qū)域的兩個冪級數(shù)的阿達馬積，仍是一個具有相同性質(zhì)的冪級數(shù)?！边@被稱為波利亞-舍恩伯格猜想，后來被德國維爾茨堡的S.路什科威（Ruscheweyh）和英國約克的T.小希爾（Sheil-small）合作證明。在1919年的論文中，他還提出了一個猜想，被稱為波利亞猜想，后來被證明不成立，可他卻導(dǎo)致了統(tǒng)計方法的重大進展。

（3）組合數(shù)學(xué)

波利亞給出了同分異構(gòu)體的普遍適用的一般計數(shù)方法。他在這方面發(fā)現(xiàn)的主要定理現(xiàn)已被稱為“波利亞計數(shù)定理”（Polyas enumeration theorem），被寫入了組合數(shù)學(xué)教材中。

（4）等周問題

在1945年統(tǒng)一解決了各種特征值的等周不等式以及特征值的估計問題。

（5）幾何與數(shù)論

早在1913年，波利亞就證明了一個重要結(jié)論：“一條皮亞諾（Peano）曲線，它通過一個區(qū)域的每一個點至多三次。”眾所周知，這樣的曲線必須有至少三個重點，但波利亞證明了，這樣的曲線不必須有更高重數(shù)的點。

二、解讀“怎樣解題表”

1.簡介“怎樣解題表”

《怎樣解題》這本書是圍繞“怎樣解題表”來寫的，而“怎樣解題表”是由多個帶有啟發(fā)性的問題與五點建議構(gòu)成的，對于以上問題與建議的描述類似于解決問題思維過程的“慢鏡頭”，能夠讓別人對解題的具體思維過程進一步明確。波利亞的“怎樣解題表”具體步驟如下：

第一步：首先將具體問題搞清楚，即明確問題。首先了解未知數(shù)指的什么？明確已知數(shù)據(jù)與相關(guān)條件，弄清楚是否能夠滿足條件？如果將未知數(shù)確定了，能否得到充分的條件？或者確定條件是否是多余的、矛盾的或者是不夠充分的。根據(jù)以上思維過程，用圖表示出來，并將相應(yīng)的符合引入進來。將各相關(guān)條件分開后，是否能夠?qū)⑵溆谜Z言表述出來？

第二步：將已知數(shù)與未知數(shù)的關(guān)系確定。若難以將兩者的直接關(guān)系確定，那么就需要對輔助問題列入考慮范圍。此時便可獲得求解計劃，即擬定計劃。你是否曾經(jīng)碰到過類似問題？你是否曾經(jīng)碰到過內(nèi)容類似但形式不同的問題？你是否碰到過與該問題相關(guān)的問題？你能否想起能夠解答此問題的定理？再次明確未知數(shù)，并嘗試回想以往碰到過的類似問題中的未知數(shù)或類似未知數(shù)。你面前有一個與此問題相關(guān)的且已經(jīng)得到解題答案的問題，你能否對其充分利用起來，包括利用該問題的解題方法、解答結(jié)果？要想充分利用它，需要將哪些輔助元素引入進來？你能否將此問題進行重新復(fù)述？你能否采用其他方法將其重新復(fù)述？

將思路轉(zhuǎn)回到定義上：如果無法找到方法來解決當前問題，則可以預(yù)先對類似問題進行解答。你能否想到一個相對容易解決的類似問題？比如普遍性較強的問題、相對特殊的問題、類比問題等。你能將此類問題的其中某部分進行解決嗎？將問題中條件的某部分固定，將其余部分刪除，能否進一步確定問題的未知數(shù)？刪除后對此問題能夠起到怎樣的影響？你能否在問題的已知數(shù)據(jù)中得到關(guān)鍵的信息？你還能列出有利于進一步確定未知數(shù)的哪些數(shù)據(jù)信息？如果解題需要，你能否將問題中的未知數(shù)或數(shù)據(jù)等信息進行相應(yīng)調(diào)整？或者將兩者均進行相應(yīng)調(diào)整，是否能夠使未知數(shù)與調(diào)整后的新數(shù)據(jù)相關(guān)性更大？你是否對問題中的所有數(shù)據(jù)均充分利用起來？你是否對整個條件均利用了？你是否對此問題所涉及的所有概念均全面考慮到了？

