王曉松

(天津市南開區(qū)職工大學(xué)，天津　300102)

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廣義相對論中的時空結(jié)構(gòu)

王曉松

(天津市南開區(qū)職工大學(xué)，天津300102)

廣義相對論中的時空結(jié)構(gòu)不同于狹義相對論中的時空結(jié)構(gòu)，更不同于經(jīng)典物理學(xué)中的時空結(jié)構(gòu)，它說明宇宙中的時空結(jié)構(gòu)可能是相當(dāng)復(fù)雜的。這篇文章闡述廣義相對論中的時空結(jié)構(gòu)與以往所有的時空結(jié)構(gòu)的基本不同之處。

時空結(jié)構(gòu)；廣義相對論；引力場方程；Schwarzschild解；間隔

廣義相對論中沒有可以統(tǒng)一使用的時空框架。每一個局域的時空狀態(tài)都不相同。這里是用黎曼度規(guī)描繪引力時空的特性。于是，無限鄰近的兩個事件的間隔是：

ds2=-c2dτ=gμνdxμdxν

(1)

一、局域引力場的設(shè)計

我們沒有必要處處都進(jìn)行復(fù)雜的演算。設(shè)計一個局域的引力場。不要一提起引力場就想到地球的引力場。任何局域的引力場都有它自己的重力加速度，都符合自由落體運動的規(guī)律。場內(nèi)的任何物體如果不受其他因素的干擾，都會沿著重力加速度的方向運動。

(2)

同時，固定于引力場中的坐標(biāo)系為，這個坐標(biāo)系也應(yīng)當(dāng)是正交的，于是就有：

ds2=-c2dτ2=-(dx0)2+(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2(3)

下面我們做進(jìn)一步的設(shè)計：因為是局域場，所以兩個坐標(biāo)系的時間變量可以認(rèn)為是基本一致的，也就是：

(4)

再根據(jù)自由落體運動的規(guī)律，兩個坐標(biāo)系的關(guān)系應(yīng)當(dāng)如下：

(5)

這是由于這兩個坐標(biāo)系只有屬于方向相同，但是做自由落體運動。其他的坐標(biāo)分量則沒有什么不同。

對上述坐標(biāo)關(guān)系式求導(dǎo)，得到下列關(guān)系式：

(6)

將(6)帶入(2)，就有：

(7)

根據(jù)(5)式，自由落體運動所產(chǎn)生的位移：

(8)

另一方面，自由落體運動的系統(tǒng)其重力勢能的變化為：

(9)

為純粹地反映出引力場的性質(zhì)，這里去掉了具有檢驗性質(zhì)的自由落體運動的物體的質(zhì)量，定義出引力勢的概念，即是：

(10)

如果定義自由落體運動開始時的引力勢為0，物體運動到引力場中某一位置時的引力勢是，自由落體運動引力勢是降低的，引力勢能是減少的，所以有：

(11)

g2t2=-2φ

(12)

將(12)帶入(7)，可以得到：

(13)

對比一般意義上的間隔定義式：

ds2=-c2dτ=gμνdxμdxν

(1)

在這里，不為0的度規(guī)張量分量有(其余分量均為0)：

(14)

這里需要說明的是，指標(biāo)μ=0,1,2,3，指標(biāo)ν也一樣。但如果指標(biāo)中不考慮時間分量的話，就定義指標(biāo)A=1,2,3，指標(biāo)B也是如此。這些問題以后不再贅述。

把任何引力場局域化，就可以得到沿著引力方向的坐標(biāo)軸的度量張量分量與唯一的客觀參數(shù)——引力勢φ之間的關(guān)系。

二、引力場中引力勢與時間的關(guān)系

根據(jù)：

(13)

我們可以想象引力場中的物體在某種條件下不發(fā)生任何位移，即：

dx1=dx2=dx3=0

(15)

但無論如何，一定有：

(16)

因為時間的流動是擋不住的。如果我們專門考慮這種情況，根據(jù)(13)、(14)和(1)，就會有：

(17)

于是就有：

最后得到：

(18)

也就是說，廣義相對論中時間的流動速度與引力有關(guān)，引力越強(qiáng)，則時間流動越慢。一旦引力為0，就回到了狹義相對論的狀態(tài)。時間流動的快慢只與物體運動的速度有關(guān)。

三、引力場中引力勢與空間的關(guān)系

(19)

在沒有空間位移的條件下，考慮到間隔本身的原始定義，本引力場的固有時為：

(20)

