張建華，李 楊，吳學禮，趙 民，莊沈陽

(1.河北科技大學電氣工程學院，河北石家莊 050018；2.河北省生產(chǎn)過程自動化工程技術(shù)研究中心，河北石家莊 050018；3.河北科技大學信息科學與工程學院，河北石家莊 050018；4.齊齊哈爾大學計算機與控制工程學院，黑龍江齊齊哈爾 161006)

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基于U模型的混沌系統(tǒng)Super-Twisting同步控制研究

張建華1,2，李 楊2,3，吳學禮1,2，趙 民1，莊沈陽4

(1.河北科技大學電氣工程學院，河北石家莊 050018；2.河北省生產(chǎn)過程自動化工程技術(shù)研究中心，河北石家莊 050018；3.河北科技大學信息科學與工程學院，河北石家莊 050018；4.齊齊哈爾大學計算機與控制工程學院，黑龍江齊齊哈爾 161006)

提出了一種基于U模型的混沌系統(tǒng)Super-Twisting同步控制方法，對混沌系統(tǒng)的混沌控制進行了描述，結(jié)合混沌系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀和非線性系統(tǒng)設(shè)計中的一些成果，提出了混沌控制與同步的一些新方法，設(shè)計出相應(yīng)的控制器實現(xiàn)有限時間混沌同步控制。針對Lorenz 系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果證明了所給方法的有效性。

穩(wěn)定性理論；混沌系統(tǒng)；同步；U模型；Super-Twisting算法；有限時間

混沌現(xiàn)象廣泛地存在于自然界，它是非線性系統(tǒng)所包含的一種比較特殊的復雜運動。混沌是一種非線性系統(tǒng)的動態(tài)形式，其明顯特點是對噪聲和初始值的敏感性。類似隨機現(xiàn)象是混沌現(xiàn)象在確定性系統(tǒng)中本身固有的一種特性?；煦绗F(xiàn)象揭示了自然界及人類社會中普遍存在的統(tǒng)一性問題，即復雜性與有序和無序、確定性和隨機性彼此間的統(tǒng)一，加深了人們對客觀世界的認識。“混沌”是近代非常引人注目的熱點研究問題，它掀起了繼相對論和量子力學以來基礎(chǔ)科學的第三次革命。在現(xiàn)實生活和實際工程技術(shù)問題中，混沌無處不在，揭示了隨機現(xiàn)象背后可能隱藏的簡單規(guī)律[1-2]。

混沌同步原理是PECORA和CARROLL在1990年提出的，在非線性系統(tǒng)研究中，混沌系統(tǒng)同步控制已成為學者們研究的熱門領(lǐng)域[3]?；煦缤降难芯渴艿搅税ㄍㄓ崱⑿畔⒖茖W、醫(yī)學、生物、工程等領(lǐng)域中大量研究人員的關(guān)注[4-6]，包括線性反饋[3]和自適應(yīng)[4]等方法實現(xiàn)同步[5]和反同步[6]等控制，具有很大的應(yīng)用潛力和發(fā)展前景[7-9]。所謂混沌系統(tǒng)同步控制，是指一個混沌動力學軌道收斂于另一個混沌動力學軌道，以致兩個系統(tǒng)始終保持步調(diào)的一致[10-11]。近年來，學者們提出了很多有關(guān)混沌同步的方法[12-13]應(yīng)用到同步控制的設(shè)計過程中，如反推控制、延時反饋控制、基于觀測器控制和滑?？刂频取?/p>

滑?？刂颇軌蚩朔到y(tǒng)的不確定性，對干擾和未建模動態(tài)具有很強的魯棒性，尤其是對非線性系統(tǒng)的控制具有良好的控制效果[14-16]。U模型為傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)構(gòu)造了一個通用的模型結(jié)構(gòu)，相對于其他方法的優(yōu)點:U模型可以采用時變參數(shù)多項式的方式表示一大類平滑非線性系統(tǒng)，而且U模型的形式不會使對象的非線性特性有任何損失，可以優(yōu)化非線性系統(tǒng)的控制器部分的設(shè)計；U模型可以將非線性動態(tài)模型轉(zhuǎn)換為一類僅有偽輸入的參數(shù)時變非線性多項式模型，它的提出將為非線性對象控制系統(tǒng)設(shè)計提供一個良好的發(fā)展方向；U模型可以把繁瑣的模型轉(zhuǎn)換到一種簡潔的結(jié)構(gòu)模型[17-18]。

