安徽省太和中學(xué)岳峻安徽省太和十一中 薛曉林

等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題

安徽省太和中學(xué)岳峻安徽省太和十一中 薛曉林

等差數(shù)列是一種特殊的基本數(shù)列模型，常用Sn表示其前n項(xiàng)和。如何求解Sn的最值問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)著函數(shù)與方程思想，也滲透著數(shù)形結(jié)合思想。

一、二次函數(shù)法

變式1已知等差數(shù)列-11，-9，-7，-5，-3，…的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn最小的序號(hào)n的值。（答案：6）

二、鄰項(xiàng)異號(hào)法

例2若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，a4+a5>0，a4a5<0，則使得{an}前n項(xiàng)和Sn取得最大值的正整數(shù)n是_______。

解析若d>0，因?yàn)閍1>0，則{an}滿足an>0，a4a5>0，與題意不符，所以d<0，

所以a1>a2>a3>a4>0>a5>a6>…

又因?yàn)閍4+a5>0，a4a5<0，所以a4>0，a5<0，

故S4最大，即n=4時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值。

點(diǎn)評(píng)對(duì)于公差不為0的等差數(shù)列{an}，

若d>0，a1<0，且存在k∈N*，k≥2，使得ak≤0

若d<0，a1>0，且存在k∈N*，k≥2，使得ak≥0>ak+1，則Smax=Sk（ak>0）或Smax=Sk=Sk-1（ak=0）。

變式2已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-31，若其前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最小值為。_______（答案：-225）

三、圖像法

例3等差數(shù)列{an}中，a1>0，p≠q，Sp=Sq，當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值？

點(diǎn)評(píng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可視為關(guān)于自變量n的二次函數(shù)，其定義域?yàn)镹*，其圖像是過原點(diǎn)的拋物線上的“自變量等距離分布”的孤立的點(diǎn)。若Sp=Sq（p、q∈N*，p≠q），則Sp+q=0。

變式3已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1<0，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，且S6=S11，則Sn取得最小值時(shí)，n=。（答案：8或9）

四、綜合法

例4已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn取得最大值的n是。

解析由于{an}為等差數(shù)列，所以a1+a5=2a3，a2+a6=2a4，

又因?yàn)閍1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，

所以a3=35，a4=33，

故a1=39，d=-2，

所以an=a3+（n-3）d=35+（n-3）（-2）=41-2n，

方法1：Sn=n（40-n）=-（n-20）2+400，故使得Sn取得最大值的n是20。

方法2：an=41-2n，當(dāng)n≤20時(shí)，an>0；當(dāng)n≥21時(shí)，an<0。故使得Sn取得最大值的n是20。

方法3：Sn=n（40-n），顯然有S1=S39，而Sn=n（40-n）的圖像是拋物線上的孤立的點(diǎn)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，Sn取得最大值的n是20。

點(diǎn)評(píng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值問題求解的方法有二次函數(shù)法、鄰項(xiàng)異號(hào)法、圖像法等。

變式4等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S12>0，S13<0，當(dāng)n=時(shí)，Sn取得最大值。（答案：6）

五、方法的拓展

例5若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1<0，a2015+a2016>0，a2015a2016<0，則使數(shù)列前n項(xiàng)和Sn<0成立的最大正整數(shù)n是。

根據(jù)數(shù)列{Sn}的圖像所在的拋物線開口向上的特點(diǎn)，S4029<0且S4030>0，則使Sn<0成立的最大正整數(shù)n是4029。

點(diǎn)評(píng)求解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn<0成立時(shí)最大正整數(shù)n的問題，不是求Sn的最大值，而是求在所有使得Sn<0的正整數(shù)n當(dāng)中，n的最大值。

變式5若{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，a4+a5>0，a4a5<0，則使{an}的前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n的值是。（答案：8）