平衡力是洛倫茲變換下的不變量

李冬雪

湖北襄陽諸葛亮中學

平衡力是洛倫茲變換下的不變量

李冬雪

湖北襄陽諸葛亮中學

本文將證明平衡力是洛倫茲變換下的不變量，解決了非加速力在狹義相對論中的變換問題，并基于此提出了平衡力不變原理。

狹義相對論；平衡力；洛倫茲變換；S系；坐標變換；S’系

1　平衡力的變換問題

光速不變原理是從實驗概括出來的，也是狹義相對論【1】基本假設(shè)之一。而長度、時間、速度都是洛倫茲變換下的協(xié)變量。一般認為，相對論力學中，力也是洛倫茲變換下的協(xié)變量。變換方程可由洛倫茲變換和力學定律推出。

由于牛頓力學方程F=dp?dt，力與時間相關(guān)，這引起力有一個變換式。設(shè)S及S’為慣性系，S’系相對S系速度為u沿X軸正向移動，在S系及S’系建立笛卡爾坐標，S（x，y，z）

S’（x’，y’，z’），S’中的X’軸與S中的X軸重合，S’在S中以速度u沿X軸正向移動。因此，力的變換為：

C為光速，物體在S’系速度。

當只有平衡力作用在物體上，物體會保持勻速直線運動狀態(tài)或靜止狀態(tài)。因此F=dp?dt=0表示物體受合力為零，雖然如此，平衡力的存在可表現(xiàn)為使物體形狀發(fā)生變化，而不是使動量p發(fā)生變化。若是物體為一彈簧，作用在其上一對平衡力大小F=kΔx，Δx為彈簧受力與不受力時的長度差，稱為伸長量。

那么，平衡力否也遵循力的相對論變換呢？平衡力的合力為零，如果將平衡力的合力在不同慣性系變換，按相對論力的變換公式合力仍為零。那么，一對平衡力是否也單獨遵循力的相對論變換呢？如果，平衡力單獨遵循力的相對論變換，變換后再合成，其合力仍為零。這樣認為的確是一種方便的作法，但也是不可靠的。因為，平衡力的合力為零，其效果（使物體發(fā)生形變）與時間沒有關(guān)系，所以，平衡力是否單獨變換不能夠按通常的做法由力學定律及洛倫茲變換共同推出，只能由平衡力的效果，即使物體發(fā)生可測形變大小來推出。

而非平衡力的相對論變換與時間t有不可分割的關(guān)系，要遵循力的相對論變換式1—1。

2　平衡力不變原理

彈簧的伸長可測量力的大小，平衡力可以用彈簧的伸長測定。設(shè)計如圖裝置：物體A只能沿管m內(nèi)運動，物體B只能沿管n運動。A物體和B物體之間存在斥力，m、n只可沿與其垂直方向，就是沿Y軸運動，有彈簧在其中間。設(shè)有慣性系S（x，y，z）S’（x’，y’，z’），軸X、X’與管m、n平行。

圖 2—1

A物體受B物體Z正向斥力和m管給它的負Z方向的壓力，B物體受A的負Z方向的斥力和管n給它的Z向的壓力。當整個裝置穩(wěn)定不動時，A、B受平衡力，彈簧顯示

（△x）A與B斥力的大小。

狀態(tài)1：S’系相對S系靜止，此時，S系有甲、乙兩個測量員用相同的尺子測彈簧長度，他們測得值相同。

狀態(tài)2：甲發(fā)現(xiàn)乙測量員與S’系、彈簧、兩管m、n及物體A、B一起向右運動起來，穩(wěn)定后，S’系相對于S系速度為V，S系與S’系都是慣性系，S’系沿X軸正方向運動。而在乙看來，甲同S系一起以—V速度沿X軸負方向運動。對乙來說，彈簧和A、B物體一直相對他靜止。乙這時又測了一次彈簧長度，發(fā)現(xiàn)與前一次測得結(jié)果相同。甲這時發(fā)現(xiàn)乙的尺子豎直（沿Z’軸）和自己的尺子一樣長，他對照乙的尺子將乙的測量結(jié)果標在自己的尺子上，而乙的測量結(jié)果在S’系與彈簧等長，甲實際上又測了一次彈簧長度。由于乙發(fā)現(xiàn)彈簧長度未變，所以甲也發(fā)現(xiàn)彈簧長度未變。兩個系彈簧伸長也相同有△x=△x’