Super-Twisting算法[19-20]是一種高階滑?？刂品椒ǎ梢越鉀Q有限時間的同步控制問題，特別是通過設(shè)計嚴格的Lyapunov泛函[21]給出有限時間收斂性。這里借助U模型控制方法，將系統(tǒng)的控制輸出設(shè)計為虛擬控制的控制輸入，解決非線性系統(tǒng)的控制問題，通過Super-Twisting滑?？刂频挠邢迺r間收斂特性，設(shè)計有限時間滑模同步控制器。

1 基礎(chǔ)知識

典型的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)，可以通過下面的系統(tǒng)進行描述：

(1)

式中：x1，x2和x3是混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量。系統(tǒng)參數(shù)α∈[0,1]，當0≤α<0.8時，式(1)稱為Lorenz混沌系統(tǒng)；當α=0.8時，式(1)稱為Lü混沌系統(tǒng)；當0.8<α≤1時，式(1)稱為Chen混沌系統(tǒng)。

帶有不確定外界擾動的混沌系統(tǒng)可以描述為

(2)

式中：Δ1，Δ2和Δ3是外界擾動。

用于同步的子混沌系統(tǒng)描述為

(3)

式中：y1,y2,y3表示子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)；ui指的是子系統(tǒng)的控制輸入。

2 基于Super-Twisting算法的滑模同步控制

Super-Twisting算法[21]是一種二階滑?？刂品椒?，系統(tǒng)表示為

(4)

(5)

選取Lyapunov泛函為

V=ζTPζ，

(6)

于是就有

(7)

滿足Lyapunov等式

ATP+PA=-Q。

(8)

考慮沒有外界擾動的系統(tǒng)，ρ1=ρ2=0和控制增益k1,k2，于是就有如下的條件等價：

1)系統(tǒng)的平衡點x=0是有限時間穩(wěn)定的；

2)矩陣A是Hurwitz的，也就是所有的特征值的實部都在左半平面；

3)控制增益是正數(shù)，即k1>0,k2>0；

4)對于任意正定對稱的矩陣Q=QT>0，對于Lyapunov等式(8)存在正定對稱解P=PT>0。對于函數(shù)V(x)，解的軌跡在t=0有x(0)=x0，會在有限時間T(x0)內(nèi)達到原點，并且有如下關(guān)系成立：

關(guān)于收斂性的研究表明系統(tǒng)是有限時間收斂的，并且具有很好的魯棒性。

定理1 針對主混沌系統(tǒng)(1)，子混沌系統(tǒng)(3)，對于任意的常數(shù)ki>0,li>0,i=1,2,3，設(shè)計如下的Super-Twisting滑?？刂破鳎?/p>

(9)

其中，自適應(yīng)律設(shè)計為

(10)

那么主混沌系統(tǒng)(1)，子混沌系統(tǒng)(3)可以在有限時間內(nèi)達到同步。

證明 為設(shè)計控制器以實現(xiàn)主混沌系統(tǒng)和子混沌系統(tǒng)的同步，首先構(gòu)造誤差狀態(tài)：

ei=yi-xi,i=1,2,3,

(11)

針對主混沌系統(tǒng)(1)，子混沌系統(tǒng)(3)可以得到：

(12)

根據(jù)U模型控制方法將控制器(9)帶入可得誤差系統(tǒng)見式(13)：

(13)

對于誤差系統(tǒng)(13)，根據(jù)Super-Twisting滑?？刂品椒梢缘玫较到y(tǒng)是有限時間收斂，所以主混沌系統(tǒng)和子混沌系統(tǒng)能夠達到有限時間同步。

同步控制算法具有很強的魯棒性，如果針對帶有不確定外界擾動的混沌系統(tǒng)(2)進行同步控制，同樣采用定理1中的同步控制器，誤差系統(tǒng)表示為

(14)

3 數(shù)值仿真

為說明同步控制的性能，這里對同步控制的算法給出相應(yīng)的仿真實驗。

算例1 考慮如下混沌系統(tǒng)，主系統(tǒng)為

子系統(tǒng)為

選取定理1中設(shè)計的控制器，帶入控制器之后可以得到如下結(jié)果。

通過數(shù)值仿真，選取初始條件為

(x1(0)x2(0)x3(0))T=(-5 1 5)T，

(y1(0)y2(0)y3(0))T=(0 0 0)T，

(v1(0)v2(0)v3(0))T=(1 1 1)T，

控制增益l1=1，l2=1,l3=5,

(15)

