高中函數教學中的 “文字游戲”

文/廣東兩陽中學　張　均

高中函數教學中的 “文字游戲”

文/廣東兩陽中學張均

我們高中函數有不少表面上相似但意思上不同的題型，若教師對一些易混淆的問題不闡述清楚，學生在練習或者考試的時候就會犯錯，帶來一些負面影響。因此教師在講解這類題目的時候除了要讓學生能夠聽得懂，還要讓學生能夠舉一反三，這就需要我們從本質上理解題目的意思。本文主要探討兩類題目的教學思路與教學方法。

題型一：“對于一切x∈D，不等式恒成立”與 “存在x∈D，使得不等式成立”，其中D為該題目x的取值范圍。

例1：已知不等式x2-ax+4＞0，求：

（1）對于一切x∈［1，6］，不等式恒成立，求a的取值范圍；

（2）存在x∈ ［1，6］，使得不等式成立，求a的取值范圍。

分析：首先我們要先教會學生分離參數，這兩問都是求a的取值范圍，通過化簡把a移到一邊得到：為了使同學們深入理解，便于對這兩問進行區(qū)別，我們不妨先引入生活中的一個例子：高一 （1）班全體學生身高的范圍在 165—180之間 （單位是厘米，包括165和180），班外有一位甲同學，有以下兩種情況，分別求出甲同學身高的范圍：①高一（1）班的所有同學的身高都要比甲同學高；②高一 （1）班里存在有學生比甲同學高。對于①，我們只要保證高一 （1）班身高最低的那個同學比甲高就滿足題意了，可以推導出甲身高的范圍是小于165厘米；對于②，甲同學的身高可以是小于165，也是可以是 165，166，167…甚至是179都可以 （因為在這些范圍內，高一 （1）班都存在有學生高于甲，比如若甲是179，那么高一 （1）班存在有180的同學比甲要高，那么甲179的身高是滿足題目意思的），推導出甲的身高的范圍是小于180厘米。這個例子兩問最大的區(qū)別就在于 “任意”和“存在”的區(qū)別，同時也是 “求最大值”還是 “求最小值”的區(qū)別。

題型二：“不等式的解集為D”與“不等式在D內恒成立”，其中D為一個確定的范圍。

例2：已知關于x的不等式x2-ax+3＜0，求：

（1）若不等式的解集為 ｛x| 1＜x＜3｝，求a的值；

（2）若不等式在｛x|1＜x＜3｝內恒成立，求a的范圍。

分析：不妨設f（x）=x2-ax+3，該函數圖像開口向上，畫出它的一個簡圖 （參見第二問示意圖）。

由于不清楚對稱軸的位置，在本圖中可以省略掉Y軸，其中x1，x2，為方程f（x）=0的兩個解，由函數圖像可知，f（x）＜0，即x2-ax+3＜0的解集為 ｛x|x1＜x＜x2｝，根據題目給出的條件：不等式的解集為 ｛x| 1＜x＜3｝，推出 ｛x|x1＜x＜x2｝=｛x|1＜x＜3｝，那么x1=1，x2=3，1和3分別為方程x2-ax+3=0的兩個解，由韋達定理可求1+3=a=4。

第二問，有 ｛x|1＜x＜3｝? ｛x| x1＜x＜x2｝，即x1≤1＜x＜3≤x2｝，如圖所示：

那么本問就轉化為一元二次方程根的分布問題，即x2-ax+3=0的兩根一個小于1，一個大于3，利用數形結合，可得到

雖然數學側重的是思維，但是如果脫離了文字，就不能完全地理解題目本身的意思，近年高考出題喜歡在文字上做文章，對于以上兩類題型，教學前一定要詳細講解問與問之間的區(qū)別，然后要想辦法理解透切題目的意思，把題意轉化為我們熟識的題型，必要時候可以通過一些生活中的案例和數形結合等方法來講解，這樣不但學生課堂上能夠聽得明白，還可以讓他們做到舉一反三，從而達到良好的教學效果。

責任編輯鄒韻文