張月媚

[摘 要] 本文首先簡介GeoGebra軟件，并對其有別于“幾何畫板”的常用功能及常用注意點進行說明；結合3個高中數(shù)學教學案例分析探究GeoGebra軟件在動態(tài)教學中的有效性應用.

[關鍵詞] GeoGebra；動態(tài)教學；有效應用

[?] 關于GeoGebra軟件

1. GeoGebra軟件簡介

GeoGebra軟件是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數(shù)學教授Markus Hohenwarter于2001年設計開發(fā)的免費開源的動態(tài)數(shù)學教學軟件. GeoGebra軟件的名稱拆開來就是“Geo”+“Gebra”，意思是結合了幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）. GeoGebra是一個結合幾何、代數(shù)、微積分和統(tǒng)計功能的動態(tài)數(shù)學軟件，可應用于多種平臺（Window、Mac、Linux等），提供56種語言支持，已在歐洲和美國榮獲多項教育類軟件獎項.它旨在幫助教師設計有趣的教學方法，為學校提供充滿活力的數(shù)學教學，功能強大，在國外以及我國港臺地區(qū)有極其廣泛的使用.目前可以下載的最新版本是GeoGebra 5.0中文版.

2. GeoGebra軟件有別于“幾何畫板”的常用功能介紹

（1）作兩曲線的交點，如圖1.

（2）移動參數(shù)滑桿，改變參數(shù)值，如圖2.

（3）代數(shù)區(qū)的每個代數(shù)式左側圓圈有顯示和隱藏功能，圓圈實心時繪圖區(qū)顯示代數(shù)式對應的圖像，點擊圓圈，實心變空心，隱藏繪圖區(qū)代數(shù)式對應的圖像，如圖3. 當然，同幾何畫板一樣，GeoGebra軟件也有顯示和隱藏按鈕，在工具區(qū)中有一個復選框，可以選擇多個對象同時顯示或隱藏.

3. GeoGebra軟件的常用注意點

（1）指令區(qū)輸入“a=（-4，5）”表示向量“a=（4，5）”；輸入“A=（1，2）”表示點“A（1，2）”.

（2）指令區(qū)輸入“y=log（x）”表示“y=lgx”；輸入“y=”表示“y=log2x”.

（3）在工具區(qū)的文本框中輸入“y=log_{2}x”生成文本“y=log2x”.

（4）要生成文本“y=2x”，在工具區(qū)的文本框中輸入“y=2^x”，并勾選“LaTeX數(shù)學式”.

（5）要生成文本“”，在工具區(qū)的文本框勾選“LaTeX數(shù)學式”并選擇分式“”，則編輯區(qū)中顯示“＼frac{a}”，改成“＼frac{1}{2}”.

（6）如果“a”設置為參數(shù)，例如，已作出“y=ax”的圖像，要生成文本“y=ax”，并且文本“y=ax”中的“a”要隨著滑桿的“a”的值變化而變化，此時在文本框輸入“y=a^x”（用對象中的“a”輸入），如圖4.

鼠標右鍵點擊繪圖區(qū)空白處，顯示菜單，進入菜單中的 “繪圖區(qū)”，修改x軸的間距為.

（8）如果教學時感覺GeoGebra界面的字太小，可以調整菜單中“選項”的“字號”.

[?] GeoGebra軟件在動態(tài)教學中有效性應用的案例探究

1. 案例1：曲邊梯形的面積的片段教學

引導學生聯(lián)想小學求圓的面積的方法，獲得“以直代曲”“無限逼近”的思想，提出“能否用這種‘以直代曲的思想求曲邊梯形的面積（如圖6）”.

具體如何操作？

學生思考、嘗試，師生交流、探討之后，獲得：

可以對曲邊梯形分割（等分）成若干份，每份用矩形近似代替，求出所有矩形的面積和，當分割越來越細時，所有矩形的面積和逼近曲邊梯形的面積.具體操作如下：

（1）分割：把曲邊梯形等分成n個小曲邊梯形. 區(qū)間[0，1]被等分成n份，第i個區(qū)間如何表示？

（2）近似代替：每個小曲邊梯形用小矩形近似代替，若以每個小曲邊梯形左邊為高，作小矩形（如圖7，在GeoGebra環(huán)境下，先設置參數(shù)n，在右側指令幫助區(qū)找到“函數(shù)與微積分”中的“上和”，粘貼至指令區(qū)，輸入“上和（f（x），0，1，n）”，即可自動生成圖7），求出第i個矩形的面積bi=f

（3）求和：求出所有小矩形的面積和：

最后讓學生觀察，移動參數(shù)n的滑桿，當n越來越大時，上和d和下和c的值越來越逼近0.33，驗證曲邊梯形的面積為.

