徐秋坪，王中原，常思江

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 江蘇 南京　210094)

?

控制速度方向的彈道修正導(dǎo)引方法*

徐秋坪，王中原，常思江

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 江蘇 南京210094)

由于制導(dǎo)炮彈由身管武器發(fā)射，其飛行控制能力和導(dǎo)引信息量有限，故基于預(yù)測落點(diǎn)位置偏差量來修正速度方向并在控制時(shí)間內(nèi)連續(xù)分配導(dǎo)引指令的思想提出一種新的三維末制導(dǎo)方法。根據(jù)非線性彈道方程組的級數(shù)解預(yù)測彈丸落點(diǎn)位置，得到落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，并提出兩種通過此偏差解算當(dāng)前速度方向修正量的方法。取剩余飛行時(shí)間為修正時(shí)間，通過將速度方向修正量分配到整個(gè)剩余導(dǎo)引段建立加速度修正公式，從而減小導(dǎo)引指令飽和的可能性。通過連續(xù)地預(yù)測落點(diǎn)和分配加速度指令來實(shí)時(shí)地導(dǎo)引飛行。仿真結(jié)果表明：該導(dǎo)引方法簡單可行，精度高，對控制能力要求較低，且具備較好的制導(dǎo)效果和毀傷效果，可為該體制制導(dǎo)炮彈的應(yīng)用提供參考依據(jù)。

制導(dǎo)炮彈；導(dǎo)引方法；彈道修正；落點(diǎn)預(yù)測；剩余飛行時(shí)間

為適應(yīng)現(xiàn)代化戰(zhàn)爭的需要，將現(xiàn)有制式常規(guī)炮彈以較低成本改裝成具有一定彈道控制能力的制導(dǎo)炮彈，使其具備效費(fèi)比高、首發(fā)命中率高、能高效攻擊靜止和低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)等優(yōu)點(diǎn)，目前已成為許多國家研究的熱點(diǎn)課題。導(dǎo)引律設(shè)計(jì)是制導(dǎo)炮彈導(dǎo)引控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵技術(shù)之一，所選擇的導(dǎo)引方法的優(yōu)劣會(huì)直接影響到命中目標(biāo)的精度和制導(dǎo)炮彈的作戰(zhàn)性能。由于制導(dǎo)炮彈成本低、體積小，因此其在飛行控制能力及系統(tǒng)復(fù)雜度等方面與導(dǎo)彈有較大差別，并且在射擊過程中存在諸多隨機(jī)擾動(dòng)的影響，故有必要開展適配制導(dǎo)炮彈在復(fù)雜飛行環(huán)境下的導(dǎo)引方法研究。國內(nèi)外已開展了大量關(guān)于制導(dǎo)炮彈導(dǎo)引律的相關(guān)研究工作，提出了不少導(dǎo)引方案。文獻(xiàn)[1]在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引規(guī)律的基礎(chǔ)上，對視線角速度施加一個(gè)偏置量設(shè)計(jì)了偏執(zhí)比例導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)了一種三維聯(lián)合偏置比例制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律結(jié)合了順軌、逆軌攔截模式，采用時(shí)變偏置角速率和時(shí)變比例系數(shù)。文獻(xiàn)[3-4]基于廣義卡爾曼濾波多步估計(jì)算法，在經(jīng)典的比例導(dǎo)引方程中引入了視線角加速度，提出了在末制導(dǎo)段采用指向預(yù)測命中點(diǎn)的導(dǎo)引方式，以減小在遭遇點(diǎn)附近法向過載的跳動(dòng)。比例導(dǎo)引律及其改進(jìn)形式(如時(shí)變增益、引入偏置量等)，這些導(dǎo)引方法設(shè)計(jì)的主要出發(fā)點(diǎn)是減小脫靶量，對初始視線轉(zhuǎn)率的精度要求較高且需要消除初始導(dǎo)引誤差。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，不少學(xué)者利用優(yōu)化控制算法研究了新的導(dǎo)引律[5-9]。文獻(xiàn)[10]以艦炮發(fā)射帶有GPS導(dǎo)航和火箭助推的旋轉(zhuǎn)彈為背景對比研究了兩種落角控制導(dǎo)引律(運(yùn)用最優(yōu)控制理論建立的廣義顯示導(dǎo)引律和采用重力補(bǔ)償比例縮放的終端狀態(tài)向前積分導(dǎo)引律)。文獻(xiàn)[11]基于模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃技術(shù)，提出了對地面目標(biāo)的一種3-D帶落角約束的非線性次優(yōu)導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[12]基于傳統(tǒng)滑?？刂评碚摵头瞧娈惤K端滑?？刂评碚摚岢隽艘环N對固定目標(biāo)的三維空間耦合帶落角約束的導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[13]將彈丸線性化模型和預(yù)測控制理論相結(jié)合建立了一種導(dǎo)引律，以減小落點(diǎn)散布。然而，這類導(dǎo)引律需要明確的幾何分析和最優(yōu)控制理論的支撐，并且建立模型相對復(fù)雜，對導(dǎo)引信息輸入量的要求較多?？紤]制導(dǎo)炮彈由身管武器發(fā)射，其飛行控制能力有限、抗干擾能力弱，彈丸導(dǎo)引信息量有限，對彈載計(jì)算機(jī)性能提出了較高的要求，因而模型簡單、有效、精度高，對傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)要求低的導(dǎo)引方法更適用于制導(dǎo)炮彈。

