均值不等式交匯考查——由形的相似說起

☉浙江省嵊州市崇仁中學(xué)方　杜　軍

均值不等式交匯考查——由形的相似說起

☉浙江省嵊州市崇仁中學(xué)方杜軍

在知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題是高考命題的常見形式.那么知識(shí)點(diǎn)之間滿足怎樣的聯(lián)系才具有交匯性是考生關(guān)注的問題.如果兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)從形式上來看具有相似之處，則它們就具備了交匯的初級(jí)條件，再適當(dāng)變化就可命制出新穎的考題.

均值不等式：

（2）a2+b2≥2ab?ab≤（a、b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”號(hào)成立.

這是均值不等式兩種重要的形式，應(yīng)用其解題時(shí)要注意適用條件，即“一正、二定、三相等”.本文從形的相似性入手，以均值不等式的交匯問題為例，就其交匯視角展開探究.

一、與等差數(shù)列的交匯

例1（2015年北京卷）設(shè){an}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）.

A．若a1+a2>0，則a2+a3>0

B．若a1+a3<0，則a1+a2<0

C．若0

D．若a1<0，則（a2－a1）（a2－a3）>0

解析：利用等差中項(xiàng)得結(jié)合均值定理可判斷選項(xiàng)C正確．

從形式上看等差中項(xiàng)與均值不等式（1）有一定的相似性，因此成為交匯的視角.

二、與運(yùn)算法則的交匯

例2（2013年福建卷）若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是（）.

A．［0，2］B．［－2，0］C．［－2，＋∞）D．（－∞，－2］

解析：因?yàn)?x＋2y≥（當(dāng)且僅當(dāng)2x＝ 2y時(shí)等號(hào)成立），所以解得x＋ y≤－2，故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題將定值隱藏于冪的運(yùn)算法則中，即同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，借此將定值顯現(xiàn)出來.

三、與橢圓的交匯

例3已知M為橢圓=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，正數(shù)數(shù)列|MF1|，m，|MF2|成等比數(shù)列，則m的最大值為___________.

解析：由等比數(shù)列定義知m=又由橢圓定義得|MF1|+|MF2|=8為定值，所以|MF1|·|MF2|≤當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=4時(shí)，等號(hào)成立.故m的最大值為4.

點(diǎn)評(píng)：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為定值，具備和為定值，積最大的條件，因此存在與均值不等式交匯命題的依托.

四、與余弦定理的交匯

例4（2012年安徽卷理）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，則下列命題中正確的是________（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

①若ab＞c2，則②若a＋b＞2c，則

③若a3＋b3＝c3，則④若（a＋b）c＜2ab，則

⑤若（a2＋b2）c2＜2a2b2，則

解析：①由ab＞c2，得－c2＞－ab，由余弦定理可知cosC＝因?yàn)镃∈（0，π），函數(shù)y＝cosx在（0，π）上是減函數(shù)，所以故①正確．

③若C是直角或鈍角，則a2＋b2≤c2，即又函數(shù)y＝ax（0＜a＜1）在R上是減函數(shù)，所以與a3＋b3＝c3矛盾，所以假設(shè)不成立，所以故③正確．

⑤因?yàn)椋╝2＋b2）c2＜2a2b2，所以即 ab＞c2，轉(zhuǎn)化為命題①，故⑤錯(cuò)誤．

答案：①②③

點(diǎn)評(píng)：余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA，與均值不等式（2）高度相似，與均值不等式的交匯自然和諧.在解題中，通過配湊，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）到達(dá)了求最值的目的.

五、與勾股定理的交匯

例5（2014年四川卷）設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|·|PB|的最大值是________．

解析：由題意可知，定點(diǎn)A（0，0），B（1，3），且兩條直線互相垂直，則其交點(diǎn)P（x，y）落在以AB為直徑的圓周上，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA||PB|＝5，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：勾股定理：在直角三角形ABC中，a2+b2=c2.通過挖掘兩條直線的關(guān)系，知兩直線互相垂直，利用勾股定理使定值顯現(xiàn)出來，進(jìn)而與均值不等式建立關(guān)聯(lián).

六、與直線方程的交匯

例6設(shè)m，n∈R，若直線l：mx＋ny－1＝0與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，且l與圓x2＋y2＝4相交所得弦的長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為________．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=具有均值不等式的形式，因此成為交匯命題的視角.

七、與圓的交匯

圖1

解析：畫出可行域，如圖1所示.

M所表示的區(qū)域是半徑為1在x軸上方的半圓，N所表示的區(qū)域是半圓的內(nèi)接矩形，在M內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，求這個(gè)點(diǎn)落在N內(nèi)的概率的最大值，即求矩形面積的最大值.

點(diǎn)評(píng)：本題從表面看為簡(jiǎn)單的幾何概型問題，但求目標(biāo)區(qū)域面積時(shí)，涉及面積的最大值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為均值不等式應(yīng)用問題.本題求解中將t放入根號(hào)中變?yōu)閠2，使定值得以順利出現(xiàn).另外在變形中應(yīng)注意等價(jià)性，如：已知－3

在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合，是近幾年各類命題改革點(diǎn)，特別反復(fù)強(qiáng)調(diào)的重要理念之一．從以上各例可以看出，基本不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，它和多項(xiàng)內(nèi)容交叉滲透，自然地整合在一起，應(yīng)引起我們重視．備考復(fù)習(xí)中要善于挖掘不同知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，即可游刃有余地處理此類問題.