陳 雪，韓 偉

(1.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建廈門 361024；2.上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240)

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有限維冪零Hom-李代數(shù)的分類

陳 雪1，韓 偉2

(1.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建廈門 361024；2.上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240)

首先研究了冪零和可解Hom-李代數(shù)的一些性質(zhì)，將經(jīng)典有限維李代數(shù)的可解和冪零的一些結(jié)果推廣到Hom-李代數(shù)上，其次分類了四維和五維冪零Hom-李代數(shù)，根據(jù)Hom-李代數(shù)的半中心的維數(shù)，可以將四維和五維冪零Hom-李代數(shù)分為3種和4種不同類型.

Hom-李代數(shù)；冪零性；分類

0 引言

2006年，Hartwig等為了構(gòu)造Witt 和 Virasoro代數(shù)的形變，引入了Hom-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)[1].一個Hom-李代數(shù)就是一個三元對(g,[·,·]，α),其中α是g上的線性映射，反對稱雙線性運(yùn)算[·,·]滿足α-扭不變的Jacobi等式，稱為Hom-Jacobi等式.當(dāng)α是恒等映射時，Hom-Jacobi等式退化為一般的Jacobi等式，此時g就是一個李代數(shù).由于Hom-李代數(shù)在離散和形變向量場、微積分、Yang-Baxter方程等方面有很多應(yīng)用，因此最近關(guān)于Hom-李代數(shù)的研究越來越深入[2-7].

Yau研究了Hom-李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)的構(gòu)造及其性質(zhì)[7].Jin等研究了半單李代數(shù)上的Hom-李代數(shù)結(jié)構(gòu)，他們指出有限維單李代數(shù)沒有任何非平凡的Hom-李代數(shù)結(jié)構(gòu)，并且給出了有限維半單李代數(shù)具有非平凡Hom-李代數(shù)結(jié)構(gòu)的充要條件[8].后來Benayadi等[2]又構(gòu)造了具有對稱不變非退化雙線性型的Hom-李代數(shù).Hom-李代數(shù)表示部分的研究也有了很大進(jìn)展，Sheng[3]研究了Hom-李代數(shù)的伴隨和平凡表示.

本文的目的是研究冪零Hom-李代數(shù).主要結(jié)構(gòu)如下：第1部分列出了一些關(guān)于Hom-李代數(shù)的基本定義；第2部分給出冪零和可解Hom-李代數(shù)的一些性質(zhì)；第3部分分類了四維冪零Hom-李代數(shù)；第4部分分類了部分五維冪零Hom-李代數(shù).本文如非特別說明，所有代數(shù)都是有限維的,并且定義在特征為零的代數(shù)閉域C上.

1 預(yù)備知識

定義1[1-9]Hom-李代數(shù)是一個三元對(g,[·,·]，α)，由線性空間g，雙線性映射[·,·]：g×g→g，及線性映射α:g→g組成，滿足下列條件：

(1)[x,y]=-[y,x] (反對稱性)，

(2)對所有x,y,z∈g，有Hom-Jacobi等式，

在上述定義中，若α是代數(shù)同態(tài)，即，對任意x,y∈g，有α([x,y])=[α(x),α(y)],則稱(g,[·,·]，α)為保積Hom-李代數(shù).

定義2 設(shè)(g,[·,·]，α)是一個Hom-李代數(shù)，η是g的一個子空間，若α(η)?η, [η,η]?η，則稱(η,[·,·]，α)為Hom-李子代數(shù).特別地，若[η,g]?η，則Hom-李子代數(shù)(η,[·,·]，α)稱為(g,[·,·]，α)的理想.若對任意x,y∈g，有[x,y]=0，則稱(g,[·,·]，α)為交換Hom-李代數(shù).

命題1 設(shè)(g,[·,·]，α)是一個保積Hom-李代數(shù)，則(Ker(α),[·,·]，α)是一個理想.

證明 顯然對任意x∈Ker(α)，有α(x)=0∈Ker(α).由于對任意x∈Ker(α),y∈g，有α([x,y])=[α(x),α(y)]=[0,α(y)]=0，得到[x,y]∈Ker(α)，因此(Ker(α),[·,·],α)是(g,[·,·]，α)的一個理想. 】

定義4[8]設(shè)(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)是兩個Hom-李代數(shù)，設(shè)φ:g1→g2是一個線性映射，如果對任意x,y∈g1，有

則稱φ是一個Hom-李代數(shù)同態(tài).特別地，當(dāng)φ是一個雙射時，Hom-李代數(shù)(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)同構(gòu).

