王廣利

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體外預(yù)應(yīng)力簡(jiǎn)支梁動(dòng)力特性的等效剛度分析法

王廣利

（黎明職業(yè)大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，福建泉州 362000）

與已有假設(shè)相比，文章提出的2個(gè)主要假設(shè)更具合理性，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確，與數(shù)值解能很好的吻合．計(jì)算表明：已有算法將體外筋對(duì)第1自振頻率的效應(yīng)作了較低估計(jì)，而對(duì)其他自振頻率的效應(yīng)作了較高估計(jì)；隨體外筋面積和偏心距的增加，梁的第1自振頻率也隨之增加，其他頻率保持不變．

體外預(yù)應(yīng)力；簡(jiǎn)支梁；動(dòng)力特性；等效剛度

目前，體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)研究較為深入的領(lǐng)域僅局限在其靜力性能[1]，而對(duì)其動(dòng)力性能的研究，尚無(wú)較為合理的定論，有待進(jìn)一步研究．Ayaho Miyamoto[2]分析了體外預(yù)應(yīng)力梁的動(dòng)力性能，提出了體外筋預(yù)拉力增量與梁中點(diǎn)振動(dòng)位移成正比的假設(shè)．熊學(xué)玉[3]等采用文獻(xiàn)[2]提出的假設(shè)，推導(dǎo)出單折線型、雙折線型和直線型體外筋簡(jiǎn)支梁自振頻率的計(jì)算公式．在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，熊輝霞[4]等改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]給出的計(jì)算公式，使得計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合．方德平[5]提出了轉(zhuǎn)向座與體外筋之間自由滑移無(wú)摩擦力和轉(zhuǎn)向座與體外筋鉸接無(wú)滑移兩種方法，分析了體外預(yù)應(yīng)力簡(jiǎn)支梁的動(dòng)力性能，不過(guò)未給出相應(yīng)的解析解．De-Ping Fang[6]應(yīng)用能量法對(duì)體外預(yù)應(yīng)力簡(jiǎn)支梁作了動(dòng)力分析，給出了梁的自振頻率的計(jì)算公式，但該公式不是真正意義上的解析解．體外筋預(yù)拉力增量與梁中點(diǎn)振動(dòng)位移成正比是文獻(xiàn)[2]和[3]中的一個(gè)核心假設(shè)．本文指出此假設(shè)中存在的問(wèn)題，提出更具合理性的假設(shè)：在第1自振頻率計(jì)算時(shí)，引入梁第1振型2階導(dǎo)數(shù)的比例圖，將體外筋預(yù)拉力增量導(dǎo)致的彎矩圖視為與其等效，體外筋的效應(yīng)體現(xiàn)為梁剛度的增加，體外預(yù)應(yīng)力梁轉(zhuǎn)化為具有等效剛度的受壓梁；在其他自振頻率計(jì)算時(shí)，略去體外筋的效應(yīng)．本文的方法將體外筋的效應(yīng)體現(xiàn)得更加明確，且概念清晰，推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，計(jì)算結(jié)果與數(shù)值解能很好的吻合．為說(shuō)明文獻(xiàn)[2，3]假設(shè)中的問(wèn)題，先回顧簡(jiǎn)支梁的彎曲振動(dòng)微分方程．

1 彎曲振動(dòng)微分方程

圖1 轉(zhuǎn)向座位于跨中的梁

式中，為梁的抗彎剛N體外預(yù)拉力，N為N的水平分量；為預(yù)拉力增量△N對(duì)梁的彎矩，=△N+△Nx，△N=△Ncosθ和△N=△Nsinθ，為錨固端處偏心距；為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量．式(1)中，，水平預(yù)壓力，為有效預(yù)應(yīng)力，遠(yuǎn)小于；在式（6）中，由于與梁失穩(wěn)臨界壓力F相比小很多，其產(chǎn)生的彎矩的作用很小，因而可將比作用更小的△Ny略去（文獻(xiàn)[3]認(rèn)為，與相比很小，所以△Ny遠(yuǎn)小于△Ne，因此可略去△Ny．由于偏心距可以為0，筆者覺(jué)得這并不合適），整理得：

需要建立2個(gè)關(guān)系：△N與的關(guān)系；△Nx與的關(guān)系，才能求解式（2）的微分方程．文獻(xiàn)[3]假設(shè)梁中點(diǎn)的位移(0.5)與△N成正比：，即正比假設(shè)；通過(guò)跨中位移相等原則，把△Nx等效為△Nl/3；建立了2個(gè)關(guān)系，改寫式（2）：

