用幾何方法求圓錐曲線切線的斜率及其拓展

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)同濟中學(xué)　張文杰

用幾何方法求圓錐曲線切線的斜率及其拓展

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)同濟中學(xué)張文杰

引言：求圓錐曲線切線的斜率是一個重要知識點，也是高考的一個熱點.2014年浙江高考理科卷第21題就涉及了橢圓的切線，而在2015年的高考前筆者通過研究分析就預(yù)測文科卷中應(yīng)該涉及拋物線的切線，果然文科卷中就涉及了拋物線和圓的切線問題，由此引起了筆者更多的關(guān)注.

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到益實，還要靠教師的善于運用.”教師在實際教學(xué)中，合理使用資源，充分加以利用，靜態(tài)的課本就變得鮮活起來，處處充滿了數(shù)學(xué)獨特的魅力.［1］于是筆者又重新研究了課本選修1-1，并對其中的拓展知識產(chǎn)生了濃厚的興趣，心中存有念想，結(jié)合圓錐曲線中的光學(xué)特征用代數(shù)法證明了拋物線中過焦點直線經(jīng)拋物面反射后為平行光線，也作了大量拋物線中的幾何畫板，得出了一些結(jié)論.以此嘗試作出了一份教案，大致如下：

一、引入

我們知道求圓錐曲線中切線的斜率一般性方法有：聯(lián)立方程法，導(dǎo)數(shù)法，切線方程法.

那么除此之外還有沒有其他方法呢？筆者從書中的拓展——圓錐曲線中的光學(xué)性質(zhì)及其原理得到了一些啟發(fā).手電筒、聚光燈、太陽灶，這些都是借助了拋物面的反射原理，如果把光源放置拋物面的焦點位置，那么經(jīng)拋物面反射后的光線為平行光線（應(yīng)用于手電筒、聚光燈）；反之將拋物面置于正對平行光下那么平行光經(jīng)拋物面反射后的光都會匯集經(jīng)過焦點（應(yīng)用于太陽灶）.

由此從兩個實例中提煉出——反射，繼而聯(lián)系我們所熟知的鏡面反射（入射光線關(guān)于法線的對稱直線即為反射光線）.那么拋物線是否也滿足鏡面反射？鏡面又在哪？

二、證明書中光學(xué)原理

猜測鏡面為入射點處的切線.運用幾何畫板，作出A點處的切線，并拖動幾何畫板，發(fā)現(xiàn)每一點處的切線即為鏡面；而焦點發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射后也確實為平行的光線.這樣就直觀地驗證了課本中的光學(xué)原理.（當(dāng)然這個原理也能用代數(shù)證明）

聯(lián)系定義拓展原理，得出求切線的另一個途徑——幾何方法.

在此基礎(chǔ)上再聯(lián)系拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡.再探幾何畫板：

作出A點在準(zhǔn)線上的投影D點，由定義可得AD=AF，三角形ADF始終為等腰三角形，那么DF始終與切線垂直.這樣我們就可以藉由直線DF的斜率，利用負倒數(shù)直接求得拋物線的切線斜率，同時應(yīng)用這個方法也能實現(xiàn)拋物線切線的尺規(guī)作圖.

這樣就可得到一般性的做法：由已知的入射點A，求出點D坐標(biāo)，然后求出點D和F連線的斜率，最后求得切線斜率.

在本題中，若A（x0，y0），則于是kDF=最終切線斜率為

三、類比推廣

下面我們繼續(xù)類比推廣一下，這個作法能應(yīng)用到橢圓和雙曲線中嗎？

還是先從課本中給出的光學(xué)性質(zhì)入手：我們已經(jīng)從書本得知橢圓中的光學(xué)特征為從一個焦點出發(fā)的光線經(jīng)橢圓面反射后經(jīng)過另一個焦點.那么橢圓是否滿足鏡面反射？切線又可怎樣求？我們通過幾何畫板驗證一下.

同樣作出A點處的切線，并拖動A點，從畫板中我們發(fā)現(xiàn)鏡面同樣為每個入射點處的切線，同樣結(jié)合橢圓定義，我們先作出以F2為圓心，距離和（2a）為半徑的大圓，以及A為圓心，F(xiàn)1A為半徑的小圓，發(fā)現(xiàn)兩圓始終內(nèi)切，只要寫出兩圓方程聯(lián)立即可求得點D，那么DF1的中垂線即為切線.

繼續(xù)看雙曲線的光學(xué)特征：反射光線的反向延長線穿過另一個焦點.

拖動A點，鏡面同樣為每一點處的切線，結(jié)合定義作以F1為圓心，距離差（2a）為半徑的圓，以及A為圓心，AF2為半徑的圓，此時為兩外切圓聯(lián)立求得D點.同理求得切線斜率.

這樣我們就實現(xiàn)了用幾何方法求圓錐曲線切線的斜率；同時運用這一方法也完成了圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖.

四、作法應(yīng)用，證明相關(guān)結(jié)論

在作法中我們發(fā)現(xiàn)三角形ADF為等腰三角形，再聯(lián)系焦點弦問題，我們延長AF交拋物線于B點，過B作BC平行于x軸交A點處的法線于C點，根據(jù)圖像易知三角形ABC為等腰三角形，又由光學(xué)特征BC為入射點B處的反射光線，那么由鏡面知識知，∠ABE=∠CBE，則BE為B點處的法線，此時過B作BE的垂線BH即為B點處的切線.發(fā)現(xiàn)四邊形AHBE為矩形，這樣就得到一個很明顯的結(jié)論：切線AH與切線BH垂直，即過焦點弦兩交點作拋物線的切線，兩切線垂直.

