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如何有效閱讀數(shù)學課本——從一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系談起

☉江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學祝劍

現(xiàn)代教育倡導自主性學習和研究性學習，堅信能力是練出來的，尤其是對于數(shù)學課本的把握，更應該從精細處入手進行研究，其目的就是為了培養(yǎng)學生良好的閱讀與思考習慣.教師往往可以用課前的一段時間讓學生展開必要的閱讀，如在課前10分鐘，在科任老師和科代表的指導下，閱讀課文、定理、定理證明、例題、解題過程……這樣，在課堂上，學生就更能夠聚精會神聽老師講課，深入思考和積極回答問題，為提高學習效率服務.另外，課后，教師也能指導學生進行數(shù)學閱讀，讓閱讀和能力提升持續(xù)化，下面筆者以一元二次方程中的經(jīng)典教學片斷為例，介紹如何進行數(shù)學閱讀能力的訓練和培養(yǎng).

一、從教材中尋找難點，突破重點

案例1：一元二次方程根的判別式，蘇科版教材.

我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），用配方法可以將其變形為：

因為a≠0，所以4a2＞0.于是：

（1）當b2-4ac＞0時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根，即

（2）當b2-4ac=0時，方程①的右端為0，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根，即

（3）當b2-4ac＜0時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于0，因此，原方程沒有實數(shù)根.

由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況可以由b2-4ac來判定，我們把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示.

綜上所述，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），有：

（3）當Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根.

例1判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.

（1）x2-3x+3=0；（2）x2-ax-1=0；（3）x2-ax+（a-1）=0；（4）x2-2x+a=0.

解：（1）Δ=32-4×1×3=-3＜0，則方程沒有實數(shù)根.

（2）該方程的根的判別式Δ=a2-4×1×（-1）=a2+4＞0，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根，即

（3）該方程的根的判別式Δ=a2-4×1×（a-1）=a2-4a+ 4=（a-2）2.

①當a=2時，Δ=0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根，即x1=x2=1；

②當a≠2時，Δ＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，即x1=1，x2=a-1.

（3）該方程的根的判別式Δ=22-4×1×a=4-4a=4（1-a）.

①當Δ＞0，即4（1-a）＞0，即a＜1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即

②當Δ=0，即a=1時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即x1=x2=1；

③當Δ＜0，即a＞1時，方程沒有實數(shù)根.

對于這一段經(jīng)典的內(nèi)容，有經(jīng)驗的教師，往往會讓學生進行自學和閱讀，大家普遍感覺，課上講評的效果不一定有自己閱讀消化以后接受起來好.在新課開始之前，可以先進行課本的閱讀，先對課本內(nèi)容有所熟悉，在初步了解了課本內(nèi)容以后，便于作好上課的準備工作，防止出現(xiàn)盲目的情況，不要教師說什么就是什么，不經(jīng)過大腦思考，這樣的效果是非常不理想的.于是，不如就把上課的時間分一部分出來讓學生進行閱讀和思考，閱讀過程中，對數(shù)學教材應當進行深入閱讀和理解，盡自己所能能算的親手算一下，也可以用勾畫圈點的方式注明重點和難點，提出自己的疑問，把沒有讀懂的問題記下來，作為聽課的重點.如教材中涉及的這部分內(nèi)容中，有一個難點，即在第3、4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化.遇到這一問題，我們不妨對a的取值情況進行分類討論，分不同的情況對問題進行深入研究和探索.

二、抓住課本的關鍵點，對癥下藥

下面再來看一元二次方程根與系數(shù)的關系.

案例2：一元二次方程根與系數(shù)的關系，蘇科版教材.

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數(shù)根：所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根分別是x1、x2，那么x1+.這一關系也被稱為韋達定理.

特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+ px+q=0，若x1、x2是其兩根，由韋達定理可知x1+x2=-p，x1x2=q，即p=-（x1+x2），q=x1x2.所以，方程x2+px+q=0可化為x2-（x1+x2）x+x1x2=0.由于x1、x2是一元二次方程x2+px+q=0的兩根，所以，x1、x2也是一元二次方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0.因此有：以兩個數(shù)x1、x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0.

例2已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.

分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根.但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值.

解法1：由2是方程的一個根，得5×22+k×2-6=0，則k=-7.

所以，方程為5x2-7x-6=0，解得

解法2：設方程的另一個根為x1，則則

對于根與系數(shù)的關系，現(xiàn)在很多教材都已經(jīng)放在了選學內(nèi)容中，從一定程度上來說也是讓學生自己進行學習，從而提高學生的閱讀和理解能力.所有的人，學習的知識都會發(fā)生先快后慢的遺忘過程.一些記性好的學生是因為能經(jīng)常從不同的角度、不同的層次上進行復習，做到“每天有復習，每周有小結，每章有總結”，從而形成了驚人的記憶力.從這個意義上來說，不僅要重視課前的自我閱讀，也要注重課后復習過程中的數(shù)學閱讀過程，而有效的閱讀才能促進學生數(shù)學能力的形成和發(fā)展.數(shù)學課堂教學是師生互動、生生互動、共同發(fā)展的過程.在新課程理念下的課堂教學中，學生的學習是在新課的導入與基本功訓練，新知形成，能力的提高，獨立作業(yè)的過程中完成的，既要培養(yǎng)學生的學習情感、學習動機、學習態(tài)度，又要鍛煉學生的觀察力、注意力、想象力、意志力，還要提高學生的動手操作能力和完成口頭作業(yè)、書面作業(yè)、實踐作業(yè)的能力.這正好符合新課程的一個重要理念：為學生提供“閱讀”數(shù)學的機會，讓學生在學習過程中去體驗數(shù)學和經(jīng)歷數(shù)學，這就要求教師對不同的要求采取不同的方式和方法.

三、從實踐入手，切實加強課本閱讀訓練

從廣泛的實踐可以看到，讓學生不斷地在教師的指導下，進行有效的數(shù)學課本的閱讀訓練，是提高學生數(shù)學能力的一種有效方法.

近年來，數(shù)學閱讀已越來越受到教師的關注，但如何指導學生進行閱讀，進而在閱讀中培養(yǎng)學生的學習能力方面的教學案例還是不多的.從兩個案例可以看出，在閱讀過程中，應引導學生獨立閱讀課本中的經(jīng)典內(nèi)容，然后進行小組討論歸納學習內(nèi)容，明確教學任務中的重點和難點，進而有效抓住重、難點進行分析和閱讀，讓學生從閱讀中領會知識的來龍去脈，逐步細化知識點，從而為更好的學習作準備工作.我們欣喜地看到，學生能夠在課堂中積極地以閱讀教材為中心，抓住數(shù)學本質來學習，在能力提升的過程中，課堂的生命活力也得到了真正的彰顯.

1.章建躍.中學數(shù)學課改的十個論題［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2010（3-5）.

2.鄭毓信.“開放的數(shù)學教學”新探［J］.中學數(shù)學月刊，2007（7）.Z