2(0.5)與△N成正比假設(shè)中存在的問(wèn)題

在以上求解過(guò)程中所建立的△N與的關(guān)系，存在2個(gè)問(wèn)題．問(wèn)題（1）：對(duì)梁的第1振型而言，假設(shè)梁中點(diǎn)的位移(0.5)與△N成正比是合理的；可是在偶數(shù)振型中，(0.5)=0，假設(shè)(0.5)與△N成正比就不能成立；問(wèn)題（2）：原假設(shè)△N與(0.5)成正比，△Nx與(0.5)/3成正比，為方便求解，在式（3）中，(0.5)被改寫成．體外筋的△N與數(shù)值無(wú)關(guān)，而是的函數(shù)，這種改寫不合理．在第1振型中，只有同號(hào)數(shù)值，如果這種改寫尚可接受的話，那么在第2、3、4…振型中，有異號(hào)數(shù)值，這種改寫將導(dǎo)致△N沿既有拉力又有壓力，顯而易見(jiàn)，這種改寫不能成立．

3 彎曲振動(dòng)分析的等效剛度法

對(duì)稱簡(jiǎn)支梁的奇數(shù)振型為正對(duì)稱，偶數(shù)振型為反對(duì)稱．第2、4…偶數(shù)振型中，體外筋無(wú)變形，即△N=0，體外筋的效應(yīng)無(wú)需考慮；第3、5…正對(duì)稱振型中，梁的正負(fù)撓度產(chǎn)生的體外筋變形互相抵消[7]，總變形小，△N也小，因此△N的效應(yīng)可略去．當(dāng)體外筋的線形為sin(/)，偏心距=0，第3、5…振型X()=sin(/)，=3，5…產(chǎn)生的體外筋變形為∫X''sin(/)=0，則△N=0；體外筋的線形接近于拋物線或sin(/)，所以第3、5…振型產(chǎn)生的△N≈0．由此，本文假設(shè)：△N的效應(yīng)只在第1振型中考慮，在其他振型中不考慮；在第1振型中，假設(shè)，即某一時(shí)刻，將的彎矩圖等效為第1振型1()=sin(/)的2階導(dǎo)數(shù)的比例圖形，從而解決了(0.5)與△N成正比假設(shè)中的問(wèn)題．的彎矩圖與體外筋的線形成正比，體外筋的線形與第1振型相似，也與第1振型的2階導(dǎo)數(shù)相似，所以這種等效是可行的．由此，式（1）改寫為：（7）

本文作了3個(gè)假設(shè)：（1）體外筋的效應(yīng)只是在第1自振頻率計(jì)算時(shí)考慮，其他頻率計(jì)算時(shí)忽略不計(jì)；（2）引入第1振型的2階導(dǎo)數(shù)的比例圖，將視為與其等效；（3） 略去△Ny的影響．本文的假設(shè)較(0.5)與△N成正比的假設(shè)相比，具有更強(qiáng)的合理性，因而計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確．體外預(yù)應(yīng)力梁在引入比例參數(shù)后，就可化為具有等效剛度*=+的普通混凝土受壓梁，可體現(xiàn)體外筋對(duì)梁剛度的增強(qiáng)作用．在體外預(yù)應(yīng)力梁跨中作用單位力1，產(chǎn)生的跨中位移△與等效剛度*梁的跨中位移相等，求出比例參數(shù)．

圖2 體外預(yù)應(yīng)力簡(jiǎn)支梁 圖3 體外筋單位力作用時(shí)梁彎矩圖m 圖4 簡(jiǎn)支梁跨中單位力作用時(shí)彎矩圖1

圖2為體外預(yù)應(yīng)力簡(jiǎn)支梁，為梁長(zhǎng)，1，2為轉(zhuǎn)向座的位置，1，2，3為體外筋的偏心距．跨中作用單位力1，體外筋的拉力，，，m為體外筋單位力作用下梁的彎矩圖，如圖3所示；1為梁跨中單位力作用下的彎矩圖，如圖4所示；11=1cos1，12=2cos1，21=2cos2，22=3cos2，1，2為體外筋的角度．，．由式（7），解得振動(dòng)位移：=ΣX()sin(ωt+φ)，i=1，2，3… （8）