探究求曲邊梯形的面積的過程，關鍵是使學生對“以直代曲”“無限逼近”的思想有直觀感覺. 這一過程是動態(tài)的，用靜態(tài)的黑板作圖無法呈現(xiàn)，而GeoGebra軟件利用指令“上和（f（x），0，1，n）”或“下和（f（x），0，1，n）”，自動生成圖7或圖8，并且移動參數(shù)n的滑桿，當n越來越大時，用所有小矩形近似代替曲邊梯形.

2. 案例2：一道函數(shù)與方程的習題

在一次練習中，下面這道題的正確率為0，為什么會出現(xiàn)這樣的結果？

其次，“ xk（k∈N*，k≤4）是方程x4+ax-4=0的根”轉化為“xk（k∈N*，k≤4）是方程x3+a=的根”，即“xk（k∈N*，k≤4）是兩曲線y=x3+a與y=交點的橫坐標”. 在GeoGebra環(huán)境下，設置參數(shù)滑桿a，建立函數(shù)y=x3+a，如圖10.

上面兩個條件結合，即“兩曲線y=x3+a與y=交點在直線y=x的上方”. 移動滑桿，變化a值，觀察何時滿足條件. 學生容易看出，a的下界值是曲線y=x3+a過點（-2，-2）時，此時a=6，故所求的a的取值范圍是a>6.

在曲線y=上，而且在直線y=x的上方部分，如圖9中的粗線部分”得到很好的直觀呈現(xiàn). 移動滑桿，變化a值，兩曲線y=x3+a與y=交點在動態(tài)變化，何時在直線y=x的上方一目了然. 這個環(huán)節(jié)手工作圖無法體現(xiàn)，這正是GeoGebra環(huán)境下移動滑桿變化參數(shù)值的最大優(yōu)越性.

3. 案例3：構造輔助圓解決與三角形有關的問題

題目：已知在△ABC中，AB=，C=60°，BC=a，這樣的三角形存在兩個，則a的取值范圍是_______.

根據(jù)正弦定理，=2R（R為△ABC的外接圓半徑），則R=1.

“三角形存在兩個”即當a取一個值，BC長固定時，點C在圓周上的位置有兩個，而這兩個點C位置關于過點B的直徑對稱，如圖12. 移動點C，觀察點C在圓周上運動是否有限制范圍，點C不能在劣弧AB上，因為C=60°，所以點C也不能在劣弧AB關于過點B的直徑對稱的劣弧A′B上，如圖13. 故邊BC長度介于邊AB與直徑之間，即a的取值范圍是（，2）.

在GeoGebra環(huán)境下，分析、作圖、移動點C，直觀理解點C不能在劣弧AB上，也不能在劣弧AB關于過點B的直徑對稱的劣弧A′B上，容易化解教學難點.

變式1：若點O為△ABC的外心，則·的取值范圍是__________.

已知AB=，C=60°，上文已求CO=1，點C在圓周上運動，如圖14.

若考慮幾何意義，點C在圓周上運動時，在上投影何時最大？何時最??？移動點C，顯然看出與平行且同向時，在上投影最大，與平行且反向時，在上投影最小. 故·的取值范圍是

在GeoGebra環(huán)境下，點C動起來，學生思維被激發(fā)出來，容易看出在上投影取最大、最小時的狀態(tài).

變式2：在變式1中，增加條件“A為銳角”，則·的取值范圍是______.

移動點C，“A為銳角”的臨界狀態(tài)是什么？當“A為直角”（如圖15），此時在上的投影是多少？學生容易看出，在上的投影是

，所以·的上界值是

在GeoGebra環(huán)境下，移動點C，學生容易看出“A為銳角”的臨界狀態(tài)，及“A為直角”時在上的投影，化靜態(tài)為動態(tài)，借助動態(tài)幾何直觀，突破教學難點.

從2014年開始，筆者主持了一個與GeoGebra軟件有關的教學課題，在實踐應用中，深切感受GeoGebra軟件的先進性和優(yōu)越性. 但從各地學?？?，GeoGebra軟件教學應用尚未普及，很多數(shù)學教師只知“幾何畫板”，不知“GeoGebra”.寫此文，其一是GeoGebra軟件對于筆者有感動，已有感情；其二是希望GeoGebra軟件在廣大數(shù)學教師中推廣普及.