本文基于實(shí)時(shí)預(yù)測落點(diǎn)位置偏差來修正速度方向和連續(xù)分配導(dǎo)引指令的思想，提出了一種新的三維彈道修正導(dǎo)引(Ballistic Correction Guidance, BCG)方法。根據(jù)制導(dǎo)炮彈非線性動(dòng)力學(xué)模型的級數(shù)解快速有效地預(yù)測彈丸落點(diǎn)，用預(yù)測的落點(diǎn)近似代替彈丸的實(shí)際落點(diǎn)，以求得預(yù)測落點(diǎn)與目標(biāo)之間的位置偏差量，并根據(jù)此偏差量解算當(dāng)前飛行位置處的速度方向修正量，通過在控制時(shí)間內(nèi)連續(xù)分配彈道傾角和彈道偏角修正量的方式建立導(dǎo)引關(guān)系。同時(shí)，還提出了兩種根據(jù)位置偏差計(jì)算速度方向修正量的不同處理方法。通過數(shù)值仿真對該導(dǎo)引方法的可行性和有效性進(jìn)行了初步驗(yàn)證，分析了該導(dǎo)引方法各組成部分的特點(diǎn)，結(jié)果表明基于此落點(diǎn)預(yù)測算法的導(dǎo)引方法能在此類制導(dǎo)炮彈上有效地工作，其導(dǎo)引精度高，控制過程平緩，末段控制余量較大，對導(dǎo)引信息要求低，且具備較大的落角，從而為該類制導(dǎo)炮彈的導(dǎo)引控制方案設(shè)計(jì)提供一定的參考。

1　基于彈道方程組級數(shù)解預(yù)測落點(diǎn)

預(yù)測落點(diǎn)方法有多種，可分成兩大類型：數(shù)值積分法和函數(shù)逼近外推法。數(shù)值積分法的實(shí)質(zhì)在于使用數(shù)值積分算法對相應(yīng)的外彈道方程組進(jìn)行求解，如積分6-D模型、積分3-D模型和積分改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)模型等。該方法計(jì)算負(fù)擔(dān)較大，耗時(shí)較多，解算精度依賴彈載計(jì)算機(jī)的性能和解算步長，不易實(shí)時(shí)修正相關(guān)系數(shù)。函數(shù)逼近外推法通過對彈道方程組進(jìn)行多元函數(shù)線性化(或非線性函數(shù))逼近求解，文獻(xiàn)[14-15]中將六自由度剛體彈道模型線性化處理，建立了彈道諸元的解析表達(dá)式，但這些表達(dá)式涉及參數(shù)較多且形式復(fù)雜，不適宜實(shí)際應(yīng)用。采用本文導(dǎo)引律需實(shí)時(shí)預(yù)測飛行落點(diǎn)，這就要求落點(diǎn)預(yù)測算法簡單、準(zhǔn)確而快速?？紤]實(shí)際中對諸多彈道參數(shù)的測試也難滿足剛體彈道的計(jì)算需求，因而實(shí)際中一般采用質(zhì)點(diǎn)彈道方程組。以質(zhì)點(diǎn)彈道方程組的級數(shù)解法為基礎(chǔ)來預(yù)測彈丸落點(diǎn)，計(jì)算簡潔，快速有效且通用性強(qiáng)?？紤]風(fēng)的3-D質(zhì)點(diǎn)彈道模型[16-17]描述為：

(1)

其中

(2)

式中：v, vr分別為彈丸地速和風(fēng)速；m為彈體質(zhì)量；ρ為大氣密度；S為特征面積；g為重力加速度；CD為全彈阻力系數(shù)；θ, ψ分別為彈道傾角和偏角；x, y, z分別為彈丸位置在地面坐標(biāo)系下的投影分量；wx, wz分別為縱風(fēng)和橫風(fēng)風(fēng)速。

(3)

將各位置變量在當(dāng)前預(yù)測點(diǎn)處關(guān)于時(shí)間變量t泰勒級數(shù)展開并略去二階導(dǎo)數(shù)以上各項(xiàng)，可得如式(4)所示彈道方程級數(shù)解析解：

(4)

