吊橋型方程強(qiáng)指數(shù)吸引子的存在性

汪 璇,張玉寶，胡弟弟

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

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吊橋型方程強(qiáng)指數(shù)吸引子的存在性

汪 璇,張玉寶，胡弟弟

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

研究吊橋型方程在強(qiáng)拓?fù)淇臻g中的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為,運(yùn)用一些新方法得到了強(qiáng)指數(shù)吸引子的存在性.

吊橋型方程;強(qiáng)拉平性;強(qiáng)指數(shù)吸引子

0 引言

本文考慮吊橋型方程

(1)

的強(qiáng)指數(shù)吸引子.1990年,Lazer和McKenna在非線性分析領(lǐng)域提出吊橋模型(1),該模型起源于吊橋系統(tǒng),在系統(tǒng)中,吊橋被視為兩端具有鉸鏈的彈性無負(fù)荷梁,u(x,t)表示向下的位移,δut表示粘性阻力.根據(jù)胡克定律,在一端鋼纜的作用下恢復(fù)力可以對(duì)抗拉伸但是不能對(duì)抗壓縮.用常數(shù)k乘以u(píng)+來表示吊橋的恢復(fù)力,拉伸時(shí)u為正,u+等于u,壓縮時(shí)u為負(fù),u+等于0,即

此外,(1)式右端還包含兩項(xiàng):大的正項(xiàng)l(對(duì)應(yīng)于重力)以及源于空氣動(dòng)力學(xué)的小的震蕩外力項(xiàng)εh(x,t),其中ε為很小的正數(shù).

關(guān)于問題(1)的研究已經(jīng)有許多結(jié)果[1-7],例如行波解的存在性、多重性等等.

(2)

其中u(x,t)為未知函數(shù),它表示橋床在垂直平面的位移;h(x)為外力項(xiàng);ku+為恢復(fù)力,k為彈力系數(shù);αut表示粘性阻尼,α為給定的正常數(shù).

為簡便起見,C(或Ci)表示任意正常數(shù).

1 符號(hào)和預(yù)備知識(shí)

顯然,我們有

D(A)?V?H=H*?V*,

其中H*,V*分別為H,V的對(duì)偶空間,映射連續(xù)且每一個(gè)空間在其后空間中是稠密的.

(3)

(4)

設(shè)γ為任意正常數(shù),且

(5)

根據(jù)(3)～(4)式,若Λ(u)=∫ΩG(u)dx,則存在兩個(gè)正常數(shù)K1,K2,使得

(6)

(7)

其中m,C0>0,并且m充分小.

根據(jù)(5)式,可得

(8)

當(dāng) A=Δ2時(shí),問題(2)在空間H中等價(jià)于方程

(9)

根據(jù)Poincaré不等式,存在常數(shù)λ1>0,使得

(10)

引入Hilbert空間E0=V×H,E1=D(A)×V,并且賦予范數(shù)

為了證明方程(9)指數(shù)吸引子的存在性,我們需要以下結(jié)果,參見文獻(xiàn)[8,10,11,13-19].

定義1[13]設(shè)X為Banach 空間,{S(t)}t≥0為X上的映射族.稱{S(t)}t≥0為X上的弱范連續(xù)半群,如果{S(t)}t≥0滿足

( i )S(0)=Id;

( ii )S(t)S(s)=S(t+s),?t,s≥0;

(iii)若tn→t,xn→x，則S(tn)xn?S(t)x.

定理1[13]設(shè)X,Y滿足上述假設(shè),{S(t)}t≥0為Y中的連續(xù)或弱連續(xù)半群,且將X×R+中的緊子集映射到X中的有界集,則稱{S(t)}t≥0是X上的弱范連續(xù)半群.

定理2[11]設(shè)k>0,且(3)～(5)式成立,如果h∈H,u1∈V,u2∈H,則方程(9)存在唯一解u,使得u∈C([0,T];V),ut∈C([0,T];H),?T>0.進(jìn)一步,映射(u1,u2)→(u(t),ut(t))在E0=V×H上連續(xù).所以,定義C0半群S(t):(u1,u2)→(u(t),ut(t)),t∈R+,則{S(t)}t≥0映射E0到其自身.

通常({S(t)}t≥0,X)稱為一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).集合B稱為({S(t)}t≥0,X)的有界吸收集,如果對(duì)于任意有界集B0?X,存在t0=t0(B0),使得S(t)B0?B,?t≥t0.集合D稱為關(guān)于{S(t)}t≥0正不變的,如果對(duì)?t≥0,有S(t)D?D.

