蔡冬蓮（湖南省益陽(yáng)市益師藝術(shù)實(shí)驗(yàn)學(xué)校，湖南 益陽(yáng)413000）

數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

蔡冬蓮（湖南省益陽(yáng)市益師藝術(shù)實(shí)驗(yàn)學(xué)校，湖南 益陽(yáng)413000）

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)已經(jīng)得到了社會(huì)的認(rèn)可，得到了應(yīng)有的重視。數(shù)形結(jié)合滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，是初中數(shù)學(xué)解題中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用甚廣。數(shù)形結(jié)合將數(shù)和形完美的結(jié)合在一起，貫穿了初中數(shù)學(xué)的兩大主線-數(shù)和形?？v觀整個(gè)數(shù)學(xué)教材，有許許多多的知識(shí)都體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。在初中教學(xué)中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，有助于學(xué)生解題思路的拓展和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。本文主要對(duì)數(shù)形結(jié)合的意義以及數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的分析。

初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)；應(yīng)用

1 引言

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)學(xué)科，是刻畫(huà)社會(huì)規(guī)律和自然規(guī)律的有效工具和科學(xué)語(yǔ)言。為了適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，每個(gè)公民都必須具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握必需的數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)的思想方法將兩者連接起來(lái)。數(shù)形結(jié)合是利用數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化，使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最終簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。

2 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和意義

2.1 數(shù)形結(jié)合在初中教學(xué)中的地位

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有非常重要的地位，具有整合性強(qiáng)、解法靈活的優(yōu)點(diǎn)，可以對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新能力、實(shí)踐能力和思維能力加以考察，它將函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)知識(shí)與多邊形、數(shù)軸、圓等幾何知識(shí)聯(lián)系在一起，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅能夠幫助學(xué)生系統(tǒng)的掌握數(shù)學(xué)的概念，對(duì)學(xué)生思維能力的發(fā)展也有重要的作用。

2.2 數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

數(shù)形結(jié)合不僅能夠使概念完整化，解題問(wèn)題具體化，使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，不僅能夠幫助學(xué)生理解各種公式，還能幫助學(xué)生盡快的解決問(wèn)題。

2.2.1 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行認(rèn)知的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念被認(rèn)為是數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的邏輯起點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念是對(duì)知識(shí)的高度濃縮，是經(jīng)過(guò)多次抽象的結(jié)果，其最大的特點(diǎn)就是僅僅應(yīng)用文字表達(dá)相應(yīng)的結(jié)論。數(shù)學(xué)本身具有抽象性，往往被人們看作是枯燥、難懂的學(xué)科。數(shù)形結(jié)合的思想方法就是對(duì)數(shù)學(xué)概念從“數(shù)”和“形”兩方面進(jìn)行表述，從本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)知識(shí)，從而讓學(xué)生不再僅僅理解和記憶概念的表面文字，而是對(duì)概念進(jìn)行本質(zhì)的理解。

2.2.2 有助于提高解題能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)就是為了應(yīng)用學(xué)到的知識(shí)解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況是影響數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的主要因素，而數(shù)學(xué)思想方法的掌握和應(yīng)用情況也或多或少的影響著數(shù)學(xué)解題的能力。數(shù)學(xué)思想方法的一種重要方法就是數(shù)形結(jié)合，對(duì)其的掌握能夠幫助學(xué)生盡快找到解題的途徑，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力。

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)對(duì)象的數(shù)形將數(shù)和形巧妙的結(jié)合在一起，解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在就是在數(shù)和形之間相互轉(zhuǎn)化，在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問(wèn)題。在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，想到它的圖形，進(jìn)而找到解題的思路。實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題與具體形象的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化抽象為具體，化難為易，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

2.2.3 數(shù)形結(jié)合有助于學(xué)生全方位、多角度的思考問(wèn)題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想能夠培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。在初中課本當(dāng)中，大部分的章節(jié)都出現(xiàn)了思考、探究、練習(xí)、復(fù)習(xí)鞏固等問(wèn)題，在課堂教學(xué)當(dāng)中應(yīng)該創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生急于求知的好奇心，引發(fā)學(xué)生求知的欲望。

3 數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 數(shù)結(jié)合形的思想方法

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，為了能夠使問(wèn)題具體化，就必須運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以把抽象不易解釋的數(shù)與直觀形象的形結(jié)合在一起，使數(shù)在形的幫助下促使學(xué)生理解接受數(shù)。例如，虛數(shù)就是由于找到了幾何解釋才在數(shù)學(xué)中站穩(wěn)了腳跟，從而成為了有關(guān)復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)分支。加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，可以有效的提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

例1：在推導(dǎo)單項(xiàng)式乘法、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法以及多項(xiàng)式的運(yùn)算法則時(shí)，借助于圖形表示就可以讓學(xué)生更好的接受。比如，求3a×4a的值時(shí)，可以將4a作為一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，3a作為長(zhǎng)方形的寬，那么長(zhǎng)方形的面積就可以用3a×4a表示，如圖1所示。