式中帶下標(biāo)i的參數(shù)為當(dāng)前預(yù)測點(diǎn)處的諸彈道參數(shù)，可由跟蹤雷達(dá)或彈載衛(wèi)星定位裝置實(shí)時(shí)測量提供，此處假設(shè)測量信息是準(zhǔn)確的，且在彈丸后半段飛行過程中相應(yīng)參數(shù)值不變。則令y=0，可得從預(yù)測點(diǎn)到彈丸落地的剩余飛行時(shí)間，用彈道傾角和彈道偏角表示可寫為：

(5)

將tgo代入式(4)可預(yù)測彈丸落點(diǎn)為：

(6)

若已知目標(biāo)位置(xT,zT)，可預(yù)測出彈丸落點(diǎn)與目標(biāo)之間的位置誤差：Δx=x-xT,Δz=z-zT，此位置誤差將作為本文導(dǎo)引方法的輸入量。

2　彈道修正導(dǎo)引律

彈丸在發(fā)射及飛行過程中會(huì)受到諸多不確定因素的干擾，如初始擾動(dòng)，隨機(jī)風(fēng)等，都會(huì)導(dǎo)致命中精度降低。圖1給出了基于上述落點(diǎn)預(yù)測方法的彈道修正導(dǎo)引律示意圖。圖中V，V′分別表示修正前后的速度矢量，二者大小相等方向不同，法向和側(cè)向分別相差角度Δθ,Δψ。無控時(shí)，彈丸以V方向沿著軌跡1飛行，不能命中目標(biāo)。在A點(diǎn)處預(yù)測落點(diǎn)得其與目標(biāo)之間的偏差為(Δx,Δz)。根據(jù)彈道修正的思想，在縱向平面內(nèi)，若落點(diǎn)在目標(biāo)前方(沿射擊方向)則需減小A點(diǎn)處彈道傾角，若落點(diǎn)在目標(biāo)點(diǎn)后方則需增大其值，但是彈道傾角修正量存在一個(gè)較大值和一個(gè)較小值，由于應(yīng)用于末制導(dǎo)且較大的修正值不符合飛行實(shí)際情況則需舍去，側(cè)向平面內(nèi)彈道偏角的修正量也存在相同特點(diǎn)。因此，根據(jù)偏差(Δx,Δz)可解算出相應(yīng)唯一的速度方向修正量(Δθ,Δψ)。根據(jù)(Δθ,Δψ)以某種方法求得相應(yīng)法向和側(cè)向的加速度修正量aθ和aψ，則彈丸以修正后的加速度沿V′方向(軌跡2)飛行并命中目標(biāo)。

圖1　彈道修正導(dǎo)引律示意圖Fig.1　Diagram for ballistic correction guidance

實(shí)際飛行中將V改變(Δθ,Δψ)到V′方向是不可能瞬時(shí)完成的，需在一定修正時(shí)間Δt內(nèi)完成該任務(wù)。因此，可建立如式(7)所示形式的加速度修正量：

(7)

圖2　縱向平面修正量單步離散示意圖Fig.2　Single-step discrete diagram of corrections in vertical plane

式中：K為導(dǎo)引系數(shù)。Δt的值越大則導(dǎo)引指令值越小，飛行軌跡修正越緩慢。Δt的值可取為剩余飛行時(shí)間tgo，意味著將Δθ和Δψ的改變量分配到剩余的整個(gè)導(dǎo)引段中執(zhí)行，而每一步只需要執(zhí)行一個(gè)較小的修正量。圖2給出了縱向平面內(nèi)分?jǐn)倢?dǎo)引的單步離散過程。第i步預(yù)測落點(diǎn)Pi位于目標(biāo)T的后方(沿射擊方向)，相應(yīng)的理想修正角度為Δθi，通過分配后實(shí)際改變的角度為Δθ′i，沿著相應(yīng)導(dǎo)引指令飛行至第i+1步，預(yù)測落點(diǎn)為Pi+1，根據(jù)上述彈道修正思想，Pi+1比Pi更接近目標(biāo)點(diǎn)，即有Δxi+1<Δxi，此時(shí)理想彈道傾角修正量Δθi+1就越小，即Δθi+1<Δθi，再次分配，第i+1步彈道傾角的實(shí)際修正量為Δθ′i+1，沿著相應(yīng)導(dǎo)引指令飛行預(yù)測的落點(diǎn)Pi+2就越趨于目標(biāo)。這樣通過連續(xù)的預(yù)測和分配導(dǎo)引指令，Δθi逐漸減小，相應(yīng)射擊偏差量也逐漸趨于零。

考慮制導(dǎo)炮彈控制能力有限，每次分配的導(dǎo)引指令不宜過小或過大，過小則會(huì)導(dǎo)致修正能力不足，過大則會(huì)使得導(dǎo)引指令飽和，這就需要選擇合適的K和Δt，以降低導(dǎo)引指令飽和的可能性。設(shè)acmax為導(dǎo)引指令的最大控制能力，則加速度修正指令可寫為：

