鄧大勇苗奪謙黃厚寬

1(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江金華 321004)2(同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 上海 201804)3(北京交通大學(xué)計算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 北京 100044)4(浙江師范大學(xué)行知學(xué)院 浙江金華 321004)(dayongd@163.com)

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信息表中概念漂移與不確定性分析

鄧大勇1,2,4苗奪謙2黃厚寬3

1(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江金華 321004)2(同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 上海 201804)3(北京交通大學(xué)計算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 北京 100044)4(浙江師范大學(xué)行知學(xué)院 浙江金華 321004)(dayongd@163.com)

概念漂移探測是數(shù)據(jù)流挖掘的一個研究重點(diǎn)，不確定性分析是粗糙集理論的研究核心之一. 結(jié)合數(shù)據(jù)流、概念漂移和粗糙集、F-粗糙集的基本觀點(diǎn)，以上下近似為工具，定義了上下近似概念漂移、上下近似概念耦合等概念，據(jù)此分析了信息表內(nèi)概念隨著屬性而變化的特點(diǎn). 以正區(qū)域?yàn)楣ぞ?，定義了決策表內(nèi)概念漂移、概念耦合等概念，分析了決策表內(nèi)整體概念隨屬性變化而變化. 在認(rèn)識論方面,從理想和現(xiàn)實(shí)2方面定義了認(rèn)識收斂， 從粒計算、粗糙集的角度對人類認(rèn)識世界的方式進(jìn)行了探討.

粗糙集；概念漂移；屬性約簡；概念耦合；上下近似

現(xiàn)實(shí)中的數(shù)據(jù)往往隨著時間的變化而變化，例如證劵交易數(shù)據(jù)、微博、視頻、傳感器數(shù)據(jù)等，這種類型的數(shù)據(jù)稱為數(shù)據(jù)流[1].數(shù)據(jù)流具有按照時間順序排列、快速變化、海量甚至無限并且可能出現(xiàn)概念漂移現(xiàn)象等特征[2-3].數(shù)據(jù)流挖掘是當(dāng)前數(shù)據(jù)挖掘研究的一個熱點(diǎn)，數(shù)據(jù)流分類和概念漂移探測是數(shù)據(jù)流挖掘的主要研究方向.

粒計算[4-5]是人類智能處理問題的思維方式，也是處理不確定性問題的方法.粒計算的主要方法有模糊集[6]、粗糙集[7-9]、商空間[10]和云模型[11]等. 粗糙集理論[7-9]是一種處理不精確、不完全、含糊數(shù)據(jù)的有效數(shù)學(xué)工具，是數(shù)據(jù)挖掘和分類的重要方法.傳統(tǒng)的粗糙集理論不太適合研究海量的、動態(tài)變化的數(shù)據(jù)，也不太適合研究數(shù)據(jù)流；F-粗糙集[12-13]將粗糙集理論從單個信息表或決策表推廣到多個，比較適合研究動態(tài)變化的數(shù)據(jù)，能夠研究數(shù)據(jù)流和概念漂移.

利用粗糙集理論研究數(shù)據(jù)流和概念漂移比較少見.文獻(xiàn)[14-15]利用粗糙集的上下近似的變化去度量概念漂移；文獻(xiàn)[16]把每個滑動窗口看成是一個決策子表，利用并行約簡的方法整體刪除冗余屬性，通過比較不同子表之間的屬性重要性變化探測概念漂移.

粗糙集一個非常大的優(yōu)勢在于不確定性分析.研究者們提出了上下近似[7-9]、隸屬度[17]、信息熵[18]、條件熵[19-20]、粗糙熵、模糊熵[21-22]等不確定性度量指標(biāo)來刻畫和描述數(shù)據(jù)的不確定性.其中最原始、最本質(zhì)、最核心的不確定性分析和度量指標(biāo)是上下近似.

本文結(jié)合數(shù)據(jù)流、概念漂移和粗糙集、F-粗糙集的基本觀點(diǎn)、基本方法，分析了信息表內(nèi)信息粒度的概念變化和整個信息表內(nèi)概念的整體變化.首先利用上下近似分析了信息表內(nèi)單個概念的變化，定義了上下近似概念漂移與概念耦合等指標(biāo)，在信息粒度變化的基礎(chǔ)上度量概念隨著屬性而變化的特點(diǎn);其次，在整個信息表內(nèi)，用正區(qū)域的變化度量整個信息表或決策表內(nèi)整體概念隨屬性而變化的特性；最后，分別定義了決策表內(nèi)和信息表內(nèi)認(rèn)識收斂的概念,分析了概念漂移、概念耦合等指標(biāo)的認(rèn)識論意義.