4 算例及分析

梁長(zhǎng)=16 m、寬0.4 m、高0.8 m，=32.5GPa，單位長(zhǎng)度質(zhì)量=6 t/m；體外筋E=200 GPa、有效預(yù)應(yīng)力σ=1000MPa，圖2中1段與2段的水平預(yù)壓力不同，取兩段的平均值=0.5σA(cos1+cos2)；圖2中1=2=4 m，1=0.2 m．表1為體外預(yù)應(yīng)力梁第1、2、3自振頻率的計(jì)算結(jié)果，8根計(jì)算梁考慮了不同偏心距、不同體外筋面積及不同體外筋線性，體外筋線形是雙折線形（2=3）和近似拋物線形（2<3）．本文的計(jì)算結(jié)果是方法①；文獻(xiàn)[3]的計(jì)算結(jié)果是方法②，在文獻(xiàn)[3]中給出雙折線形（2=3）計(jì)算公式，未給出近似拋物線形（2<3）的計(jì)算公式，表1也只列出方法②的雙折線形計(jì)算結(jié)果；數(shù)值解是方法③．通常情況下，理論值的正確程度可用實(shí)驗(yàn)值來(lái)驗(yàn)證，但預(yù)應(yīng)力梁中預(yù)拉力增大時(shí)，其實(shí)測(cè)的自振頻率也增大，這與動(dòng)力學(xué)中的結(jié)論相反．原因在于混凝土中的微裂縫在預(yù)壓力作用下閉合，且預(yù)壓力越大微裂縫的閉合越顯著，增大了梁的剛度[4]．由此，在此問(wèn)題中將理論值的正確性單純的用實(shí)驗(yàn)值來(lái)驗(yàn)證是不合適的，因而本文采用數(shù)值解來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證．因轉(zhuǎn)向座與體外筋之間自由滑移無(wú)摩擦力，體外筋整長(zhǎng)的拉力相等．為了將這一滑移進(jìn)行數(shù)值模擬，采用桁架單元模擬體外筋，在轉(zhuǎn)向座兩側(cè)體外筋的角平分線上增加抗壓的接觸單元，也為桁架單元，這可確保兩側(cè)體外筋拉力相等[7]，如圖5所示．本文中接觸單元長(zhǎng)度取1 cm，抗壓剛度等于體外筋的抗拉剛度．集中質(zhì)量法計(jì)算頻率和振型時(shí)，對(duì)低階的誤差較小，對(duì)高階的誤差較大．對(duì)工程具有重要意義的是低階的結(jié)果，尤其是1~3階的結(jié)果，因而本文采用集中質(zhì)量法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)分析．集中質(zhì)量法求解頻率和振型的方程為：

[K]{}=2[]{} （9）

式中，[K]為梁的豎向剛度矩陣；[]為多質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量對(duì)角矩陣，質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)為；{}為某一振型，為對(duì)應(yīng)的圓頻率．如圖6所示，給每個(gè)質(zhì)點(diǎn)加豎向約束，在第質(zhì)點(diǎn)處產(chǎn)生單位豎向位移，1~質(zhì)點(diǎn)豎向約束的反力為；對(duì)1~各質(zhì)點(diǎn)循環(huán)，求得豎向剛度矩陣[K]，用廣義雅克比法求出個(gè)自振頻率和振型．因而，混凝土梁的剛度和長(zhǎng)度，體外筋的剛度EA和長(zhǎng)度，轉(zhuǎn)向座位置、高度，以及體外筋與轉(zhuǎn)向座之間滑移均在圖6質(zhì)點(diǎn)處豎向約束反力中得到體現(xiàn)，也在式（9）剛度矩陣[K]中得到體現(xiàn)．

考慮壓力對(duì)彎曲剛度的影響，梁的桿單元的彎曲剛度矩陣[]：

式中為軸力，以拉力為正．由式（10）可知，壓力將減小梁的剛度，剛度減小，周期增大，自振頻率將減少，即壓縮軟化效應(yīng)．在方法③中，梁劃分為16個(gè)等長(zhǎng)桿單元，轉(zhuǎn)向座處理為剛性單元．

表1 體外預(yù)應(yīng)力梁第1～3自振頻率的計(jì)算結(jié)果

表1中，①的1大于②的值，說(shuō)明②將體外筋對(duì)1的效應(yīng)作了較低估計(jì)．在②中，(0.5)被改寫為，在位置，本應(yīng)與最大值(0.5)成正比的△N降低為只與較小值()成正比，因而將體外筋的效應(yīng)作了較低估計(jì)．對(duì)2而言，體外筋的拉力增量為零，①不考慮體外筋的作用；對(duì)3而言，①略去體外筋的作用；梁5~8的預(yù)壓力大于梁1~4的預(yù)壓力，所以梁5～8的頻率略低于梁1~4的頻率．②不適當(dāng)?shù)乜紤]了體外筋的效應(yīng)，因此過(guò)高估計(jì)了2和3，所以方法①的2和3小于方法②的值．①和③的1很接近，說(shuō)明①的合理與高精度．①和③的2相同，說(shuō)明在偶數(shù)振型中，體外筋的應(yīng)力增量為零，對(duì)自振頻率沒(méi)有作用．①和③的3也很接近，說(shuō)明第3、5…振型中，梁的正負(fù)撓度產(chǎn)生的體外筋變形互相抵消，總的預(yù)拉力增量△N小，其效應(yīng)可略去．由此可知，本文的假設(shè)是合理的，可得到高精度的計(jì)算結(jié)果．式（8）中F與2成正比，因而體外預(yù)應(yīng)力筋對(duì)低階的頻率影響較大，對(duì)高階的頻率影響較?。?中的值，即體外筋對(duì)梁剛度的增強(qiáng)作用，與體外筋的面積和轉(zhuǎn)向座的高度成正相關(guān)．