(8)

如何根據(jù)預(yù)測的偏差量(Δx,Δz)解算當(dāng)前狀態(tài)下(Δθ,Δψ)是建立本文導(dǎo)引律的關(guān)鍵所在，這里提出了兩種解算方法。

方法A：利用彈道方程組的級數(shù)解建立(Δx,Δz)與(Δθ,Δψ)的非線性耦合關(guān)系。

根據(jù)上述落點(diǎn)預(yù)測算法，以當(dāng)前(θi,ψi)預(yù)測落點(diǎn)位置為(x,z)。式(6)可寫為：

(9)

預(yù)測落點(diǎn)偏離目標(biāo)Δx=x-xT,Δz=z-zT。假設(shè)當(dāng)前(θi,ψi)改變?yōu)?θi+Δθ,ψi+Δψ)并預(yù)測其落點(diǎn)為(x′,z′)，則落點(diǎn)位置改變量為Δx′=x′-x,Δz′=z′-z。若此時(shí)的(Δx′,Δz′)恰巧等于(或在一定精度下近似等于)(-Δx, -Δz)，則有x′=xT,z′=zT。

記θ′=θi+Δθ,ψ′=ψi+Δψ。根據(jù)式(9)可建立二元非線性方程組為：

(10)

此二元常系數(shù)非線性方程組只有θ′i,ψ′i為未知量，其余參數(shù)均為該預(yù)測落點(diǎn)處相應(yīng)參數(shù)。若解得θ′i,ψ′i，則Δθ=θ′i-θi,Δψ=ψ′i-ψi。記方程組(10)中右邊為f1(x1,x2)和f2(x1,x2)，其中x1=θ′i,x2=ψ′i，則方程組(10)的解可等價(jià)為如式(11)所示方程組的解：

(11)

根據(jù)前面的分析，此方程組有解且唯一。對于此非線性方程組的求解問題，本文將其轉(zhuǎn)化為解非線性最小二乘問題，即與之等價(jià)的目標(biāo)函數(shù)

(12)

的極小值問題，搜索方向采用Gauss-Newton法，可減小計(jì)算復(fù)雜程度，且收斂速度快，計(jì)算精度高[18-19]。

方法B：采用線性化近似處理方法建立(Δx,Δz)與(Δθ,Δψ)的耦合關(guān)系。

設(shè)F為某質(zhì)點(diǎn)彈道方程組的解函數(shù)，根據(jù)外彈道理論，縱向和側(cè)向射程[20]可寫為：

(13)

假定只在ti處改變(Δθi,Δψi)來影響(Δx,Δz)，則線性化(X,Z)有：

(14)

假定在當(dāng)前位置處引入兩組微小變化量(Δθ1,Δψ1)和(Δθ2,Δψ2)，分別預(yù)測相應(yīng)的落點(diǎn)偏差量為(Δx1,Δz1)和(Δx2,Δz2)。根據(jù)式(14)可建立方程組：

(15)

解出

(16)

則方程組(14)可解為

(17)

進(jìn)一步反解可求得ti時(shí)刻速度方向角的理想修正量(Δθi,Δψi)，如式(18)所示。

(18)

上述兩種求解方法既考慮了縱向和側(cè)向的耦合關(guān)系，又能根據(jù)當(dāng)前飛行環(huán)境實(shí)時(shí)地建立(Δθ,Δψ)和(Δx,Δz)的關(guān)系。根據(jù)上述討論可建立彈道修正導(dǎo)引方案，其流程如圖3所示。

圖3　彈道修正導(dǎo)引方案流程圖Fig.3　Flow diagram of BCG strategy

3　算例仿真與分析

在MATLAB環(huán)境下對某制導(dǎo)炮彈采用此預(yù)測算法和彈道修正導(dǎo)引方法進(jìn)行數(shù)值仿真，并對此導(dǎo)引方法的可行性和有效性進(jìn)行評估。仿真條件：彈重m0=33.305 kg，彈徑130 mm，初速v0=930 m/s，發(fā)射角θ0=45°,ψ0=0°。發(fā)射坐標(biāo)[-27 734, 0, 0]m，目標(biāo)坐標(biāo)[0, 0, 0]m。忽略科氏力。假設(shè)測量信息是準(zhǔn)確的，加速度修正量由鴨舵控制機(jī)構(gòu)提供，其最大修正能力acmax=±1 g，控制系統(tǒng)理想工作。發(fā)射及飛行過程中主要擾動(dòng)源如表1所示。