定義5 設(shè)(g,[·,·]，α)是一個Hom-李代數(shù)，如果(g,[·,·]，α)沒有非平凡理想并且[g,g]=g，則稱(g,[·,·]，α)為單Hom-李代數(shù).如果(g,[·,·]，α)可以分解為一些單理想的直和，則稱(g,[·,·]，α)為半單Hom-李代數(shù).

2 Hom-李代數(shù)的可解性和冪零性

定義6 設(shè)(g,[·,·]，α)是一個Hom-李代數(shù)，η是g的一個子空間，若[η,η]?η，則稱η為(g,[·,·]，α)的一個半子代數(shù).特別地，若[η,g]?η，則η稱為(g,[·,·]，α)的半理想.

顯然C(g)?Z(g)，那么何時C(g)=Z(g)成立呢？下面的命題給出了答案.

命題2 設(shè)(g,[·,·]，α)是一個Hom-李代數(shù)，給出C(g)=Z(g)成立的充分條件，

(1)對任意x,y∈g，α([x,y])=[α(x),y]；

(2)[g,g]=g;

(3)α是(g,[·,·]，α)的一個自同構(gòu)；

(4)α是(g,[·,·]，α)的一個自同態(tài)，并且g=Z(g)+Im(α).

證明 顯然由(1)可以推出C(g)=Z(g)成立.

(2)對任意x∈Z(g),y∈g，存在u,v∈Z(g)使得[u,v]=y，則[α(x),y]=[α(x),[u,v]]=-[α(u),[v,x]]-[α(v),[x,u]]=0，因此x∈C(g).

(3)對任意x∈Z(g),y∈g，由于[α(x),y]=α([x,α-1(y)])=0，于是有x∈C(g).

(4)對任意x∈Z(g),y∈g，存在u∈g,v∈Z(g),使得y=α(u)+v,則[α(x),y]=[α(x),α(u)+v]=α([x,u])=0，因此x∈C(g). 】

定義8 設(shè)(g,[·,·]，α)是一個Hom-李代數(shù)，定義導(dǎo)出列：g(0)=g，g(1)=[g,g],g(2)=[g(1),g(1)],…,g(i)=[g(i-1),g(i-1)].如果存在g(n)=0， 則稱Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α)是可解的.定義降中心列：g0=g,g1=[g,g],g2=[g,g1],…,gj=[g,gi-1].如果存在gn=0， 則稱Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α)是冪零的.

顯然冪零Hom-李代數(shù)是可解的，而且導(dǎo)出列和降中心列的各項(xiàng)以及Z(g)都是半理想.對Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α)，由于可解性和冪零性都是用運(yùn)算[·,·]定義的，沒有用到線性映射α，那么我們能夠很自然地將有限維李代數(shù)的可解和冪零的一些結(jié)果推廣到Hom-李代數(shù)上.

命題3 設(shè)(g,[·,·]，α)是一個Hom-李代數(shù)，

(1)如果(g,[·,·]，α)是可解的，則g的所有半子代數(shù)和同態(tài)像也是可解的.

(2)如果η是g的一個可解的半理想并且g/η可解，則g也是可解的.

(3)如果η1和η2是g的一個可解的半理想，則η1+η2也是可解的.

命題4 設(shè)(g,[·,·]，α)是一個Hom-李代數(shù)，

(1)如果(g,[·,·]，α)是冪零的，則g的所有半子代數(shù)和同態(tài)像也是冪零的.

(2)如果g/Z(g)是冪零的，則g也是冪零的.

(3)如果g是冪零的且非零，則Z(g)≠0.

3 四維冪零 Hom-李代數(shù)的分類

本部分我們總是假設(shè)(g,[·,·]，α)是四維冪零Hom-李代數(shù)，則根據(jù)命題4(3)知道Z(g)≠0.因此根據(jù)dim(Z(g))，四維冪零Hom-李代數(shù)至多可以分為3類：

(Ⅰ)dim(Z(g))=4(或3);

(Ⅱ)dim(Z(g))=2;

(Ⅲ)dim(Z(g))=1.

顯然我們有下面的結(jié)論.

定理1 設(shè)dim(Z(g))=4(或3)，則四維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α)是交換的.設(shè)(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)是2個四維冪零Hom-李代數(shù)且dim(Z(g1))=dim(Z(g2))=4(或3)，設(shè)A(或B)是α(或β)在g1(或g2)的任意一組基下對應(yīng)的矩陣，則2個四維冪零Hom-李代數(shù)(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)A和B是相似矩陣.