5 結(jié) 論

（1）指出了體外預(yù)應(yīng)力梁動(dòng)力計(jì)算中體外筋預(yù)拉力增量與梁中點(diǎn)振動(dòng)位移成正比這一假設(shè)中存在的2個(gè)問(wèn)題，即該假設(shè)將體外筋對(duì)第1自振頻率的效應(yīng)作了較低估計(jì)，而對(duì)其他自振頻率的效應(yīng)作了較高估計(jì)．

（2）放棄了體外筋預(yù)拉力增量與梁中點(diǎn)振動(dòng)位移成正比的假設(shè)．在第1自振頻率計(jì)算中，引入梁第1振型2階導(dǎo)數(shù)的比例圖，將體外筋預(yù)拉力增量導(dǎo)致的彎矩圖視為與其等效，體外筋的效應(yīng)體現(xiàn)為梁剛度的增加，體外預(yù)應(yīng)力梁轉(zhuǎn)化為具有等效剛度的受壓梁；在其他自振頻率計(jì)算中，略去體外筋的效應(yīng)．在體外筋的效應(yīng)分析中，本文的概念清晰、精度高，且推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，計(jì)算結(jié)果與數(shù)值解能很好的吻合．

（3）增加體外筋的面積，一方面體外筋的效應(yīng)將提高，提高值，提高1；另一方面梁的壓力將增大，降低1；由于前者的影響大于后者，增加體外筋的面積將提高梁的1．增大偏心距，體外筋的效應(yīng)將提高，提高1．體外筋面積和偏心距不影響梁2階及以上高階的，但由于體外筋面積的增加，增大了梁的壓力，略減少梁2階及以上高階的．

[1] 杜進(jìn)生，區(qū)達(dá)光.體外預(yù)應(yīng)力筋的極限應(yīng)力：既有典型計(jì)算方法評(píng)述[J].工程力學(xué)，2010（9）：63-68.

[2] Ayaho Miyamoto, Katsuji Tei, Hideaki Nakamura, etal. Behavior of prestressed beam strengthened with external tendons [J].Journal of Structural Engineering, ASCE. 2000(9): 1033-1044.

[3] 熊學(xué)玉，王壽生.體外預(yù)應(yīng)力梁振動(dòng)特性的分析與研究[J].地震工程與工程振動(dòng)，2005（2）：55-61.

[4] 熊輝霞，張耀庭.體外預(yù)應(yīng)力混凝土梁自振頻率分析[J].工程力學(xué)，2008，25（Supplement Ⅱ）：173-176.

[5] 方德平.體外預(yù)應(yīng)力梁動(dòng)力特性的兩種數(shù)值分析方法[J].振動(dòng)與沖擊，2012（24）：168-171.

[6] De-Ping Fang．Second order effects of external prestress on frequencies of simply supported beam by energy method[J].Structural Engineering and Mechanics, 2014(4): 687-699 .

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（責(zé)任編輯：于開紅）

Equivalent Stiffness Method for Analyzing Dynamic Behavior of External Prestressed Simple Beam

WANG Guangli

Comparing to the existing hypothesis, the two hypotheses proposed in this article are more reasonable, the calculation result is more accurate, and the goodness of fit to the numerical solution is higher. The calculation shows: the existing algorithm underestimates the external tendons effect on the beam’s first natural frequency and overestimates the external tendons effect on the natural frequency; with the increase of area of the external tendons and the eccentricity, the beam’s first natural frequency increases and the other natural frequency keeps invariant.

external prestress; simple beam; dynamic characteristics; equivalent stiffness

P315.92

A

1009-8135（2016）03-0092-05

2016-02-17

王廣利（1975-），男，山東威海人，黎明職業(yè)大學(xué)副教授，主要研究建筑力學(xué)與結(jié)構(gòu)應(yīng)用．

福建省中青年教師教育科研社科A類項(xiàng)目（2014福建省高等學(xué)校教學(xué)改革研究專項(xiàng)）（項(xiàng)目編號(hào)：JAS14854）階段性成果