表1　主要彈道擾動(dòng)源

預(yù)測精度受到起始預(yù)測高度及相應(yīng)飛行狀態(tài)參數(shù)的影響。取一組上述擾動(dòng)源進(jìn)行仿真，在高度為7 km到50 m的飛行段預(yù)測落點(diǎn)，其預(yù)測誤差如圖4所示。圖中δx,δz分別為預(yù)測落點(diǎn)與其實(shí)際落點(diǎn)的縱向和橫向之差。離目標(biāo)越遠(yuǎn)進(jìn)行預(yù)測，剩余飛行時(shí)間越長且預(yù)測誤差越大；隨著彈丸越接近目標(biāo)預(yù)測誤差呈快速收斂趨勢，預(yù)測誤差的相對誤差在1.7%以內(nèi)且也呈逐漸減小的趨勢。當(dāng)高度到達(dá)1 km后縱向和橫向預(yù)測誤差均縮小到1 m的范圍內(nèi)，均可視為滿足精度要求。

(a) 縱向預(yù)測誤差(a) Prediction error of down-range

(b) 橫向預(yù)測誤差(b) Prediction error of cross-range圖4　落點(diǎn)預(yù)測偏差Fig.4　Impact point prediction error

為了驗(yàn)證本文導(dǎo)引方法的可行性和有效性，考慮上述隨機(jī)擾動(dòng)，將不采用末制導(dǎo)和采用上述導(dǎo)引方法末制導(dǎo)的結(jié)果進(jìn)行對比分析。取3000組上述隨機(jī)擾動(dòng)源進(jìn)行Monte Carlo模擬打靶，不采用末制導(dǎo)時(shí)彈丸落點(diǎn)的縱向和橫向誤差最大達(dá)到700 m，其圓概率偏差CEP=315.14 m，射擊精度低。在上述模擬打靶中選取10組隨機(jī)擾動(dòng)，采用本文導(dǎo)引方法進(jìn)行末制導(dǎo)，導(dǎo)引起始高度為5 km，導(dǎo)引系數(shù)選為K=2，采用方法A解算加速度指令，飛行軌跡如圖5所示。為避免接近目標(biāo)時(shí)加速度指令過大，當(dāng)高度y≤50 m后就停止末制導(dǎo)而采用自由飛行，后面采用比例導(dǎo)引律對比分析時(shí)也做相同處理。可以看出，存在擾動(dòng)時(shí)，尤其當(dāng)擾動(dòng)較大時(shí)，如圖中編號為1的隨機(jī)擾動(dòng)，彈丸無控飛行的射擊偏差為(-530.70, 578.08)m，無法命中目標(biāo)，采用本文末制導(dǎo)方法其落點(diǎn)偏差僅(-1.75×10-2, 3.73×10-2)m，且在其余擾動(dòng)下均能有效地命中目標(biāo)。

圖5　10組隨機(jī)擾動(dòng)下導(dǎo)引飛行軌跡Fig.5　Guided trajectories under 10 stochastic perturbations

(a) 縱向加速度指令曲線(a) Histories of the pitch acceleration commands

在上述編號為1的擾動(dòng)下，采用不同導(dǎo)引系數(shù)進(jìn)行末制導(dǎo)，相應(yīng)加速度修正量變化情況如圖6所示，射擊誤差對比如表2所示?？梢钥闯觯?dāng)K=1時(shí)每次加速度分?jǐn)偭窟^小導(dǎo)致修正能力不足，且加速度指令呈逐漸增大的趨勢，甚至超過其修正范圍，射擊精度較低，因此需要K大于1。隨著K的增大，導(dǎo)引指令初始值增大，但隨著飛行時(shí)間的增加導(dǎo)引指令呈快速收斂趨勢，最終趨于零。這意味著導(dǎo)引過程中加速度修正量的控制余量逐漸增大，其末段機(jī)動(dòng)性能較強(qiáng)；但K的值過大會(huì)導(dǎo)致導(dǎo)引指令飽和(如K=5)，并且整個(gè)控制過程加速度修正量的變化范圍也較大。從精度上講，K≥2時(shí)命中精度已相當(dāng)高，可視為直擊命中目標(biāo)?？紤]制導(dǎo)精度、導(dǎo)引指令的變化范圍及其變化過程的平穩(wěn)度，導(dǎo)引系數(shù)可選在2～3之間。

(b) 側(cè)向加速度指令曲線(b) Histories of the yaw acceleration commands圖6　不同導(dǎo)引系數(shù)下導(dǎo)引指令變化曲線Fig.6　Guidance command profile under different gains

K=1K=2K=3K=4K=5縱向誤差/m-18.34-1.75×10-24.46×10-42.92×10-4-8.28×10-5側(cè)向誤差/m31.953.73×10-21.20×10-4-5.31×10-51.94×10-5

(a) 縱向加速度指令曲線(a) Histories of the pitch acceleration commands

(b) 側(cè)向加速度指令曲線(b) Histories of the yaw acceleration commands圖7　不同末制導(dǎo)高度處導(dǎo)引指令變化曲線Fig.7　Guidance command profile under different initially guided altitudes