圖1

于是有3a×4a=12a2，通過(guò)進(jìn)一步的分析概括就可以得到單項(xiàng)式乘法的運(yùn)算法則。

對(duì)于推導(dǎo)多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法法則以及多項(xiàng)式的乘法的法則使均可作類似的設(shè)計(jì)。

例2設(shè)a＞0，b＜0，且∣a∣＜∣b∣。①用“＜”連接a、-a、b、-b；②用“＞”或“＜”號(hào)填空，a-b_0，-ab_0，1/a_1/b。

分析：這種類型的題如果一拿到題就考慮有理數(shù)的性質(zhì)，容易搞亂學(xué)生的思維，使得學(xué)生難得其解。如果換種角度，借助于數(shù)軸分析，這個(gè)問(wèn)題就變得清晰、明了。

圖2

由題設(shè)得數(shù)軸。

學(xué)生就會(huì)很容易的看出：

3.2 以數(shù)解形

“以數(shù)解形”，就是利用“數(shù)”的精確性揭示出“形”中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，形雖然直觀具體，簡(jiǎn)單明了，但是缺乏數(shù)的精準(zhǔn)，形結(jié)合數(shù)的思想方法使得直觀的形與準(zhǔn)確的數(shù)結(jié)合在一起，使得形在數(shù)的幫助下得到了新的發(fā)展和新的面貌。下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明用數(shù)的方法解決形的問(wèn)題。

例3：已知：如圖3，圓O內(nèi)切于三角形ABC，其中AB=9，AC=11，BC=13。求：過(guò)三角形ABC的各個(gè)頂點(diǎn)的切線長(zhǎng)。

圖3

分析：觀察圖形，過(guò)三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的切線分為為AD和AE，BD和BF，CE和CF，且AD=AE，BD=BF，CE=CF。已知條件中給出了三角形三條邊的長(zhǎng)度，這時(shí)可以想到，將三角形ABC的三條邊均拆成某兩條線段的和，然后化成方程組問(wèn)題進(jìn)行求解。

解：如圖3。

設(shè)圓O與三角形ABC三條邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，設(shè)AD=x，BD=y，CF=z，則有：

所以過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C的切線分別為5、4、9。

例4：如圖4，矩形ABCD中，AB=5，AD=8，在AB、AD上各取點(diǎn)Q、P，使QP=3，求五邊形PQBCD面積的最小值。

圖4

分析：要想做到五邊形PQBCD面積的最小值，只要求出三角形APQ面積的最大值，令A(yù)P=X，AQ=y，則：

注意到x2+y2=32，那么這個(gè)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題：在x2+y2=32的條件下，求1/2·xy的最小值。

由于上式作為關(guān)于t的一元二次方程有實(shí)根，故△=81-4（2S）（2S）≥0

∴△S≤9/4∴APQ面積的最大值為9/4，

4 數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)

4.1 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想

在平時(shí)的課堂教學(xué)中，為了加深對(duì)概念的理解，應(yīng)該把直觀的模型或圖形帶到課堂教學(xué)當(dāng)中，在課堂上老師和學(xué)生相互交流，總結(jié)出具體圖形及數(shù)量之間的關(guān)系。老師要引導(dǎo)學(xué)生要從實(shí)際生活出發(fā)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，在日常生活中學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，找到解題的方法，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際價(jià)值。

4.2 在數(shù)學(xué)練習(xí)題中培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想

在講解具體的數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在無(wú)形當(dāng)中找到習(xí)題中所包含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，而不是過(guò)分強(qiáng)調(diào)解題的速度，直接把正確的思維告訴學(xué)生。學(xué)生在做數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，要鼓勵(lì)他們積極探索數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題干找到問(wèn)題的所在，找到解題的方法，最后自主的完成習(xí)題的解答。學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程之后對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解就會(huì)加深。

5 結(jié)束語(yǔ)

所有的事物都是由數(shù)和形兩方面組成的，數(shù)和形的結(jié)合一定存在于方方面面當(dāng)中。數(shù)形結(jié)合作為一種思想方法，蘊(yùn)含、滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中。它是以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，將數(shù)量關(guān)系和空間形勢(shì)結(jié)合在一起，利用數(shù)和形的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)去解決各種各樣的問(wèn)題。在中學(xué)階段在解決問(wèn)題時(shí)數(shù)形結(jié)合思想起到了非常關(guān)鍵的作用，數(shù)學(xué)結(jié)合可以使學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)化，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，概念形象化。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想方法的核心，在數(shù)學(xué)中有著不可替代的作用。我們每個(gè)老師在平時(shí)的教學(xué)當(dāng)中應(yīng)該有意的滲透數(shù)形結(jié)合的思想，并不斷思考滲透的策略，提高教學(xué)的方法。

[1]高愛(ài)紅.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（01）：45～46.

[2]教育部.義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3]劉桂玲.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].中國(guó)校外教育，2015（08）：24～25.

G633.6

A

2095-2066（2016）22-0273-02

2016-6-3

蔡冬蓮（1975-），女，中學(xué)一級(jí)教師，本科，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作。