多元函數(shù)中值定理推論的一個簡化證明

張　冕， 劉慶豐

（阜陽師范學院 a.數(shù)學與統(tǒng)計學院；b.附屬中學，安徽 阜陽 236037）

多元函數(shù)中值定理推論的一個簡化證明

張冕a， 劉慶豐b

（阜陽師范學院 a.數(shù)學與統(tǒng)計學院；b.附屬中學，安徽 阜陽 236037）

利用方向?qū)?shù)的性質(zhì)，對相關問題嘗試進行綜合分析，給出二元函數(shù)中值定理推論的一個簡化的證明方法，并將其推廣到多元函數(shù)的情形，同時提出教學建議。

方向?qū)?shù)；中值定理；推論；常值函數(shù)

函數(shù)中值定理是函數(shù)微分學中重要的內(nèi)容之一。利用一元函數(shù)的中值定理的結論，我們可以得到一個重要的推論，即若 f'（x）=0，x∈I，則 f（x）在I上為常值函數(shù)。同樣，在二元函數(shù)微分學中，也有類似的結論。即：

若函數(shù) f（x，y）在區(qū)域D?R2上的偏導數(shù)恒為零，那么它在D上必是常值函數(shù)。

目前，在一些數(shù)學分析教材中，都給出了關于此命題的證明，但這些證明除了運用二元函數(shù)的中值定理的結論之外，還需要用到有限覆蓋定理的知識，證明過程相對復雜，學生也不易理解和接受。筆者在進行這一部分內(nèi)容的教學中，對教材中基本定理，包括課后習題的相關問題進行綜合分析，提出了一個與傳統(tǒng)證明方法完全不同的簡單證明方法，優(yōu)化了相關課程內(nèi)容的教學，提高了教學效率，同時讓學生從中感受到數(shù)學創(chuàng)新的樂趣，從而提高學生的學習能力。

1　中值定理推論的簡化證明及教學研究

1.1兩個引理

為了使學生更加清晰的理解和掌握定理的證明，我們首先證明如下兩個引理。

引理1設函數(shù) f（x，y）可微，l是R2上一個確定的向量。若處處有 fl（x，y）≡0，則函數(shù) f在任一平行于l的直線上恒為常數(shù)。

證明 設l=（cos α，cos β），（x0，y0）為任一固定點?？疾旌瘮?shù)

g（t）=f（x0+tcos α，y0+tcos β），t∈R，

則g（t）可微，且

可知g（t）恒為常數(shù)，即

f（x0+tcos α，y0+tcos β）=f（x0，y0），

從而函數(shù) f在任一平行于l的直線上恒為常數(shù)。

（證畢）

引理2設函數(shù) f（x，y）可微，l1與l2是R2上一組線性無關向量.若fli（x，y）≡0（i=1，2），則f（x，y）≡常數(shù)。

證明 不妨設l1與l2為單位向量，則由條件知fli=grad f·li≡0，i=1，2。

且因l1與l2線性無關，故對任意單位向量l∈R2，存在不全為零的常數(shù)bi，i=1，2，使得

l=b1l1+b2l2，

從而，對任意單位向量l，有

由引理1知，f（x，y）在任意直線上都是常數(shù)，所以對任意P1，P2∈R2，函數(shù) f（x，y）在直線P1P2上的值處處相等，即 f（P1）=f（P2），亦即

f（x，y）=常數(shù)，（x，y）∈R2。（證畢）

從幾何意義上看，若函數(shù)表示的圖形在坐標平面R2上沿兩條相互垂直的直線上的變化率為零，則此函數(shù)圖形為平行于坐標平面R2的一個平面。在教學過程中指明這一點，對學生理解和掌握定理及其證明，是十分有益的。

事實上，這兩個引理是華東師大版《數(shù)學分析》教材上的兩個習題。由上述證明過程可知，顯然這兩個引理推廣到n元函數(shù)也是成立的。

引理2的結論指出，要證明多元函數(shù)為常值函數(shù)，只需找到相應空間的一組線性無關的向量，并且函數(shù)沿每個向量方向的方向?qū)?shù)為零即可。

1.2定理及其證明

定理1若函數(shù) f（x，y）在區(qū)域D?R2上的偏導數(shù)恒為零，那么它在D上必是常值函數(shù)。

分析 本定理揭示了二元函數(shù)為常值函數(shù)和偏導數(shù)為零之間的關系。而由上述引理2，如果函數(shù)沿兩個線性無關的方向?qū)?shù)為零，則該函數(shù)必為常值函數(shù)。因此，此定理的證明幾乎是顯然的。

證明 由 fx=fy≡0知 f（x，y）的偏導數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)，從而 f（x，y）在D上可微。

在區(qū)域D中沿x軸與y軸方向分別取向量

l1=（1，0），l2=（0，1），顯然l1與l2線性無關，且

由引理2知，函數(shù) f（x，y）在區(qū)域D上恒為常數(shù)。（證畢）

上述證明過程應該是比較簡潔的，學生也是較容易理解和掌握的。由此，類比上述引理的推廣，學生很自然的就可把定理推廣到n維空間形式。即

定理 2設多元函數(shù) f（x1，x2，…，xn）在區(qū)域D?Rn上對各個變量的偏導數(shù)皆為 0，則f（x1，x2，…，xn）為一常值函數(shù)。

2　結語

通過以上所述，我們可以認識到，對于數(shù)學分析課程的教學，應該從總體上進行把握，使學生理解整個學科的理論思想體系，從而引導學生利用已有的知識，把新問題轉(zhuǎn)化為已知的簡單問題。在這里，教師加強對前后知識點的聯(lián)系和相關學科知識的連接串通的引導是十分重要的。如在上述引理和定理的證明中，我們就把數(shù)學分析的知識和高等代數(shù)中有關線性相關的知識進行了關聯(lián)，這對培養(yǎng)學生綜合運用所學知識進行分析問題和解決問題的能力，無疑是十分重要的。特別值得指出的是，將習題和教學內(nèi)容進行適當?shù)恼?，對于加深對相關學習內(nèi)容的理解，提高學生分析問題和解決問題的能力，以及培養(yǎng)學生的初步研究創(chuàng)新能力，更是十分有益的。

［1］ 華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析下冊［M］.4版.北京：高等教育出版社，2001：136-143.

［2］ 陳紀修，於崇華，金路.數(shù)學分析下冊［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004：165-166.

［3］ 肖箭，劉紅琴，宋國強.關于高維中值定理的自然特征［J］.合肥學院學報（自然科學版），2014，24（2）：1-4.

A simplified proof of multivariate function's inference

ZHANG Miana，LⅠU Qing-fengb

（a.School of Mathematics and Statistics；b.Affiliated Middle School，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang Anhui 236037，China）

This paper study mean value theorem of dual function through the directional derivatives and give the simplified proof of its inference，then we spread it to the situation of multivariate function.Finally，some teaching suggestions are proposed.

directional derivative；mean value theorem；inference；constant function

G642

A

1004-4329（2016）01-111-02

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-111-02

2015-3-11

安徽省質(zhì)量工程項目（2015jxtd121，2013zy167，2014zy138，2015jxtd023）；阜陽師范學院質(zhì)量工程項目（2015JYXM23，2014JXTD01，2013ZYSD05）資助。

張冕（1978-），女，博士，教授，研究方向：隨機過程、排隊論。