根據(jù)控制增益可以得到矩陣， 于是可以得到

λ(P)=(1.109 8 2.075 6),λ(Q)=(0.334 3 1.237 8),

于是就有T=79.813 2，有限時間和初始條件有關(guān)，同時由于對于LMI求解過程中得到的矩陣P,Q只是滿足條件的一組，所以給出的收斂時間只是說明在有限時間內(nèi)收斂，很難得出系統(tǒng)的收斂時間。圖1描述的是Lorenz混沌系統(tǒng)的混沌特性；圖2描述的是Lorenz主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x1和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y1；圖3描述的是Lorenz主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x2和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y2；圖4描述的是Lorenz主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x3和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y3；圖5給出同步誤差曲線。通過仿真曲線可以看出，系統(tǒng)中增加控制器作用之后，子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)是y1,y2,y3已經(jīng)分別同步到主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x1,x2,x3中。

圖1 Lorenz系統(tǒng)的混沌特性Fig.1 Chaotic attractor by Lorenz system

圖2 Lorenz系統(tǒng)x1的仿真Fig.2 State trajectories of Lorenz system x1

圖3 Lorenz系統(tǒng)x2的仿真Fig.3 State trajectories of Lorenz system x2

圖4 Lorenz系統(tǒng)x3的仿真Fig.4 State trajectories of Lorenz system x3

圖5 同步誤差曲線Fig.5 Error trajectories of synchronization

算例2 考慮Chen混沌系統(tǒng)同步控制性能，選取定理中設(shè)計的控制器，帶入控制器之后可以得到。

通過數(shù)值仿真，選取初始條件為

(x1(0)x2(0)x3(0))T=(-5 1 5)T，

(y1(0)y2(0)y3(0))T=(0 0 0)T，

(v1(0)v2(0)v3(0))T=(1 1 1)T，

控制增益l1=1,l2=1,l3=5

圖6描述的是Chen混沌系統(tǒng)的混沌特性；圖7描述的是Chen主混沌系統(tǒng)x1的狀態(tài)和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y1；圖8描述的是Chen主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x2和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y2；圖9描述的是Chen主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x3和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y3；圖10給出了同步誤差曲線。

圖6 Chen系統(tǒng)的混沌特性Fig.6 Chaotic attractor by Chen system

圖7 Chen混沌系統(tǒng)x1的仿真Fig.7 State trajectories of Chen system x1

圖8 Chen混沌系統(tǒng)x2的仿真Fig.8 State trajectories of Chen system x2

圖9 Chen混沌系統(tǒng)x3的仿真Fig.9 State trajectories of Chen system x3

圖10 同步誤差曲線Fig.10 Error trajectories of synchronization

4 結(jié) 論

基于U模型的控制過程，研究混沌系統(tǒng)的同步控制問題，提出了一種Super Twisting混沌同步控制方法，對混沌系統(tǒng)進行有限時間同步控制，并計算出收斂時間。針對Lorenz 系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果證明了所給方法的有效性。

[1] 于茜, 羅永健. 耦合混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步及其在保密通信中的應(yīng)用[J]. 河北科技大學學報, 2011, 32(2):157-161.

YU Qian, LUO Yongjian. Adaptive synchronization of coupled system and its application to secure communication[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2011, 32(2):157-161.

[2] 鄧學明. 一類非線性系統(tǒng)分岔混沌拓撲結(jié)構(gòu)分析[J]. 河北科技大學學報, 2008, 29(3):182-193.

DENG Xueming. Analysis of bifurcation topological structure of non-linear system[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2008, 29(3):182-193.

[3] PECORA L M， CARROLL T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Phys Rev Lett, 1990, 64: 821-824.

[4] LI Dong, ZHANG Xingpeng, HU Yuting, et al. Adaptive impulsive synchronization of fractional order chaotic system with uncertain and unknown parameters[J]. Neurocomputing, 2015, 167:165-171.

[5] GAO Xiaojing, HU Hanping. Adaptive-impulsive synchronization and parameters estimation of chaotic systems with unknown parameters by using discontinuous drive signals[J]. Applied Mathematical Modelling, 2015, 39(14):3980-3989.

[7] 吳學禮, 楊朝超, 張建華. 基于一致性理論之飛機群運動控制[J]. 河北科技大學學報,2015, 36(5):523-531.