在編號為1的擾動(dòng)下，取K=2在不同高度下進(jìn)行末制導(dǎo)，相應(yīng)加速度指令變化情況如圖7所示。末制導(dǎo)起始高度影響著修正時(shí)間Δt的值。在整個(gè)導(dǎo)引過程中Δt的值隨著高度不斷地變化，越接近目標(biāo)其值越小?？紤]落點(diǎn)預(yù)測誤差以及制導(dǎo)炮彈控制能力有限，若起始導(dǎo)引高度越接近目標(biāo)則軌跡修正時(shí)間越短，單步分配的指令就越大，甚至?xí)^其修正范圍，并且可能導(dǎo)致導(dǎo)引指令處于持續(xù)飽和狀態(tài)(如末制導(dǎo)初始高度為3 km時(shí)的側(cè)向?qū)б噶?，其命中精度也越低；若導(dǎo)引起始位置離目標(biāo)越遠(yuǎn)則預(yù)測精度相對較差且軌跡修正越緩慢，故末制導(dǎo)起始高度可選在5 km左右。

在不同高度、導(dǎo)引系數(shù)和隨機(jī)擾動(dòng)下，對方法A和方法B解算導(dǎo)引指令進(jìn)行對比仿真，如圖8～10所示。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：采用方法B的計(jì)算量比方法A小，二者的射擊精度幾乎一樣，均能有效地命中目標(biāo)，相應(yīng)加速度修正量也很相近。但采用方法B解算的末段導(dǎo)引指令略有增大的趨勢，同時(shí)其縱向加速度指令在導(dǎo)引初始段存在微小段畸變現(xiàn)象。由于ψ0=0°，即使存在擾動(dòng)時(shí)其值也很小，同時(shí)彈道偏角和由其引起的側(cè)向偏差相對于彈道傾角及其引起的縱向偏差而言均非常小，根據(jù)兩次微小擾動(dòng)分別預(yù)測落點(diǎn)的偏差而建立起(Δθ,Δψ)與(Δx,Δz)之間的關(guān)系，考慮了法向和側(cè)向的耦合，導(dǎo)致線性近似解算(Δθ,Δψ)時(shí)縱向加速度修正量存在波動(dòng)現(xiàn)象。當(dāng)ψ0和θ0相差不大時(shí)可避免加速度指令振蕩現(xiàn)象，如將ψ0設(shè)定大于15°而θ0不變時(shí)加速度指令無振蕩現(xiàn)象。若采用方法A則不存在這一現(xiàn)象，整個(gè)控制過程變化平緩且無振蕩，雖然兩種方法精度相差不大，但從射擊要求和控制穩(wěn)定出發(fā)采取方法A處理為佳。本文與比例導(dǎo)引末制導(dǎo)比較時(shí)均采用方法A處理。

(a) 縱向加速度指令比較(a) Comparison of the pitch acceleration commands

(b) 側(cè)向加速度指令比較(b) Comparison of the yaw acceleration commands圖8　不同導(dǎo)引系數(shù)下方法A和方法B導(dǎo)引指令對比Fig.8　Guidance command comparision between method A and method B under different gains

(a) 縱向加速度指令比較(a) Comparison of the pitch acceleration commands

(b) 側(cè)向加速度指令比較(b) Comparison of the yaw acceleration commands圖9　不同末制導(dǎo)高度下方法A和方法B導(dǎo)引指令對比Fig.9　Guidance command comparision between method A and method B under different initially guided altitudes

(a) 縱向加速度指令比較(a) Comparison of the pitch acceleration commands

(b) 側(cè)向加速度指令比較(b) Comparison of the yaw acceleration commands圖10　不同擾動(dòng)下方法A和方法B導(dǎo)引指令對比Fig.10　Guidance command comparision between method A and method B under different perturbations

(19)

式中：rx, ry, rz為彈目距離矢量在地面系下的各分量。將視線角速率轉(zhuǎn)到速度坐標(biāo)系下有：

(20)

則三維比例導(dǎo)引律加速度指令[21-22]為：

(21)

式中：N為比例導(dǎo)引系數(shù)，V為彈丸飛行速度。

在上述編號為1的隨機(jī)擾動(dòng)下采用PNG末制導(dǎo)，結(jié)果如圖11所示。取N為3，對比仿真PNG和BCG兩種末制導(dǎo)，如圖12、圖13所示。采用BCG末制導(dǎo)的射擊精度相對較好，且其軌跡修正更加平緩，尤其在導(dǎo)引初始段，從軌跡的彎曲程度可看出BCG對控制能力的要求更低。從圖12可以看出，用PNG末制導(dǎo)的彈道傾角和彈道偏角初始段突變較大而后趨于某個(gè)值，中間段其值的變化速率較大；而采用BCG末制導(dǎo)的彈道傾角和彈道偏角初始段突變較小，整個(gè)飛行過程中其值變化很平穩(wěn)且呈逐漸增加的趨勢，同時(shí)可獲得更大的落角，這說明經(jīng)過連續(xù)分配導(dǎo)引指令后BCG可取得更好的導(dǎo)引效果。