證明 顯然由假設(shè)條件可以得到結(jié)論. 】

定理2 設(shè)dim(Z(g))=2.

(1)對四維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α)，可以選擇一組基{x1,x2,x3,x4}，使得方括號運(yùn)算滿足[x3,x4]=x1，其余為零.

(2)設(shè)g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4是一個復(fù)數(shù)域上的向量空間，定義方括號運(yùn)算：[x3,x4]=x1，其余為零，則對g上的任意線性映射α，(g,[·,·]，α)是四維冪零Hom-李代數(shù).

(3)由向量空間g，(2)中方括號運(yùn)算和g上的線性映射α1和α2定義的四維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在φ∈Ψ，使得φ°α1=α2°φ，其中

Ψ={φ是g上的可逆線性映射：

證明 (1)當(dāng)dim(Z(g))=2，顯然可以得到dim([g,g])=1,并且[g,g]?Z(g).因此可以選擇兩個非零向量x1∈[g,g],x2∈Z(g)使得{x1,x2}線性無關(guān)，然后將{x1,x}擴(kuò)充為g的一組基{x1,x2,x3,x4}使得方括號運(yùn)算為[x3,x4]=x1，其余為零.

(2)對g上的任意線性映射α，顯然Hom-Jacobi等式成立，因此 (g,[·,·]，α)是Hom-李代數(shù)，由方括號運(yùn)算，顯然g2=0，所以(g,[·,·]，α)是冪零的.

(3)由(2)，對g上的任意線性映射α1和α2，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是四維冪零Hom-李代數(shù).設(shè)φ是g上的可逆線性映射，容易驗(yàn)證對任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]，當(dāng)且僅當(dāng)

定理3 設(shè)dim(Z(g))=1.

(1)則dim([g,g])=2，可以選擇四維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α)的一組基{x1∈Z(g),x2,x3,x4}，使得方括號運(yùn)算滿足[x2,x3]=x1,[x3,x4]=x2，其余為零.

(2)設(shè)g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4是復(fù)數(shù)域上的向量空間，定義方括號運(yùn)算：[x2,x3]=x1,[x3,x4]=x2，其余為零.則對任意α∈Φ，(g,[·,·]，α)是一個四維冪零Hom-李代數(shù)，其中

Φ={α是g上的線性映射:

*表示任意復(fù)數(shù)}.

(3)由向量空間g，(2)中方括號運(yùn)算以及g上的線性映射α1和α2(α1,α2∈Φ)定義的四維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同構(gòu),當(dāng)且僅當(dāng)存在φ∈Γ，使得φ°α1=α2°φ，其中

Γ={φ是g上的可逆線性映射:

證明 (1)當(dāng)dim(Z(g))=1，顯然dim([g,g])≤3，如果dim([g,g])=3，則g不是冪零的，與已知條件矛盾.

如果dim([g,g])=2，則根據(jù)g的冪零性,顯然有Z(g)?[g,g].因此可以選擇[g,g]的一組基{x1∈Z(g),x2}并將其擴(kuò)充為g的一組基{x1,x2,x3,x4}.設(shè)

(2)設(shè)α是g上的一個線性映射，顯然α只需要對x1,x3,x4和x2,x3,x4滿足Hom-Jacobi等式即可，即

由方括號運(yùn)算，上面的算式可以化簡為

因此

則α滿足Hom-Jacobi等式當(dāng)且僅當(dāng)α∈Φ，所以推出(g,[·,·]，α)是Hom-李代數(shù)，另外g3=0，故g是冪零的.

(3) 由(2)，對線性映射α1,α2∈Φ，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是四維冪零Hom-李代數(shù).設(shè)φ是g上的可逆線性映射，容易驗(yàn)證對任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]當(dāng)且僅當(dāng)

其中a11a22≠0.因此φ是(g,[·,·]，α1)到(g,[·,·]，α2)的同構(gòu),當(dāng)且僅當(dāng)φ∈Γ并且φ°α1=α2°φ. 】

4 五維冪零Hom-李代數(shù)的分類

本部分假設(shè)(g,[·,·]，α)是一個五維冪零Hom-李代數(shù)，則根據(jù)命題4(3)，知道Z(g)≠0.因此根據(jù)dim(Z(g))，五維冪零Hom-李代數(shù)至多可以分為4類：

(Ⅰ)dim(Z(g))=5(或4);

(Ⅱ)dim(Z(g))=3;

(Ⅲ)dim(Z(g))=2,

(Ⅳ)dim(Z(g))=1.