WU Xueli, YANG Zhaochao, ZHANG Jianhua. Aircraft group control based on consensus[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2015, 36(5):523-531.

[8] 江衛(wèi)華, 劉秀君, 宗慧敏. 具有共振的分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性[J]. 河北科技大學學報, 2014, 35(6):518-523.

JIANG Weihua, LIU Xiujun, ZONG Huimin. Existence of solutions for fractional differential equation boundary value problems at resonance[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2014, 35(6):518-523.

[9] BEHINFARAZ R, BADAMCHIZADEH M A, GHIASI A R. An approach to achieve modified projective synchronization between different types of fractional-order chaotic systems with time-varying delays[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2015, 78:95-106.

[10] YANG Junqi, CHEN Yantao, ZHU Fanglai. Associated observer-based synchronization for uncertain chaotic systems subject to channel noise and chaos-based secure communication[J]. Neurocomputing, 2015, 167: 587-595.

[11]YANG Lixin, JIANG Jun. Complex dynamical behavior and modified projective synchronization in fractional-order hyper-chaotic complex Lü system[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2015, 78: 267-276.

[12]SUN Junwei, WANG Yanfeng, YAO Lina, et al. General hybrid projective complete dislocated synchronization between a class of chaotic real nonlinear systems and a class of chaotic complex nonlinear systems[J]. Applied Mathematical Modelling, 2015, 39(20):6150-6164.

[13]GAO Like, WANG Zhihui, ZHOU Ke, et al. Modified sliding mode synchronization of typical three-dimensional fractional-order chaotic systems[J]. Neurocomputing, 2015, 166:53-58.

[14]NAGESH I, EDWARDS C. A multivariable super-twisting sliding mode approach[J]. Automatica, 2014, 50(3):984-988.

[15]BASIN M, RODRIGUEZ-RAMIREZ P, DING S, et al. A nonhomogeneous super-twisting algorithm for systems of relative degree more than one[J]. Journal of the Franklin Institute, 2015, 352(4):1364-1377.

[16]BECERRA H M, HAYET J B, SAGüéS C. A single visual-servo controller of mobile robots with super-twisting control[J]. Robotics and Autonomous Systems, 2014, 62(11):1623-1635.

[19]CHEN Binglong, GENG Yunhai. Super twisting controller for on-orbit servicing to non-cooperative target[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2015, 28(1):285-293.

[20]FEKI M. An adaptive chaos synchronization scheme applied to secure communication[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2003, 18(1):141-148.

[21]MORENO J A, OSORIO M. Strict Lyapunov functions for the Super-Twisting algorithm[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2012, 57(4):1035-1040.

Study on Super-Twisting synchronization control of chaotic system based on U model

ZHANG Jianhua1,2, LI Yang2,3, WU Xueli1,2, ZHAO Min1, ZHUANG Shenyang4

(1.School of Electrical Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；2.Hebei Provincial Research Center for Technologies in Process Engineering Automation, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；3.School of Information Science and Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；4.College of Computer and Control Engineering, Qiqihar University, Qiqihar, Heilongjiang 161006, China)

A U model based Super-Twisting synchronization control method for chaotic systems is proposed. The chaos control of chaotic systems is prescribed, then, based on the current research status of chaotic systems and some useful research results in nonlinear system design, some new methods for chaos control and synchronization are provided, and the controller is designed to achieve the finite time chaos synchronization. The numerical simulations are carried out for Lorenz system and Chen system, and the result proves the effectiveness of the method.

stability theorem; chaotic system; synchronization; U model; Super-Twisting algorithm; finite time

1008-1542(2016)03-0268-07

10.7535/hbkd.2016yx03009

2016-02-29；

2016-03-31；責任編輯：李 穆

河北省自然科學基金(F2015208128)；河北省教育廳基金(QN20140157, BJ2016020)

張建華(1980—)，男，吉林延吉人，講師，博士，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑模控制、航跡優(yōu)化方面的研究。

E-mail:zhangjianhua@hebust.edu.cn

TP273

A

張建華，李 楊，吳學禮，等.基于U模型的混沌系統(tǒng)Super-Twisting同步控制研究[J].河北科技大學學報,2016,37(3):268-274.

ZHANG Jianhua, LI Yang, WU Xueli,et al.Study on Super-Twisting synchronization control of chaotic system based on U model[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(3):268-274.