甲知道相對論的結(jié)果，當尺與速度方向平行時，會有洛倫茲收縮，但他們的尺子都與速度方向垂直，不會收縮，應當測到相同的值。

設(shè)△x是在S系彈簧伸長，△x’是在S’系彈簧伸長，就有△x=△x’

現(xiàn)在假設(shè)：“每個平衡力之一是單獨遵循相對論力的變換的。設(shè)彈簧在S系受拉力Fz，在S’系受拉力Fz’

在狀態(tài)1，S系與S’系相對靜止。顯然，F(xiàn)z=Fz’由于Fz=k△x Fz’=k’△x’測得△x=△x’推出k=k’

在狀態(tài)2，S’系相對S系以速度V運動，按平衡力單獨遵循相對論力的變換的假設(shè)，有

由于Fz=k△x Fz’=k’△x’并且已經(jīng)證明狀態(tài)2有△x=△x’所以將Fz、Fz’代入（2）中會有k=由于γ0=（1-＞1所以k’＞k而k’是靜止彈簧的倔強系數(shù)，k是運動后的倔強系數(shù)，所以此結(jié)果說明“彈簧倔強系數(shù)由于運動變小了”。

這個結(jié)果對不對呢？讓我們看另一種情況。

狀態(tài)3：這時甲看到彈簧停止了運動，而乙與電荷仍以速度V向X軸正方向運動，同時乙看到彈簧與甲一起向X軸負方向以-V速度運動。

甲這時想到，彈簧停止了運動，不再是“倔強系數(shù)由于運動變小”，倔強系數(shù)比狀態(tài)2變大了，而A、B物體間斥力不變，彈簧伸長量將變小，這時測得彈簧長度應比狀態(tài)2小。

乙這時想到，彈簧運動了，它的“倔強系數(shù)由于運動變小”。而A、B物體間斥力不變，所以彈簧應伸得更長，彈簧長度應測得比狀態(tài)2變大。

如果真的按他們的想法會測出不同的結(jié)果嗎？我們知道，甲、乙兩個測量員的尺子沿Z軸方向放置長度是相同的，根據(jù)前面的分析對同一根彈簧現(xiàn)在測得的值應該相同，由此測量與推斷發(fā)生矛盾。

由于矛盾的存在，前述k=即“彈簧倔強系數(shù)由于運動變小了”肯定是錯誤的，這里我們認定k與k’的值與運動狀態(tài)無關(guān)可使矛盾得以解決。又因為“彈簧倔強系數(shù)由于運動變小了”是“平衡力是單獨遵循相對論力的變換”這一假設(shè)的直接結(jié)果。顯然，“平衡力是單獨遵循相對論力的變換”這一假設(shè)錯誤。我們還可以類似的證明除非認為在不同的慣性系之間平衡力Fz=Fz’，任何其他的變換都會引起矛盾的結(jié)果。

這里我們能得出的唯一結(jié)論是：“平衡力在不同慣性系中是大小不變的”，在我們討論的情況下，彈簧伸長的方向，也就是力的方向，也是不變的。于是，我們得到了平衡力不變的原理。

應當指出前面的討論，平衡力與彈簧運動方向垂直是較特殊的方向，普遍方向的平衡力不變原理這里就不再討論，以上結(jié)果足夠后面的討論了。

［1］《相對論的意義》A.愛因斯坦著.李灝譯.科學出版社1961，22-23

李冬雪（1972-），男，漢族，黑龍江省肇東人，中學一級職稱，本科，湖北襄陽諸葛亮中學，研究方向：電磁學。