1 基礎(chǔ)知識

本節(jié)簡單介紹粗糙集[7-9]的相關(guān)基本知識.

IS=(U,A)是一個信息系統(tǒng)，其中U是論域，A是論域U上的條件屬性集.對于每個屬性a∈A都對應(yīng)著一個函數(shù)a:U→Va，Va稱為屬性a的值域，U中每個元素稱為個體、對象或行.

對于每一個屬性子集B?A和任何個體x∈U都對應(yīng)著一個信息函數(shù)：

InfB(x)={(a,a(x)):a∈B}.

B-不分明關(guān)系(或稱為不可區(qū)分關(guān)系)定義為

IND(B)={(x,y):InfB(x)=InfB(y)}.

任何滿足關(guān)系IND(B)的2個元素x，y都不能由屬性子集B區(qū)分，[x]B表示由x引導(dǎo)的IND(B)等價類.

對于信息系統(tǒng)IS=(U,A)、屬性子集B?A和論域子集X?U，上下近似與邊界線的個體表示為

上下近似及邊界線的信息粒度表示為

在決策系統(tǒng)DS=(U,A,d)中，j5i0abt0b∩A=?，決策屬性d將論域U劃分為塊，U/j5i0abt0b={Y1,Y2,…,Yp}，其中Yi(i=1,2,…,p)是等價類.決策系統(tǒng)DS=(U,A,d)的正區(qū)域定義為

有時決策系統(tǒng)DS=(U,A,d)的正區(qū)域POSA(d)也記為POSA(DS,d)或POS(DS,A,d).

定義1[7-9]. 在決策系統(tǒng)DS=(U,A,d)中，B?A是DS的約簡iffB?A滿足2個條件：

1)POSB(d)=POSA(d)；

2) 對于任意S?B,有POSS(d)≠POSB(d).

定義2[23]. 在決策系統(tǒng)DS=(U,A,d)中,U/j5i0abt0b={Y1,Y2,…,Yp}，對于任意a∈A，有U/{a}={[x1]{a},[x2]{a},…,[xn]{a}}，則B?A是Y∈U/j5i0abt0b的值約簡iffB?A滿足2個條件：

2 信息粒度的概念漂移與不確定性分析

一個概念，它既可能用外延表示，也可能用內(nèi)涵表示.但概念不一定是精確的，所以粗糙集常用上下近似來表示和逼近一個概念.本節(jié)我們將研究概念的上下近似在同一個信息表中的變化，即概念漂移與概念耦合.

推論1. 在一個信息表IS=(U,A)中，對于??B1?B2?A和X?U，有BNB2(X)?BNB1(X).

我們將文獻(xiàn)[15]中的度量概念漂移、概念耦合等指標(biāo)進(jìn)行改進(jìn)，使之能更好地度量信息系統(tǒng)中概念的變化.

定義3. 設(shè)信息表IS=(U,A)中， ??B1?B2?A和X?U，則概念X相對于B1，B2的上下近似漂移定義為

定義4. 設(shè)信息表IS=(U,A)中， ??B1?B2?A和X?U，則概念X相對于B1，B2的上下近似耦合度定義為

其中,|·|表示“·”的勢.

概念X相對于B1，B2的上下近似漂移度定義為

定理2. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng)，B1?A是一個約簡，則對于任意的B1?B2?A和任意概念X={x|d(x)=d1∧x∈U}(其中d1為常數(shù))，有：

證明. 我們只證明第1個公式，后面2個公式由第1個公式立即推得.

證畢.

定理3. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng)，B1?A是一個約簡，則對于任意的B0?B1?A,則存在概念X={x|d(x)=d1∧x∈U}使得：

證明. 與定理2的證明方式類似，我們只證明第1個公式，后面2個公式由第1個公式立即推得.

證畢.

定理4. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng)，X={x|d(x)=d1∧x∈U}是一個概念，B1?A是X的一個值約簡，則：

證明. 根據(jù)值約簡的定義以及相應(yīng)的概念漂移、概念耦合等定義，立得上述結(jié)論.