顯然有下面的結(jié)論:

定理4 設(shè)dim(Z(g))=5(或4)，則五維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α)是交換的.設(shè)(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)是2個五維冪零Hom-李代數(shù),且dim(Z(g1))=dim(Z(g2))=5(或4)，設(shè)A(或B)是α(或β)在g1(或g2)的任意一組基下對應(yīng)的矩陣，則2個五維冪零Hom-李代數(shù)(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)同構(gòu),當(dāng)且僅當(dāng)A和B是相似矩陣.

證明 顯然由假設(shè)條件可以得到結(jié)論. 】

定理5 設(shè)dim(Z(g))=3.

(1)對五維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α)，可以選擇一組基{x1∈[g,g],x2,x3,x4,x5}，使得方括號運(yùn)算滿足[x4,x5]=x1，其余為零.

(2)設(shè)g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4⊕Cx5是一個復(fù)數(shù)域上的向量空間，定義方括號運(yùn)算：[x4,x5]=x1，其余為零，則對g上的任意線性映射α，(g,[·,·]，α)是五維冪零Hom-李代數(shù).

(3)由向量空間g，(2)中方括號運(yùn)算和g上的線性映射α1和α2定義的五維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在φ∈Π，使得φ°α1=α2°φ，其中

Π={φ是g上的可逆線性映射：

證明 (1)當(dāng)dim(Z(g))=3，顯然可以得到dim([g,g])=1并且[g,g]?Z(g).因此可以選擇2個非零向量x1∈[g,g],x2,x3∈Z(g)使得{x1,x2,x3}線性無關(guān)，然后將{x1,x2,x3}擴(kuò)充為g的一組基{x1,x2,x3,x4,x5}使得方括號運(yùn)算為[x4,x5]=x1，其余為零.

(2)對g上的任意線性映射α，顯然Hom-Jacobi等式成立，因此 (g,[·,·]，α)是Hom-李代數(shù)，由方括號運(yùn)算，顯然g2=0，所以(g,[·,·]，α)是冪零的.

(3)由(2)，對g上的任意線性映射α1和α2，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是五維冪零Hom-李代數(shù).設(shè)φ是g上的可逆線性映射，容易驗(yàn)證對任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]，當(dāng)且僅當(dāng)

定理6 設(shè)dim(Z(g))=2.

(1)五維冪零Hom-李代數(shù)按方括號運(yùn)算的形式可分為互不同構(gòu)的3類:設(shè){{x1,x2}∈Z(g),x3,x4,x5}是一組基

(a)[x3,x4]=x1,[x3,x5]=x2，其余為零;

(b)[x3,x4]=x1,[x4,x5]=x3，其余為零;

(c)[x3,x4]=x1,[x3,x5]=x2,[x4,x5]=x3，其余為零.

(2)設(shè)g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4⊕Cx5是復(fù)數(shù)域上的向量空間，定義上述(a),(b)或(c)型方括號運(yùn)算.則對任意線性映射α(α∈T1或α∈T2)，(g,[·,·]，α)是一個五維冪零Hom-李代數(shù)，其中

*表示任意復(fù)數(shù)}.

*表示任意復(fù)數(shù)}.

(3)由向量空間g，(2)中(a),(b)或(c)型方括號運(yùn)算以及g上的線性映射α1和α2(α1,α2∈T1，或α1,α2∈T2)定義的五維冪零Hom-李代數(shù)(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在φ∈Π1(ψ∈Π2或η∈Π3)，使得φ°α1=α2°φ(ψ°α1=α2°ψ或η°α1=α2°η)，其中

Π1={φ是g上的可逆線性映射:

Π2={Ψ是g上的可逆線性映射:

Π3={η是g上的可逆線性映射:

證明 (1)當(dāng)dim(Z(g))=2，顯然dim([g,g])≤4，如果dim([g,g])=4，則g不是冪零的，與已知條件矛盾.

如果dim([g,g])=2，則分為2種情況，[g,g]=Z(g)和[g,g]≠Z(g).

(Ⅰ)當(dāng)[g,g]=Z(g)時，可以選擇g的一組基{x1,x2,x3,x4,x5}使得方括號運(yùn)算滿足：[x3,x4]=x1, [x3,x5]=x2，其余為零，這就是(a)型；

(Ⅱ)當(dāng)[g,g]≠Z(g)，可以選擇非零向量x1∈Z(g)∩[g,g]，x2∈Z(g),x3∈[g,g]使得{x1,x2,x3}線性無關(guān)，再將其擴(kuò)充為g的一組基{x1,x2,x3,x4,x5}.設(shè)

(Ⅲ)如果dim([g,g])=3，則由g的冪零性可以得到Z(g)?[g,g].因此可以選擇g的一組基{x1∈Z(g),x2∈Z(g),x3∈[g,g],x4,x5}使得方括號運(yùn)算為[x3,x4]=x1, [x3,x5]=x2, [x4,x5]=x3，其余為零，這就是(c)型.