(a) 縱向加速度指令曲線(a) Histories of the pitch acceleration commands

(b) 側(cè)向加速度指令曲線(b) Histories of the yaw acceleration commands圖11　不同導(dǎo)引系數(shù)下PNG末制導(dǎo)指令變化曲線Fig.11　Command histories of PNG under different N

(a) 彈道傾角曲線(a) Pitch angle profile

(b) 彈道偏角曲線(b) Yaw angle profile圖12　不同擾動(dòng)下BCG和PNG末制導(dǎo)的速度方向角變化曲線(取圖5中擾動(dòng)的編號為1,9,10)Fig.12　Attitude angle profile for comparing BCG and PNG under different perturbations from fig.5 (1, 9, 10)

(a) 縱向軌跡(a) Vertical trajectories

(b) 側(cè)向軌跡(b) Lateral trajectories圖13　BCG和PNG末制導(dǎo)彈道曲線對比Fig.13　Trajectory profile comparision between BCG and PNG

4　結(jié)論

1)基于彈道方程組級數(shù)解的彈丸飛行落點(diǎn)預(yù)測模型提出了一種連續(xù)修正速度方向的末制導(dǎo)方法，該導(dǎo)引律通過適當(dāng)分配加速度指令以減少導(dǎo)引指令飽和的可能性。

2)在考慮隨機(jī)擾動(dòng)和控制能力受限的條件下對所提導(dǎo)引方法進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了該導(dǎo)引方法的可行性和有效性，分析了導(dǎo)引律中各參數(shù)對制導(dǎo)效果的影響并給出了相應(yīng)參數(shù)的選取條件(導(dǎo)引系數(shù)取在2～3之間，末制導(dǎo)起始高度取在5 km左右為佳)，這些參數(shù)都影響著導(dǎo)引指令每次分配量的大小。

3)對比分析了根據(jù)落點(diǎn)處彈目偏差量解算速度方向修正量的兩種方法，采用方法B求解的加速度修正量會(huì)出現(xiàn)畸變現(xiàn)象且需滿足彈道傾角和彈道偏角相差不大的要求，但是其計(jì)算量較小，解算速度較快，更適用于低等級彈載計(jì)算機(jī)；而采用方法A的求解量較大但精度更高，控制效果更好。

4)與比例導(dǎo)引法相比，采用BCG末制導(dǎo)的射擊精度相對較高，對控制能力的要求較低，具備更好的制導(dǎo)效果和毀傷效果。

5)該導(dǎo)引方法簡單可行且有效，可與其他落點(diǎn)預(yù)測算法相結(jié)合，可為制導(dǎo)炮彈導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)提供一定的參考。

References)

[1]王輝, 章虹虹. 高精度偏置比例導(dǎo)引末制導(dǎo)律研究[J]. 航天控制, 2009, 27(6): 19-22.

WANG Hui, ZHANG Honghong. The development of high-precision biased proportional navigation terminal guidance control[J]. Aerospace Control, 2009, 27(6): 19-22.(in Chinese)

[2]閆梁, 趙繼廣, 沈懷榮, 等. 帶末端碰撞角約束的三維聯(lián)合偏置比例制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[J]. 航空學(xué)報(bào), 2014, 35(7):1999-2010.

YAN Liang, ZHAO Jiguang, SHEN Huairong, et al.Three-dimensional united biased proportional navigation guidance law for interception of targets with angular constraints[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35(7): 1999-2010. (in Chinese)

[3]金學(xué)英. 基于多點(diǎn)估計(jì)的比例導(dǎo)引法的改進(jìn)[D]. 沈陽:沈陽航空航天大學(xué), 2009.

JIN Xueying.The improving of proportional navigation law based on multi-step estimating[D]. Shenyang: Shenyang Institute of Aeronautical Engineering, 2009. (in Chinese)

[4]趙文成, 金學(xué)英, 那嵐. 末制導(dǎo)段比例導(dǎo)引法的改進(jìn)[J]. 指揮控制與仿真, 2009, 31(4): 97-99.

ZHAO Wencheng, JIN Xueying, NA Lan.Modifying of proportional guidance law at terminal guidance[J]. Command Control & Simulation, 2009, 31(4): 97-99.(in Chinese)

[5]Maity A, Oza H B, Padhi R.Generalized model predictive static programming and angle-constrained guidance of air-to-ground missiles [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2014, 37(6): 1897-1913.

