高斯定理在萬有引力場中的推廣及應(yīng)用

謝謙，唐衛(wèi)斌，劉俊

（商洛學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，陜西商洛 726000）

高斯定理是電磁學(xué)中的重要定理之一，其推導(dǎo)過程是從庫倫定律[1]而來，在力學(xué)中，牛頓萬有引力定律和庫倫定律，形式上相似[2-4]，既然通過庫倫定律可推導(dǎo)出電學(xué)中的高斯定理，那么類似的也可以從萬有引力定律推導(dǎo)出力學(xué)中的高斯定理，通過高斯定理，可以簡便解決引力場中的相關(guān)問題。

1 萬有引力定律與庫倫定律的比較

這兩個定律形式上完全相同，如下：

其中r是場點到源點的位矢，因萬有引力只能是引力，且質(zhì)量只能取正值，故公式前是負號。

可見，只要把電荷電量換成質(zhì)點質(zhì)量，把k換成G，則兩式形式上完全相同，只是電荷有正有負，庫倫力有引力也有斥力，而質(zhì)量只能取正值，作用力只能是引力。

2 力學(xué)中的高斯定理

在電磁學(xué)中通過庫倫定律可推導(dǎo)出高斯定理[1]：

既然萬有引力與庫倫定律形式上相同，即兩者都為平方反比定律，且引力場強度與電場強度定義相同，經(jīng)對比可得力學(xué)中的高斯定理為：

即引力場強度g對任意閉合面S的積分（引力場通量），等于這個閉合面所包圍總質(zhì)量的負值除以 ω0。

閉合面S的方向是其外法線方向。

下面對其從特殊到一般，分步來加以證明。

2.1 通過包圍質(zhì)點m的同心球面的引力場通量都等于

以質(zhì)點m所在處為中心，任意半徑r做一球面（圖1），根據(jù)萬有引力定律，在球面上各點引力場強度大小一樣，，方向沿半徑向內(nèi)指向球心。在球面上，任取一面元dS，其外法線是沿半徑方向向外的，即n和g夾角為 θ=π，所以通過的引力場通量為：

通過整個閉合球面的引力場通量為：

這一結(jié)果與球面半徑無關(guān)，之所以會有這一結(jié)果，是和平方反比定律分不開的。

圖1 包圍質(zhì)點m的同心球面

2.2 通過包圍質(zhì)點m的任意閉合面S的引力場通量都等于

在閉合面S內(nèi)以點電和q所在處O為中心做一任意半徑的球面S″，根據(jù)2.1可知，通過此球面的引力場通量為，由于引力場分布的球?qū)ΨQ性，該通量均勻的分布在4π球面度的立體角內(nèi)，因此在每個元立體角dΩ內(nèi)的引力場通量是，如果把這個立體角的錐面延長，使它在閉合面S上截出一個面元，設(shè)dS到質(zhì)點m的距離為r，dS的法線n與矢徑r的夾角為θ，如圖2，則通過dS的引力場通量為：

式中dScosθ′=dS′是dS在垂直于矢徑方向的投影面積，所以

由此可見，通過面元dS的引力場通量和通過 S″上與 dS對應(yīng)的面元dS″的引力場通量一樣，所以通過整個閉合面S的引力場通量都必定和通過球面S″的引力場通量一樣，等于。

2.3 通過不包圍質(zhì)點m的任意閉合面S的引力場通量都等于0

如果閉合面不包圍質(zhì)點，即質(zhì)點位于閉合面外，如圖3所示。

這時從m所在點看來，整個曲面S可分為圖式的S1和S2兩部分，其中S1部分對質(zhì)點m所張的立體角Ω1取正值，S2部分對質(zhì)點m所張的立體角Ω2取負值，由于兩者的絕對值相等，所以通過整個閉合面S的g通量為：

圖2 包圍質(zhì)點m的任意閉合面

圖3 閉合面不包圍質(zhì)點

2.4 多個質(zhì)點的引力場通量，等于他們單獨存在時的引力場通量的代數(shù)和

它們在閉合面S法線方向的投影gn=gn1+g2n+...，

（圖略）

設(shè)有 m1、m2、…、mk個質(zhì)點，其中 1→n 個被高斯面所包圍，第n+1→k個在高斯面外，

由1.3可知，S外部質(zhì)點的通量φgn+1=φgn+2=…=φgk=0，

因此k個質(zhì)點同時存在時，通過S的總通量：

至此，引力場中的高斯定理證畢。

3 引力場中高斯定理的應(yīng)用

對于質(zhì)量具有某種對稱性均勻分布的物體，用高斯定理可求其引力場強度。

3.1 與“填補法”相結(jié)合求解空腔內(nèi)的引力場

在一密度為ρ半徑為R的球形天體內(nèi)有一半徑為r（r＜R）的球形空腔（圖4），證明該空腔內(nèi)的引力場是均勻的。

圖4 空腔球體內(nèi)的高斯面及矢量

該問題涉及到一類典型問題的求解方法：填補法[5]。假設(shè)用與球體相同的密度為ρ的物質(zhì)均勻填充該空腔，則構(gòu)成了一個半徑為R，密度為ρ的實體球體。根據(jù)引力場的獨立作用原理，該半徑為R的實體球在半徑為r的實體球內(nèi)的引力場等于半徑為r的球O′與球O′以外部分在此產(chǎn)生的引力場強度之和。

球O′以外部分在O′內(nèi)場強則為所求證，設(shè)為g，半徑R的實體球在此的場強設(shè)為go，球O′在此的場強設(shè)為gO′，則：

由于球O與球O′均為質(zhì)量均勻的球體，故其產(chǎn)生的引力場強具有球?qū)ΨQ性，即以各自球心為中心，任一半徑為球面的高斯面上的場強大小相等，方向沿徑向指向球心，對球O′內(nèi)任一點P，分別以O(shè)、O′為中心，以O(shè)P、O′P為半徑做一高斯面（圖5），根據(jù)高斯定理，

圖5 矢量三角形關(guān)系圖

3.2 地球內(nèi)部隧道內(nèi)質(zhì)點的簡諧運動問題

設(shè)想在地球表面的A、B兩地之間開鑿一長為L的直通遂道，在A處放置一質(zhì)量為m的小球,小球在地球引力的作用下從靜止開始在隧道內(nèi)運動[6]。忽略一切摩擦阻力。試證明小球在隧道內(nèi)做簡諧振動，并由此求出小球的最大速度及從A運動到B所需的時間（圖6）。

圖6 地球隧道內(nèi)質(zhì)點的簡諧振動

分析：如圖6所示建立直角坐標系，根據(jù)引力場的高斯定理，小球所在位置x處的引力場強度為：

可見Fx與x成正比而方向相反，所以m是以O(shè)為平衡位置在隧道內(nèi)做簡諧振動。

下面求出其振動方程。

4 結(jié)語

通過對比萬有引力定律與庫侖定律，發(fā)現(xiàn)二者的相似性的規(guī)律，從而通過電學(xué)中的高斯定理，引申出引力場中的高斯定理，并加以證明其正確性。這有助于加深對引力場的理解，為引力場和靜電場的某種聯(lián)系提供了一種證據(jù)。這種引力場中的高斯定理為解決某些天體引力場提供了一種新的、簡便的方法，在教學(xué)中有助于學(xué)生拓展思維，激發(fā)興趣，從而提高學(xué)習(xí)能力[8]。