王剛

摘要：一個錯誤概念的解決能催人奮進(jìn)，一個錯誤判斷的落實(shí)能使人豁然開朗，一種錯誤的推理方法的矯正能使人回味無窮，反例教學(xué)猶如黑夜中的星辰，給人以鼓舞和希望，反例教學(xué)恰似大海中的航標(biāo)燈，照亮學(xué)生避免觸及知識海洋中的暗礁，只要我們教師在教學(xué)過程中勤于積累，勇于探索，持之以恒，充分利用反例教學(xué)這一銳利武器，必定能讓師生共同分享到成功的喜悅，必定能讓師生終生受益。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；反例；教學(xué)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）09-0217-01

1.數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的作用與地位

數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯性強(qiáng)、思維嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要具有耐心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。數(shù)學(xué)要求學(xué)生具有一定的發(fā)散性思維，能夠舉一反三，通過一個例子的靈活變動掌握一系列相關(guān)的知識點(diǎn)。通過反例能夠提高數(shù)學(xué)課堂的針對性，加深學(xué)生對個別知識點(diǎn)的認(rèn)知。通過反例還能夠提高學(xué)生的邏輯推理能力，從反方面驗(yàn)證數(shù)學(xué)原理，提高辯證推理能力。由于我們平時接觸的命題大多數(shù)是真命題，大多數(shù)學(xué)生往往堅(jiān)定信念，一往無前，總是千方百計(jì)地希望從正面證得結(jié)論成立，這就反映出學(xué)生思維品質(zhì)的缺陷。而反例就是讓學(xué)生從另一個角度去思考，敢于質(zhì)疑，把冥想苦思，正面不能解決的問題，以否定的方式巧妙解決。反例教學(xué)，能夠打破思維格式、彌補(bǔ)思維缺陷和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對于全面提升思維品質(zhì)起著它獨(dú)一無二的作用。又由于反例能夠把一個很難說清、容易混淆的問題變得簡單明了、淺顯易懂，具有極強(qiáng)的說服力。因此它在數(shù)學(xué)教學(xué)中非常容易被學(xué)生理解接受，容易引起學(xué)生的共鳴。并且學(xué)生能把這種數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法潛移默化地運(yùn)用到其他學(xué)科和生活領(lǐng)域當(dāng)中，對培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的意識有著不可估量的作用。

2.反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的功能

2.1反例是使學(xué)生加深理解概念的重要工具。數(shù)學(xué)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是思維的細(xì)胞。學(xué)好數(shù)學(xué)概念是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)思維能力的基礎(chǔ)。所以，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)中的中學(xué)教學(xué)的概念教學(xué)不盡人意。學(xué)生往往對數(shù)學(xué)概念缺少深刻的理解。就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，素質(zhì)教育提倡的是為理解而教。教學(xué)上需要用不同的策略處理，用不同的理論指導(dǎo)。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容而言，常規(guī)訓(xùn)練是否對概念形成有作用，是否有利于理解領(lǐng)會，還需要從內(nèi)容方面剖析概念形成的過程，要構(gòu)造自己理解的概念，從而達(dá)到學(xué)習(xí)目的。

在初二學(xué)習(xí)函數(shù)定義時：在某一變化過程中，存在兩個變量x，y。當(dāng)變量x在某一允許變化范圍內(nèi)任取一個值。通過某種對應(yīng)法則，使得都有唯一的y值與之對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f（x）。其中x叫做自變量，y叫因變量。

表面上，同學(xué)們都認(rèn)為這個定義不需要解釋也能明白、理解。仔細(xì)分析下來，很多學(xué)生對上述定義中"任取"和"唯一"這兩個詞語理解不透。于是教師就在此處引用幾個反例來說明所謂"任取"和"唯一"所指的具體含義。

2.2反例是否定命題的重要方法。由于反例在否定一個命題時具有特殊的重要意義。因此在教學(xué)中充分利用反例的這一特點(diǎn)適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例，可以收到事半功倍的效果。

例如：要說明"兩個無理數(shù)的積仍是無理數(shù)"的結(jié)論成立，只要舉出一個相反的例子駁斥它就可以了。如：因?yàn)?×=6，而6不是無理數(shù)，故這個結(jié)論不成立。