如果我們將中間過程稍作調(diào)整，A點處的切線與準(zhǔn)線先交于H點，連接BH，由拋物線的定義我們利用準(zhǔn)線知識可易得∠AHB為直角，又AH∥BE，則BH⊥BE，即BH為B點處的切線，由此便用幾何方法證明了：過焦點弦兩交點作拋物線的切線，兩切線的交點在準(zhǔn)線上.

五、利用相關(guān)性質(zhì)，改進幾何方法

數(shù)學(xué)中的許多結(jié)果往往在意料之外，又在情理之中，可以讓我們不斷體驗成功的喜悅，滿足心靈深處強烈的探求欲望.［2］有了上述兩個成果之后我們繼續(xù)探索圖像，如果連接HF，很自然地發(fā)現(xiàn)HF與AB垂直，應(yīng)用反射原理易得△ADH≌△AFH，于是HF⊥AB得證.再利用這個結(jié)論我們反用一下便可得到一個求切線斜率、畫切線的一個改進方案：

過F作焦點弦AB的垂線，交準(zhǔn)線于H，連接AH，BH即為切線，斜率也可相應(yīng)求得.應(yīng)用這個方法使得計算和尺規(guī)作圖來得更加方便，此時我們的心情更為舒爽.

那么這一新的作法能用到橢圓和雙曲線上么？

繼續(xù)類比，在橢圓的焦點弦中，我們應(yīng)用原理作出兩條切線，發(fā)現(xiàn)兩切線交點同樣落于準(zhǔn)線上，并且我們發(fā)現(xiàn)另一特征EF1垂直于焦點弦AB.

同理，先過F1作AB的垂線EF1，交準(zhǔn)線于E，連接AE，BE，即為切線，同時切線斜率也可相應(yīng)求得.

同理，在雙曲線中也可過F2作焦點弦AB的垂線，交雙曲線準(zhǔn)線于C點，連接AC，BC即為切線.

六、操作反用，繪制圓錐曲線與手工剪紙的原理

繼續(xù)運用數(shù)學(xué)的研究方法，反用又有什么效果？

先來看下拋物線：

取一定點，稱為原象，由作法得知，象的集合為一定直線，拖動象點，發(fā)現(xiàn)切線所包絡(luò)的圖形為一拋物線.

再看橢圓：

同樣取一定點，稱之原象，由作法知，象的集合為一大圓，拖動象點，發(fā)現(xiàn)切線包絡(luò)得到一個橢圓.

最后雙曲線：

相對橢圓的作法為圓和圓外一定點，拖動象點，得到一個雙曲線.

這樣我們就得到了作圓錐曲線的另一個途徑：用切線包絡(luò)圓錐曲線，同時這個方法也可用于手工剪紙上.

七、學(xué)以致用，應(yīng)用生活——變焦手電筒的探究

數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活，又服務(wù)生活，那么現(xiàn)在我們來對照下生活，看下變焦手電筒的原理.變焦手電筒其實是利用改變光源的位置，達到不同的效果.

有時中間特別亮，有時又會出現(xiàn)像圖中這樣的光環(huán)效果，下面我們通過拋物線的反射原理再來驗證一下.

我們把光源置于焦點的右側(cè)，那么照射的范圍是小了，但是集中了，所以更亮.

反之把光源置于焦點左側(cè)，那么照射范圍大了，但是中間部分老是照不到，所以照亮的地方會形成一個空心的圓.

信息技術(shù)作為理想的數(shù)學(xué)教學(xué)情境設(shè)計工具，可以運用演示動畫進行圖文并茂的情境教學(xué)，教師可以利用自己的學(xué)科專業(yè)知識，運用動態(tài)模擬軌跡的形成過程來描述復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)對象關(guān)系，使學(xué)生更容易地理解數(shù)學(xué)抽象知識的形成和發(fā)展過程，提高對數(shù)學(xué)知識的感性認識，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.［3］筆者于近期恰巧接到了一個微課的任務(wù)，便一拍即合，剛好將上述拓展制作成一節(jié)微課，效果甚佳.

八、總結(jié)反思

（1）課本中的拓展知識可以在教學(xué)中再打磨包裝一下，既可以把學(xué)過的知識加以應(yīng)用，又能拓展知識，以及數(shù)學(xué)思想的滲透.

（2）幾何畫板等工具的應(yīng)用可以幫助我們更直觀更方便地了解一些特征和性質(zhì)，同時繼續(xù)應(yīng)用，既能拓展知識，也能發(fā)現(xiàn)一些新的命題和結(jié)論，是探究課的一個有力工具，是現(xiàn)代教學(xué)的一個強有力的幫手.

（3）微課順應(yīng)時代的發(fā)展而產(chǎn)生，能利用碎片化的時間拓展學(xué)生知識，也能加強深化知識，是信息化教學(xué)的一個有效形式.筆者也是在制作中不斷得到啟發(fā)，樂于其中.

1.楊輝軍，張儒玲.整合課本資源，彰顯學(xué)科魅力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（3）.

2.王生.走近數(shù)學(xué)大師感悟數(shù)學(xué)文化［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（6）.

3.李志成.基于PCK淺談信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（4）.