函數(shù)單調(diào)性在解不等式問題中的應(yīng)用

◇　甘肅　楊紅霞

(作者單位：甘肅省慶陽市華池縣第一中學(xué))

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函數(shù)單調(diào)性在解不等式問題中的應(yīng)用

◇甘肅楊紅霞

某些命題中并沒有給出函數(shù)的單調(diào)性,需要我們來判斷．常用的方法有如下幾種:

1) 利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性,如指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1),當(dāng)01時(shí),函數(shù)在定義域范圍內(nèi)單調(diào)遞增等．

2) 利用函數(shù)的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算來判斷函數(shù)的單調(diào)性，如增函數(shù)-減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)-增函數(shù)為減函數(shù).復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”等．

3) 結(jié)合函數(shù)奇偶性判定,如奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相異．

4) 利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性．

下面就解不等式問題中單調(diào)性的應(yīng)用進(jìn)行探究．

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1　正用

msinθ>m-1．

①

當(dāng)θ=π/2時(shí),sinθ=1,不等式①恒成立．

2　逆用

(1) 求a的取值范圍;

(2) 設(shè)x1、x2是f(x)的2個(gè)零點(diǎn),證x1+x2<2.

(2) 不妨設(shè)x1f(2-x2),即f(2-x2)<0．

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而

f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2．

設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex)．所以當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0.而g(1)=0,故當(dāng)x>1時(shí),g(x)<0．從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2．

3　變形用

(作者單位：甘肅省慶陽市華池縣第一中學(xué))