證畢.

例1. 設(shè)DS1=(U,A,d)是決策表，如表1所示.其中，a,b,c是條件屬性，d是決策屬性.

Table 1 A Decision System DS1

令X={x|d(x)=0,x∈U},B0={a},B1={a,b},則：

{y1,y4}-{y1,y4}=?；

{y1,y2,y3,y4,y5,y6}-{y1,y4,y5,y6}={y2,y3}；

容易看出，B0是決策表DS1的約簡,定理1,2,3,4都成立.

3 決策表整體的概念漂移與不確定性分析

第2節(jié)討論是針對信息表或決策表內(nèi)單個概念的概念漂移與耦合，對于整個決策表或信息表這些指標(biāo)顯得非常局限，因?yàn)橐粋€決策表或信息表中有多個概念，將多個概念放在一起討論概念漂移、耦合及其度量是本節(jié)討論的內(nèi)容.

定理5[24]. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng),??B1?B2?A,則有POSB1(d)?POSB2(d)?POSA(d).

根據(jù)定理5將文獻(xiàn)[15]中的指標(biāo)進(jìn)行改造,我們得到下面概念漂移、概念耦合的度量指標(biāo).

定義5. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng),??B1?B2?A,則決策表中相對于B1，B2的概念漂移定義為

Δ1,2=POSB2(d)-POSB1(d).

定義6. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng),??B1?B2?A,則決策表中相對于B1，B2的概念耦合度定義為

定義7. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng),??B1?B2?A,則決策表中相對于B1，B2的概念漂移度定義為

定理6. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng)，B1?A是一個約簡，則對于任意的B1?B2?A，有：

Δ1,2=POSB2(d)-POSB1(d)=?，

證明. 根據(jù)定理5、定義5～7及屬性約簡的定義，立得上述結(jié)論.

證畢.

定理7. 設(shè)DS=(U,A,d)是一個決策系統(tǒng)，B1?A是一個約簡，則對于任意的B0?B1?A,

Δ0,1=POSB1(d)-POSB0(d)≠?,

證明. 根據(jù)定理5、定義5～7及屬性約簡的定義，立得上述結(jié)論.

證畢.

例2. 設(shè)DS2=(U,A,d)是決策表，如表2所示.其中，a，b，c是條件屬性，d是決策屬性.

Table 2 A Decision System DS2

令B1={a},B2={a,b}，則：

POSB1(d)={x2,x4}；

POSB2(d)={x1,x2,x3,x4}；

Δ1,2=POSB2(d)-POSB1(d)={x1,x3}；

在決策表DS2中，B2是它的一個約簡，容易看出，定理5～7都成立.

4 概念漂移與不確定性分析的認(rèn)識論意義

粗糙集理論認(rèn)為“知識就是分類”,區(qū)分不同的物體是人類知識的體現(xiàn),在此過程中也需要知識,也就是說知識需要知識來表達(dá). 但不同的知識表達(dá)不一樣,人類的認(rèn)識是一個過程,在這個認(rèn)識過程中選取什么特征來表達(dá)知識?選取多少特征?到什么時候?yàn)橹?這些問題對于人類來說目前都是一個自發(fā)的直覺過程,缺乏理性思考. 繼承文獻(xiàn)[25]的思想，下面我們利用粗糙集和概念耦合的思想來努力回答這些問題.

在決策系統(tǒng)DS=(U,A,d)中,假定條件屬性集A1?A2?…?An?…=A是一個不斷變化的過程,也是一個認(rèn)識不斷深入的過程，我們通過A來表達(dá)和認(rèn)識d.

認(rèn)識收斂有2條標(biāo)準(zhǔn)：

1)POSA(d)=U；

這2條標(biāo)準(zhǔn)也是認(rèn)識收斂的定義. 標(biāo)準(zhǔn)1表明決策系統(tǒng)DS=(U,A,d)是一致的，所有概念的邊界區(qū)域?yàn)榭?，它們的上近似等于下近似；?biāo)準(zhǔn)2表明增加的屬性An-An-1對于區(qū)分表中的個體不起作用. 標(biāo)準(zhǔn)1是理想的標(biāo)準(zhǔn),標(biāo)準(zhǔn)2是現(xiàn)實(shí)的標(biāo)準(zhǔn),這是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界中并不是每個概念都是精確的,很多概念都是含糊不清、邊界線不為空的.