(2)對(a)型，顯然Hom-Jacobi等式對g上的任意線性映射α都成立，而且由方括號運(yùn)算得g3=0，所以(g,[·,·],α)是一個五維冪零Hom-李代數(shù).

對(b)型，設(shè)α是g上的一個線性映射，則只要證明α對{x1,x4,x5}，{x2,x4,x5},{x3,x4,x5}滿足Hom-Jacobi等式即可，即

由方括號運(yùn)算，上面的算式可以化簡為

因此，

則α滿足Hom-Jacobi等式當(dāng)且僅當(dāng)α∈T1，故推出(g,[·,·],α1)是Hom-李代數(shù)，由于g3=0，所以g是冪零的.

(c)型的證明與(b)型類似，我們在此省略.

(3)對(a)型，由(2)，對g上的任意線性映射α1和α2，(g,[·,·],α1)和(g,[·,·],α2)都是五維冪零Hom-李代數(shù).設(shè)φ是g上的可逆線性映射，容易驗(yàn)證對任意x,y∈g,φ[x,y]=[φ(x),φ(y)]當(dāng)且僅當(dāng)

其中:

因此φ是(g,[·,·],α1)到(g,[·,·],α2)的同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)φ∈Π1,并且φ°α1=α2°φ.

類似于(a)型的證明，我們很容易驗(yàn)證(b)型和(c)型，因此(b)型和(c)型的證明省略. 】

注：當(dāng)dim(Z(g))=1時，五維冪零Hom-李代數(shù)的分類更加復(fù)雜，對這種類型以及更一般的n維冪零Hom-李代數(shù)的分類，我們將在以后的論文中給出.

[1]HARTWIGJT,LARSSOND,SILVESTROVSD.DeformationsofLiealgebrasusing-derivations[J].J Algebra,2006,295:314.

[2] BENAYADI S, MAKHLOUF A.Hom-Lie algebras with symmetric invariant nondegenerate bilinear forms[J].JofGeometryandPhys,2014,76:38.

[3] SHENG Y H. Representations of Hom-Lie algebras[J].AlgebraRepresentTheory,2012,15(6):1081.

[4] MAKHLOUF A,SILVESTROV S.Notes on formal deformations of Hom-associative and Hom-Lie algebras[J].ForumMath,2010,22(4):715.

[5] YAU D.Hom-Yang-Baxter equation,Hom-Lie algebras,and quasi-triangular bialgebras[J].JPhysA:MathTheor,2009,42(16):1076.

[6] YAU D.Hom-algebras and homology[J].JLieTheory,2009,19(2):409.

[7] YAU D.Enveloping algebras of Hom-Lie algebras[J].JGenLieTheoryAppl,2008,2:95.

[8] JIN Q Q,LI X C. Hom-Lie algebra structures on semi-simple Lie algebras[J].JAlgebra,2008,319(4):1398.

[9] MAKHLOUF A,SILVESTROV S. Hom-algebra structures[J].JGenLieTheoryAppl,2008,2(2):51.

(責(zé)任編輯 陸泉芳)

Classification of finite-dimensional nilpotent Hom-Lie algebras

CHEN Xue1,HAN Wei2

(1.School of Applied Mathematics,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,Fujian,China；2.School of Mathematical Sciences,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

Some properties on nilpotent and solvable Hom-Lie algebras are presented in this paper.The results on solvability and nilpotency of classical finite dimensional Lie algebras are generalized to Hom-Lie algebras.Furthermore,four dimensional and five dimensional nilpotent Hom-Lie algebras are classified.By the dimension of the half center of Hom-Lie algebras,four dimensional and five dimensional nilpotent Hom-Lie algebras can be divided into three and four different classes.

Hom-Lie algebra;nilpotency;classification

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.002

2016-05-10;修改稿收到日期:2016-09-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11426191)；廈門理工學(xué)院高層次人才引進(jìn)項(xiàng)目(YKJ13028R)

陳雪(1984—),女，安徽六安人，講師，博士.主要研究方向?yàn)槔畲鷶?shù)及其表示理論.

E-mail:xuechen@xmut.edu.cn

O 152.5

A

1001-988Ⅹ(2016)06-0006-07