集合A?X稱為({S(t)}t≥0,X)的全局吸引子,如果

( i )A在X中緊;

( ii )S(t)A=A,?t≥0;

定義2[8,10,14]設(shè)n(M,ε)(ε>0)表示在空間X中用半徑為ε的球覆蓋M的球的最小個(gè)數(shù),則M的分形維數(shù)為

(11)

定義3[15-18]設(shè){S(t)}t≥0為完備度量空間X中的半群.集合M?X稱為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引子,如果:

( i )集合M在X中緊且有有限的分形維數(shù);

( ii )集合M為正不變的,即S(t)M?M；

(iii)集合M為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引集,即對(duì)于每一個(gè)有界子集B?X,存在常數(shù)k=k(B)>0,l>0,使得dist(S(t)B,M)≤ke-lt.

定理3[19]設(shè)B為{S(t)}t≥0在空間X中的有界吸收集,則以下結(jié)論等價(jià):

(ii)半群{S(t)}t≥0存在指數(shù)吸引子.

定義4[19](強(qiáng)拉平性) 設(shè)X為一致凸Banach空間,對(duì)于任意有界集B?X,存在k,l,T>0及X的有限維子空間X1,使得

定理5[19]設(shè)X為一致凸Banach空間,且{S(t)}t≥0在X中為連續(xù)或強(qiáng)弱連續(xù)半群,則{S(t)}t≥0存在指數(shù)吸引子,如果下列條件成立:

( i )存在有界吸收集B?X;

( ii ){S(t)}t≥0滿足強(qiáng)拉平性.

2 空間E1中的指數(shù)吸引子

2.1 解的存在唯一性

首先給出初-邊值問題(9)的強(qiáng)解概念.

(12)

應(yīng)用Galerkin逼近方法[20],我們可以得到以下強(qiáng)解的存在唯一性結(jié)果:

定理6(強(qiáng)解的存在唯一性) 對(duì)?T>0,定義I=[0,T].設(shè)k>0,h∈V,g∈C2(R;R)滿足(3)～(5)式且g(0)=0,則對(duì)于任意給定的z0∈E1,問題(9)在空間E1中存在唯一強(qiáng)解z=(u,ut)∈L∞(I;E1).進(jìn)一步,z=(u,ut)從I到E1是弱連續(xù)的.

2.2E1中的一致有界吸收集

定理7[12](一致有界吸收集) 設(shè)k>0,h∈V,g∈C2(R;R)滿足(3)～(5)式,則半群{S(t)}t≥0在E1中存在有界吸收集.

2.3 E1中指數(shù)吸引子的存在性

首先需要以下半群的強(qiáng)弱連續(xù)性和緊性結(jié)果.

由定理6,在E1中定義

(13)

則半群{S(t)}t≥0將E1映入E1.

引理2[12]由(13)式定義的半群{S(t)}t≥0在E1中是強(qiáng)范連續(xù)的.

其中(u1,u1t)=(Pmu,Pmut).

引理3 設(shè)k>0,h∈H,g∈C3(R;R)滿足(3)～(5)式,{S(t)}t≥0為問題(9)的解半群,則半群{S(t)}t≥0在空間E1中滿足強(qiáng)拉平性,即對(duì)E1中任意的有界集B,存在k,l,T>0和函數(shù)q(m),使得對(duì)任意的z0∈B,t≥T,有

證明 選取0<ρ<1,且0<ρ(α-ρ)<λ1.用Av2(t)=Au2t(t)+ρAu2(t)與(9)式在空間H上作內(nèi)積,可得

(14)

其中

(15)

(16)

顯然,我們可以得到

(17)

(18)

結(jié)合(15)～(18)式,根據(jù)(14)式可得

(19)

定義泛函:

(20)

(21)

(22)

所以

(23)

由Gronwall引理可得

(24)

故

(25)

因此,問題(9)的解半群{S(t)}t≥0在空間E1中滿足強(qiáng)拉平性. 】

結(jié)合定理7、引理2和引理3,由定理5我們可以得到以下結(jié)果:

定理8(強(qiáng)指數(shù)吸引子) 設(shè)k>0,h∈V,g∈C3(R;R)滿足(3)～(5)式,{S(t)}t≥0為問題(9)的解半群,則半群{S(t)}t≥0在空間E1中擁有指數(shù)吸引子.

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(責(zé)任編輯 馬宇鴻)

The existence of strong exponential attractors for suspension bridge-type equations

WANG Xuan,ZHANG Yu-bao,HU Di-di

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

The long-time dynamical behavior is discussed for the suspension bridge-type equation in the strong topological space.Moreover,the existence of strong exponential attractor is obtained by applying a new semigroup scheme.

suspension bridge equation;enhanced flattening property;strong exponential attractor

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.003

2016-01-17;修改稿收到日期:2016-07-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361053,11261053)；甘肅省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(145RJZA112)

汪璇(1973—)，女，山東臨清人，副教授，博士．主要研究方向?yàn)閼?yīng)用微分方程和無窮維動(dòng)力系統(tǒng)．

E-mail:wangxuan@nwnu.edu.cn

O 175.27;O 175.29

A

1001-988Ⅹ(2016)06-0013-05