第三步：將你的計劃付諸實踐，即實現(xiàn)計劃。將你以上所有的求解計劃付諸實踐，并對每一步進行詳細檢驗。你是否能夠確定該步驟的正確性？你是否能夠?qū)υ摬襟E的正確性給予相關(guān)證明？

第四步：對問題的答案進行再次驗算，即回顧。你能否對自己做出的論證進行檢驗？你是否能夠采用其他方法將問題結(jié)果導(dǎo)出？你能夠一眼就能將其認出？你能否將此問題的結(jié)果或者解題方法轉(zhuǎn)移到對其他問題的解答上？

2.對“怎樣解題表”的認識

從“怎樣解題表”中我們可以看出，波利亞把數(shù)學(xué)題的求解過程分為四個階段。第一階段，對問題產(chǎn)生明確的認識，明確未知數(shù)；第二階段，了解各個項之間的聯(lián)系，已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，并把我們的解題思路擬定成一個計劃；第三階段，將我們的計劃付諸實踐；第四階段，對以上解答過程進行回顧，進行再次驗算與討論。細細想來，通常我們在實際解答問題過程中，為了獲得問題的解答方法，思維中也涉及了以上某些問題，只是對解題思維沒有進一步關(guān)注。而在波利亞的總結(jié)下，對我們在解答問題過程中所用的思維方式與思維過程產(chǎn)生強烈的應(yīng)用意識。如此一來，一方面，能夠進一步提升我們解答問題的能力；另一方面，還可以使我們的思維受到良好的訓(xùn)練，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

（1）明確問題

波利亞強調(diào)：“回答一個你尚未弄清楚的問題是愚蠢的，去做一件你不愿干的事情是可悲的?！币虼耍覀?nèi)ソ獯鹨粋€問題之前，首先應(yīng)該熟悉這個問題。如何來熟悉這個問題呢？從問題的敘述開始，觀察揣摩整個問題，使其清楚而鮮明，并把問題牢記在大腦里，直到我們不再看著問題，也可以把問題重新敘述出來。而在這張表的一開始，波利亞就提出了許多問題。如：“未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？……”他教我們?nèi)绾蝸砼鍐栴}。

（2）擬定計劃

這是“怎樣解題表”的主要部分，在這一部分，波利亞主要從聯(lián)想和轉(zhuǎn)換兩個方面教我們擬定出計劃。

①聯(lián)想。聯(lián)想是波利亞“怎樣解題表”的核心所在，它能夠?qū)θ说穆?lián)想行為產(chǎn)生啟發(fā)。那么什么是聯(lián)想？我們又應(yīng)該怎樣去聯(lián)想？那就讓我們再次回顧一下波利亞“怎樣解題表”中的啟發(fā)性問題與建議吧：“你是否曾經(jīng)碰到過類似問題？你是否曾經(jīng)碰到過內(nèi)容類似但形式不同的問題？你是否碰到過與該問題相關(guān)的問題？你能否想起能夠解答此問題的定理？再次明確未知數(shù)，并嘗試回想以往碰到過的類似問題中的未知數(shù)或類似未知數(shù)。你面前有一個與此問題相關(guān)的且已經(jīng)得到解題答案的問題，你能否對其充分利用起來，包括利用該問題的解題方法、解答結(jié)果？要想充分利用它，需要將哪些輔助元素引入進來？你能否將此問題進行重新復(fù)述？你能否采用其他方法將其重新復(fù)述？……”聯(lián)想不僅是思維的開始，而且貫穿于整個思維過程中，只有通過由此及彼、由表及里的廣泛的多層次的聯(lián)想，思維才能一步步深入，最終使問題得到解決。這種有意識地引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想的方法是我們每位教師都應(yīng)該學(xué)習(xí)的，只有啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生積極思維，廣泛聯(lián)想，由表及里、由淺入深地思考，并不斷總結(jié)和改進，才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得最大的收獲。

