二次函數典型問題難點突破

張　麗

二次函數典型問題難點突破

張麗

一、二次函數圖像問題的處理策略

二次函數作為中學數學學習的核心版塊之一，需要同學們熟練地掌握基本性質，能夠靈活應用.二次函數的圖像，給大家提供了解決問題的工具，熟練應用不僅能掌握本塊知識，也能在學習中自然獲得邏輯推理、數形結合、函數變化等思想，從而為進一步學習奠定扎實的基礎.本文就二次函數圖像問題進行分類討論，以期找到解決這類問題的一般方法.

1.二次函數圖像的識圖

例1y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，則點M（a，bc）在（）.稱軸在y軸右側?b＜0.由以上條件可知bc＞0.∴點M（a，bc）在第一象限，答案：A.

2.利用已知條件確定函數的圖像.

例2已知一次函數y=ax+c，二次函數y= ax2+bx+c（a≠0），它們在同一坐標系中的大致圖像是（）.

圖1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】由圖可知：拋物線開口向上?a＞0；拋物線與y軸的負半軸相交?c＜0；對

【分析】先討論a、c的符號情況，判斷直線的位置特征；再結合b的符號，考慮拋物線的位置特征.答案：D.

【點撥】一次函數與二次函數的系數用相同字母表示，意味著一次函數的直線圖像的傾斜方向與二次函數的開口方向有關聯，兩個圖像的橫縱軸的截距有了聯系，進而使二次函數對稱軸、頂點坐標有了確定的性質，從而能夠確定圖像.

二、求解二次函數中的面積最值問題的策略

從近幾年的各地中考試卷來看，求面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數相結合，使解題具有一定難度.本文以一道中考題為例，介紹幾種不同的解題方法，供同學們在解決這類問題時參考.

例3如圖2，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，在（1）中的拋物線上的第二象限內是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由.

圖2

圖3

【解析】（1）拋物線解析式為y=-x2-2x+3；（2）Q（-1，2）.

下面著重探討求第（3）小題中面積最大值的幾種方法.

1.補形、割形法.

幾何圖形中常見的處理方式有分割、補形等，通過對圖形的這些直觀處理，一般能輔助解題，使解題過程簡捷、明快.此類方法的要點在于把所求圖形的面積進行適當的補或割，變成有利于表示面積的圖形.

方法一：如圖4，

圖4

設P點（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）.

∵S△PBC=S四邊形BPCO-S△BOC=S四邊形BPCO-

若S四邊形BPCO有最大值，則S△PBC就最大.

∴S四邊形BPCO=SRt△BPE+S直角梯形PEOC

S四邊形BPCO最大值

∴S△BPC最大值

方法二：如圖5，

圖5

設P點（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）. S△PBC=S△OBP+S△OCP-S△OBC

2.“鉛垂高，水平寬”面積法.

如圖6，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h），我們可得出計算三角形面積的另一種方法，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

圖6

根據上述方法，本題解答如下：

解：如圖7，

圖7

作PE⊥x軸于點E，交BC于點F.

設P點（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）.

∵S△PBC=S△FBP+S△FCP

S△PBC最大

三、二次函數與一元二次方程問題的解題策略.

例4已知二次函數：y=（k2-1）x2-（3k-1）x+2.

（1）二次函數的頂點在x軸上，求k的值；

（2）若二次函數與x軸的兩個交點A、B均為整數點（坐標為整數的點），當k為整數時，求A、B兩點的坐標.

【解析】（1）∵二次函數頂點在x軸上，

∴b2-4ac=0，且a≠0.

即（3k-1）2-4×2（k2-1）=0，且k2-1≠0，

∴k=3.

（2）∵二次函數與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞0，且a≠0.

即（k-3）2＞0，且k≠±1.

當k≠3且k≠±1時，即可.

∵A、B兩點均為整數點，且k為整數，

當k=0時，可使x1，x2均為整數，

∴當k=0時，A、B兩點坐標為（-1，0）和（2，0）.

【點撥】本題著重考查一元二次方程和二次函數之間的聯系，同學們要學會運用函數和方程之間的聯系來解決問題.

當然二次函數的典型問題很多，在這里介紹了幾種典型問題的解題策略，供同學們參考.如果我們能掌握一定的方法，做到舉一反三，那就可以得到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）