2.3反例是數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要手段。利用反例，可使學(xué)生克服思維定勢，有利于培養(yǎng)思維的靈活性。在教學(xué)過程中，學(xué)生在教師習(xí)慣性程序的影響下容易形成固定的思維模式，即定勢。思維定勢對解決相同類型的問題有積極的作用，而對解決變形的問題則會起到消極作用。思維定勢是客觀的存在，學(xué)生的認(rèn)識過程是在現(xiàn)有的定勢上發(fā)生的。舉反例就是一種解決問題有效的數(shù)學(xué)思維方法。利用反例，克服思維定勢，抑制產(chǎn)生負(fù)遷移，有助于培養(yǎng)思維的靈活性。

3.反例教學(xué)的重要作用

3.1培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，解決數(shù)學(xué)問題的思維過程應(yīng)是縝密的。教師可以把以往學(xué)生易犯的錯誤設(shè)置成反例，有針對性地培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。

判斷：對于任意的自然數(shù)n，n2-n+11一定是質(zhì)數(shù)。

對于這一題，假如從第一個自然數(shù)0開始代入驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論是正確的，以后繼續(xù)代數(shù)，一直到10結(jié)論也都是正確的。學(xué)生往往還沒有代到10就已認(rèn)為結(jié)論是正確的了。因?yàn)閷τ诖凋?yàn)證的問題，我們通常能代入3、5個值驗(yàn)證都已經(jīng)很不錯了。這一題反例的構(gòu)建需要從式子本生的角度去思考，通過對式子的觀察，大部分學(xué)生不難得出n=11時，n2-n+11就已經(jīng)不是質(zhì)數(shù)了。在此，常用的構(gòu)造反例的特殊值法卻行不通了，因此反例構(gòu)建的過程其實(shí)也是學(xué)生多角度思考問題的一個過程，注重反例教學(xué)的適當(dāng)?shù)囊氩坏苁箤W(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤和漏洞，而且還可以修補(bǔ)相關(guān)知識，學(xué)會多角度考慮問題，從而提高思維的全面性。

3.2培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。反例構(gòu)建是猜想、試驗(yàn)、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體。

判斷：底面是正三角形，側(cè)面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐。

這個命題看起來，條件比較苛刻，似乎正確性不容懷疑，但是條件"側(cè)面是等腰三角形"并不等同于條件"側(cè)面是全等的等腰三角形"。分析：底面ABC是正三角形，DA垂直于平面ABC，并且DA=AB，這樣側(cè)面△ABD，△ACD均是等腰直角三角形，△DBC是等腰三角形，符合題設(shè)諸條件。顯然此棱錐不是正三棱錐。在上述反例的探索過程中，學(xué)生在新的問題情景中，能享受到創(chuàng)造的樂趣，從而能激發(fā)起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。

3.3培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。

在學(xué)完正多邊形以后，學(xué)生們都知道了正多邊形的一些性質(zhì)，例如：正多邊形的所有的邊都相等，所有的內(nèi)角都相等。為了加深對這一性質(zhì)的理解，教師可以從反面進(jìn)行鞏固。

判斷：（1）所有邊都相等的多邊形一定是正多邊形；（2）所有角都相等的多邊形一定是正多邊形。

（1）和（2）都是錯誤的，例如菱形和矩形。這兩個反例學(xué)生都比較容易能想到。但是，除此之外，還有沒有其余的反例呢？教師還可以做進(jìn)一步的提問。顯然這時難度就增加了。其實(shí)，所有邊都相等的多邊形都是正多邊形的反例有無數(shù)多個，例如我們可以先做一個正多邊形（不是正三角形），利用這些正多邊形具有的不穩(wěn)定性，它們的內(nèi)角在變化的過程中就會出現(xiàn)邊都保持相等，但是角度卻會出現(xiàn)不等的情形。對于所有角都相等的多邊形是正多邊形的反例，其實(shí)也是有無數(shù)個。

在這個問題中，后面的反例的列舉難度顯然增加了，然而學(xué)生卻可以通過此題更加加深對多邊形性質(zhì)正反兩方面的理解，另外列舉反例的過程也是學(xué)生發(fā)散性思維充分發(fā)揮和展示的一個過程。

總之，數(shù)學(xué)反例是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個調(diào)節(jié)器，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時地引進(jìn)一些反例或適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助他們鞏固和掌握定理、公式和法則，培養(yǎng)他們思維的縝密性、靈活性、發(fā)散性、深刻性、創(chuàng)新性和全面性。