②轉(zhuǎn)換。這里說的轉(zhuǎn)換，就是書中所說的“變化問題”“題目變更”，這個步驟可以充分地表現(xiàn)出解題的過程，解題的策略和形式都盡可能地表達清晰，并合理地運用到了教學(xué)實踐中。波利亞強調(diào)：“解題中的成功有賴于選擇正確的方面，有賴于從好接近的一側(cè)攻擊堡壘。為了找出哪個方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個方面、各個側(cè)面去試驗，我們變化問題?！痹诓ɡ麃喌摹霸鯓咏忸}表”中，提出促使我們進行問題轉(zhuǎn)換的多個啟發(fā)式問句或建議，將當前問題轉(zhuǎn)化為類似問題或已經(jīng)獲得解題答案的問題，對相類似的問題充分考慮，首先解決普遍性較強的問題、相對特殊的問題或類比問題。以上啟發(fā)性問題均涉及當前問題的轉(zhuǎn)換。“如果不‘變化問題我們幾乎不能有什么進展”——這就是波利亞的結(jié)論。

（3）實現(xiàn)計劃

這是一個比較簡單的環(huán)節(jié)，它對解題者的耐心具有極高的要求。在計劃的擬定階段，首先需要列出一個相關(guān)的問題大綱，而在計劃的實現(xiàn)階段，則應(yīng)對每一個解題細節(jié)進一步充實，并對每一個解題細節(jié)進行耐心對比、檢查，直到?jīng)]有其他隱藏的含糊問題為止。

（4）回顧

很多時候，我們解答完某一問題，得到論證結(jié)果后，通常不進行進一步的驗證就著急寫下答案。此時，我們很容易將解答問題的最后一個重要步驟忽略，也就是回顧環(huán)節(jié)。通過此環(huán)節(jié)，我們對當前問題的思維過程進行有效重復(fù)，并對問題結(jié)果進行重新考慮與驗證，不但可以鞏固這方面的知識，還可以提高我們的解題能力，特別是當我們的論證冗長而復(fù)雜的時候更是如此。

在“怎樣解題表”中，波利亞給出了許多指引我們回顧問題的問句和建議：“你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這個結(jié)果或方法用于其他的問題？……”這些都是幫助我們回顧問題的非常好的向?qū)А?/p>

三、“怎樣解題表”的發(fā)展

近十幾年來，通過不斷的反思和對解題活動的深入研究，“問題解決”和“數(shù)學(xué)思維”已經(jīng)取得了全新的進展，中國式的“問題解決”也逐漸形成，這些都已成為波利亞的超越。

中國的數(shù)學(xué)教學(xué)一直以來對解題訓(xùn)練和解題研究均非常重視。在20世紀80年代的教育教學(xué)觀點中，美國的“問題解決”影響力越來越大，很多教育學(xué)者分析并利用到教學(xué)實踐中。波利亞的解題方式成為教育世界中的重要指導(dǎo)思路，很多學(xué)者為此專門成立了教育小組和開展各種學(xué)術(shù)研討。20世紀90年代，張奠宙教授組織了“數(shù)學(xué)教育高級研討班”，并提出“提倡問題解決”作為促進中國教學(xué)教育改革“突破口”的設(shè)計。“怎樣解題表”在我國的廣泛傳播，有力地推動了中國特色解題研究，并逐漸形成“中國的數(shù)學(xué)問題解決”特色。其具體表現(xiàn)如下：重視數(shù)學(xué)解題思路的過程性；注重數(shù)學(xué)的解題方式與研究方法；利用解題的策略性研究；應(yīng)用問題、數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究；將情景解題、開放性試題進行合理運用；提倡探究性學(xué)習(xí)，進行“問題教學(xué)”“情景教學(xué)”和“開放性教學(xué)”。

參考文獻：

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[2]劉云章，趙雄輝，編.數(shù)學(xué)解題思維策略——波利亞著作選講[M].長沙：湖南教育出版社，1992.

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[4]羅增儒，羅新兵.波利亞的怎樣解題表[EB/OL].http：//www2.upweb.net/peradmin/htmlfile/gzhpzxj/200412210522056385324.doc.