于是，本次運動的固有時是：

(21)

根據(jù)(21)，引力場中A點與B點之間的空間距離是：

(22)

再次考慮到間隔本身的原始定義，在此定義中，時間維度與空間維度是減法關(guān)系，但間隔中的時間正是以光速穿過其空間距離所用的時間。因此對于光訊號而言，這種想減的結(jié)果就是〇，所以對于光訊號而言：

ds2=gμνdxμdxν=g00(dx0)2+g0Adx0dxA+g0Bdx0dxB+gABdxAdxB=0

(23)

因為A和B同為非時間維度的指標(biāo)，將相關(guān)項縮并，就得到：

g00(dx0)2+2g0Adx0dxA+gABdxAdxB=0

(24)

把(24)看做一個以(dx0)為變量的一元二次方程，解之既得：

(25)

這樣就有：

(26)

(27)

其中，根號內(nèi)第一項的第二小項將指標(biāo)A更換成了指標(biāo)B，這是合乎數(shù)學(xué)原則的。

(28)

這是在上式中將-dxA代換dxA所得到的光訊號從B?A時的結(jié)果，當(dāng)然也進(jìn)行了必要的，合乎邏輯的指標(biāo)代表。

(27) +(28)得到：

(29)

根據(jù)(22)：

(30)

其中：

(31)

(32)

現(xiàn)在再次考慮到普適的局域引力場中的自由降落體系的問題，根據(jù)：

(14)

CAB不為0的分量只有：

(33)

這樣，根據(jù)(31)，就有：

(34)

這是引力沿著x2方向運動時的情況。

由(34)，由于一般意義上以遠(yuǎn)離引力源的位置的引力勢為零，而物體在引力的作用下運動，引力勢處于減量，這樣引力勢一般取負(fù)值。于是：

(35)

這樣就有：

(36)

就是說引力越強(qiáng)之處，任意兩點間的距離因為空間彎曲而變長了。引力越強(qiáng)，空間就越彎曲，任意兩點之間的距離就越長。

四、歸納與總結(jié)

一般意義下的靜態(tài)引力場(引力源不轉(zhuǎn)動或者轉(zhuǎn)動很慢)，物體在引力的作用下做自由落體運動。只是其重力加速度在不同的引力源周圍不同而已。同時，只要坐標(biāo)設(shè)置合理，比如設(shè)置合理的球坐標(biāo)(因為引力源一般可以近似地被看做是球狀)，那么參與運動過程的坐標(biāo)維度一般只有兩個，即時間維度和某一個空間維度。聯(lián)想到Einstein方程的Schwarzschild解，

(37)

再聯(lián)系(36)和(18)，可以看出Schwarzschild解正是反映了本文所論述的廣義相對論條件下的時空結(jié)構(gòu)。本文不是要去分析Schwarzschild解，關(guān)于Schwarzschild解的問題，本人已經(jīng)在《成功(教育版)》 -2008年9期發(fā)表的論文《論席瓦西爾(Schwarzschild)外部解》中做過詳盡分析。

本文的目的就是通過其他的角度，經(jīng)過分析說明：在引力場中，由于引力的作用，時間的流動會變慢，空間會扭曲，因而空間中任意兩點間的距離會變長。引力越大，時間流動就越慢，空間就越扭曲，因而任何兩點間的距離就會變得越長。這就是廣義相對論框架下的時空結(jié)構(gòu)。

[1]唐肇華，劉素蕓，翁甲強(qiáng)編著. 廣義相對論導(dǎo)論[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，1997.

[2]劉遼，趙崢，田桂花，張靜儀著.黑洞與時間的性質(zhì)[M].北京，北京大學(xué)出版社，2008.

[3]郭世堃編著.廣義相對論導(dǎo)論[M].成都，電子科技大學(xué)出版社，2005.

Space-time Structure in General Theory of Relativity

WANG Xiao-song

(Tianjin Staff University of Nankai District, Tianjin, 300102)

the space-time structure in general relativity is different from the space-time structure in special relativity, and it especially differs from the space-time structure in classical physics, and it shows that the space-time structure in the universe may be quite complicated. This paper elaborates the fundamental differences between the space-time structure in general relativity and all previous spatiotemporal structures.

space-time structure; general relativity; gravitational field equation; Schwarzschild interpretation; interval

2016-09-02

王曉松(1961-)，男，南開社區(qū)學(xué)院，副教授。

O412

A

1673-582X(2016)11-0095-06