在信息系統(tǒng)IS=(U,A)中，因?yàn)闆]有決策屬性d的約束,認(rèn)識收斂的標(biāo)準(zhǔn)定義如下：

3) 對于任意的概念X?U,有：

且

標(biāo)準(zhǔn)3表明從An-1到An對于信息系統(tǒng)IS=(U,A)中的每一個概念都不會發(fā)生變化.

標(biāo)準(zhǔn)1是一個理想的標(biāo)準(zhǔn),在這個標(biāo)準(zhǔn)中所有的對象都被清晰地區(qū)分，沒有不確定、沒有模糊、也沒有粗糙；標(biāo)準(zhǔn)2和標(biāo)準(zhǔn)3只是一個局部收斂的標(biāo)準(zhǔn)，隨著認(rèn)識的進(jìn)一步深入，比如從An到An+1這些指標(biāo)值也許不等于1，這時認(rèn)識達(dá)到了一個新的高度. 例如:長期以來人們識別某個人,一般是根據(jù)相貌、體態(tài)、步態(tài)、聲音等，這種識別方式雖然有一定的誤差，但基本穩(wěn)定. 只有到了近年來,使用DNA技術(shù)才能徹底區(qū)分不同的人.

當(dāng)然,我們可以等價地用概念漂移度來定義和度量認(rèn)識收斂,這里不再贅述.

5 結(jié)論與展望

從粒計算、粗糙集和數(shù)據(jù)流、概念漂移的角度觀察信息表，以上下近似為工具，本文定義了概念的上下近似漂移、上下近似耦合等概念，分析了信息表內(nèi)概念隨屬性的變化而變化的特性.從單個概念和整個信息表或決策表2種不同的粒度層次上分析和度量了概念漂移和概念耦合.從信息表和決策表的角度定義了認(rèn)識收斂的概念,指出其認(rèn)識論意義.

進(jìn)一步的研究有：運(yùn)用更多的粒計算、粗糙集不確定性分析方法和指標(biāo)，分析和度量數(shù)據(jù)流或信息表中隱藏的不確定性，并將結(jié)果應(yīng)用于集成分類器和數(shù)據(jù)流分類.

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Deng Dayong, born in 1968. PhD and associate professor. His main research interests include rough sets, granular computing and data mining.

Miao Duoqian, born in 1964. PhD. Professor and PhD supervisor. His main research interests include rough sets, granular computing, data mining, comput-ational intelligence and image processing.

Huang Houkuan, born in 1940. Professor and PhD supervisor. His main research interests include computational intelligence, data mining and multi-agent system.

Analysis of Concept Drifting and Uncertainty in an Information Table

Deng Dayong1,2,4, Miao Duoqian2, and Huang Houkuan3

1(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua,Zhejiang321004)2(SchoolofElectronicsandInformation,TongjiUniversity,Shanghai201804)3(SchoolofComputerandInformationTechnology,BeijingJiaotongUniversity,Beijing100044)4(XingzhiCollege,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua,Zhejiang321004)

Concept drifting detection is one of hot topics in data stream mining, and analysis of uncertainty is dominant in rough set theory. Combined with the ideas of data stream, concept drifting, rough sets and F-rough sets, a lot of concepts such as concept drifting of upper approximation, concept drifting of lower approximation, concept coupling of upper approximation and concept coupling of lower approximation etc are defined. The change of concepts in an information system is analyzed with these definitions. With the positive region, integral concept drifting, integral concept coupling are defined. The analysis and measurement for the change of concept uncertainty are conducted. From the view of epistemology, the concept of cognition convergence is defined from the ways of idealism and realism. It provides heuristic information for realizing the world of human beings from the viewpoints of granular computing and rough sets.

rough sets; concept drift; attribute reduction; concept coupling; upper and lower approximation

2015-09-06；

2016-02-05

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61473030,61572442,61203247,61273304,61573259,61472166);浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY15F020012,LY13F020016)

TP18

This work was supported by the National Natural Science Foundation of China (61473030,61572442,61203247,61273304,61573259,61472166) and the Natural Science Foundation of Zhejiang Province of China (LY15F020012,LY13F020016).