[6]Lee C H, Kim T H, Tahk M J. Interception angle control guidance using proportional navigation with error feedback [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2013, 36(5): 1556-1561.

[7]Kumar S R, Rao S, Ghose D. Nonsingular terminal sliding mode guidance with impact angle constraints[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, 37(4): 1114-1130.

[8]Alkaher D, Moshaivo A. Guidance laws based on optimal feedback linearization pseudocontrol with time-to-go estimation[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, 37(4): 1298-1305.

[9]Hablani H B. Endgame guidance and relative navigation of strategic interceptors with delays [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2006, 29(1): 82-94.

[10]Pamadi K B, Ohlmeyer E J. Evaluation of two guidance laws for controlling the impact flight path angle of a naval gun launched spinning projectile [C]//Proceedings of AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit, 2006: AIAA 2006-6081.

[11]Oza H B, Padhi R. Impact-angle-constrained suboptimal model predictive static programming guidance of air-to-ground missiles [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2012, 35(1): 153-164.

[12]Kumar S R, Ghose D. Three dimensional impact angle constrained guidance law using sliding mode control [C]//Proceedings of American Control Conference, 2014: 2474-2479.

[13]Ollerenshaw D, Costello M. Model predictive control of a direct fire projectile equipped with canards [J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 2008, 130(6): 061010-061020.

[14]Hainz L, Costello M. In flight projectile impact point prediction[C]//Proceedings of AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit, Providence, Rhode Island, 2004: 1-40.

[15]Hainz L C, Costello M.Modified projectile linear theory for rapid trajectory prediction [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, 28(5): 1006-1014.

[16]McCoy R L. Modern exterior ballistics: the launch and flight dynamics of symmetric projectiles [M]. Atglen, PA,USA: Schiffer Publishing Ltd., 1999: 165-186.

[17]韓子鵬. 彈箭外彈道學(xué)[M]. 北京：北京理工大學(xué)出版社, 2008: 84-143.

HAN Zipeng. Exterior ballistics for projectiles[M]. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2008: 84-143. (in Chinese)

[18]Ortega J M, Rheinbolbt W C.多元非線性方程組迭代解法[M]. 朱季納, 譯. 北京： 科學(xué)出版社, 1983: 20-26.

Ortega J M, Rheinbolbt W C. Iterative solution of nonlinear equations in several variables[M]. Translated by ZHU Jina. Beijing: Science Press, 1983: 20-26. (in Chinese)

[19]王德人. 非線性方程組解法與最優(yōu)化方法[M]. 北京：人民教育出版社, 1979: 238-258.

WANG Deren. Solution of nonlinear equations and optimization methods[M]. Beijing: People′s Education Press, 1979: 238-258. (in Chinese)

[20]王中原. 彈道修正中的控制算法[J]. 彈道學(xué)報(bào), 2011, 23(2): 19-21.WANG Zhongyuan. Control method for trajectory correction[J]. Journal of Ballistics, 2011, 23(2): 19-21. (in Chinese)

[21]錢杏芳, 林瑞雄, 趙亞男. 導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M]. 北京：北京理工大學(xué)出版社, 2008: 90-111.

QIAN Xingfang, LIN Ruixiong, ZHAO Yanan. Missile flight dynamics[M]. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2008: 90-111. (in Chinese)

[22]Paul Z. Tactical and strategic missile guidance[M]. Washington,USA: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2002: 26-43.

Ballistic correction guidance law based on the control of velocity direction

XU Qiuping, WANG Zhongyuan, CHANG Sijiang

(School of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Taking the limited control authority and guidance information of a gun-launched guided projectile into account, a novel three-dimension terminal guidance law based on the combination of the correction of the velocity direction via impact point prediction and continuous distribution of acceleration command was proposed. The deviations between the impact point of the projectile and the target were predicted on the basis of the series solutions of the nonlinear ballistic equations. According to the deviations, two methods to calculate the direction angle corrections of the current speed were addressed. The remaining flight time was designed as the correction time. The acceleration correction formulas were established through sharing the direction angle corrections of the current speed into the whole remaining guided flight to reduce the possibility of command saturation. By predicting the impact point and distributing the acceleration corrections continuously, the trajectory was shaped in real time. The simulation results show that the proposed guidance law is feasible and effective, and provides the performances of high precision with little requirements of control authority, and has great guidance and damage effects, which can provide reference for the application of the guided projectile.

guided projectile; guidance law; trajectory correction; impact point prediction; remaining flight time

10.11887/j.cn.201604023http://journal.nudt.edu.cn

2015-04-15

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402117)；中國博士后基金資助項(xiàng)目(2013M541676)

徐秋坪(1990—)，男，重慶開縣人，博士研究生，E-mail：qiupxu@163.com；王中原(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：zywang@njust.edu.cn

TJ765.3

A

1001-2486(2016)04-143-10