●陳 彬

(諸暨中學(xué) 浙江諸暨 311800)

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一題一課 舉一反三*
——關(guān)注“核心素養(yǎng)”的高考專題復(fù)習(xí)課

●陳 彬

(諸暨中學(xué) 浙江諸暨 311800)

文章以二面角的專題復(fù)習(xí)為例，通過一個(gè)幾何模型，經(jīng)過大量變式不斷變換問題情景，以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)，在問題探究的過程中完成知識(shí)和方法的整合以及基礎(chǔ)與能力的深化.

核心素養(yǎng)；能力提升；數(shù)學(xué)教育；復(fù)習(xí)課

高考復(fù)習(xí)課的基本任務(wù)是幫助學(xué)生整合已有的知識(shí)和方法，形成知識(shí)和方法系統(tǒng)，領(lǐng)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想.據(jù)筆者了解，“大題量、高密度、快節(jié)奏”已經(jīng)成為高考復(fù)習(xí)課的基本特點(diǎn)，題型總結(jié)也被異化為高考復(fù)習(xí)課的基本任務(wù).可喜的是，這種現(xiàn)象已經(jīng)引起了廣大教師的反思并在教學(xué)中加以改進(jìn).筆者認(rèn)為，以“精選例題，注重變式，合理設(shè)問”為基本特點(diǎn)的一題一課式的復(fù)習(xí)課，對于知識(shí)和方法的整合非常有效，該做法以學(xué)生能力的提升為目標(biāo)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的有效手段.筆者以二面角專題復(fù)習(xí)課為例，展示筆者在這方面所做的一些嘗試.

1 高考復(fù)習(xí)課的新范式——一題一課

筆者之所以尋求改變，源于對傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課的體會(huì)和思考.經(jīng)過長期實(shí)踐檢驗(yàn)的傳統(tǒng)教學(xué)模式有其合理性，在一定程度上能夠使學(xué)生快速提高成績，有實(shí)戰(zhàn)意義，但不可否認(rèn)的是，這種模式也存在著很多缺點(diǎn).

1.1 傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課的模式與缺點(diǎn)

長期以來，高考復(fù)習(xí)課的基本模式是：復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)→講解基本題型和例題→練習(xí)與總結(jié)→習(xí)題操練.這種模式存在的主要問題有：

1)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)階段以重復(fù)講解知識(shí)點(diǎn)和強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)為主，總是在“重復(fù)昨天的故事”，學(xué)生的興趣不大，授課效果事倍功半.

2)例題講解階段以題型歸類為主，按照基本題型組織課堂，這樣做有其合理性，具備一定的實(shí)效，但缺點(diǎn)也是非常明顯的，首先是大量的例題割裂了方法系統(tǒng)的整體性，不利于學(xué)生形成知識(shí)和方法系統(tǒng).

3)整個(gè)課堂容易陷入灌輸式的泥潭，教師教得苦，學(xué)生學(xué)得累，經(jīng)常是“講臺(tái)上老師眉飛色舞，課桌前學(xué)生昏昏欲睡”，教學(xué)效率極為低下.

1.2 “一題一課”模式的基本認(rèn)識(shí)

為了克服上述缺點(diǎn)，筆者解決問題的基本策略是：

1)精簡例題，爭取做到“一課一題”，通過巧妙的變式練習(xí)，讓學(xué)生在變式教學(xué)的過程中體會(huì)各種方法，明辨各類方式方法的思想實(shí)質(zhì)及知識(shí)間的聯(lián)系，從而形成知識(shí)系統(tǒng)；

2)打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，將知識(shí)復(fù)習(xí)貫穿于例題教學(xué)中，通過解決問題達(dá)到回顧知識(shí)的目的；

3)以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，增強(qiáng)學(xué)生的參與度，提高教學(xué)的效率.

2 “一題一課”之例——二面角復(fù)習(xí)課

二面角是立體幾何的重要知識(shí)和重要考點(diǎn).筆者以正方體為基礎(chǔ)模型和題根，通過變式設(shè)問，形成問題串，通過對問題串的探究和解答，回顧了二面角的平面角、二面角的平面角的常見作法、求二面角的基本方法等知識(shí)點(diǎn)，通過一個(gè)數(shù)學(xué)模型的不斷變化，梳理了知識(shí)之間的聯(lián)系，形成了知識(shí)系統(tǒng).

2.1 二面角的平面角的概念復(fù)習(xí)

設(shè)問1 二面角的大小通過二面角的平面角來刻畫，這是立體幾何問題平面化的策略，那么，什么是二面角的平面角呢？通過如下的問題來回答：

1)請?jiān)谌鐖D1所示的正方體中，找出二面角A1-AB-D的平面角.

圖1 圖2

2)如圖2，換成求二面角D1-AB-D的平面角呢？

3)如圖3，再換成二面角D1-AC-D呢？根據(jù)前2個(gè)小題，該平面角是否就是現(xiàn)成的∠D1AD或∠D1CD呢？

圖3 圖4

2.2 二面角的平面角的作法

設(shè)問2 在沒有現(xiàn)成平面角的情況下，如何作出二面角的平面角？

1)如何作二面角D1-AC-D的平面角？

2)如圖4，若F是棱CD的中點(diǎn)，請作出二面角D1-AF-D的平面角.是否依舊只要取棱AF的中點(diǎn)再聯(lián)結(jié)呢？

3)共棱AF的△DAF與△D1AF并非特殊的等腰三角形，那該怎么辦呢？

設(shè)計(jì)意圖 問題1)～3)的連續(xù)設(shè)置，通過轉(zhuǎn)換問題情景，引導(dǎo)學(xué)生明確作二面角平面角的一般思路：尋找“現(xiàn)成的二面角”→通過“巧合點(diǎn)”(如同底的等腰三角形底邊的中點(diǎn))利用定義作出平面角→利用三垂線定理通過作“三垂線”作出二面角的平面角.通過設(shè)問鞏固了求二面角的常用方法：定義法和三垂線法.以問題2)為例，該設(shè)問使學(xué)生意識(shí)到三垂線法作二面角的平面角的關(guān)鍵是找出或作出半平面的垂線.

4)如圖5，若F是棱BB1的中點(diǎn)，請作出二面角C1-AF-B的平面角.

圖5 圖6

5)在如圖6所示的正方體中，若F是棱BB1的中點(diǎn),請作出二面角C1-AF-B的平面角.

通過師生、生生的互動(dòng)交流，問題得以解決.

師：這就表明適時(shí)調(diào)整幾何體的位置可簡化問題.那么按照剛才的操作(如圖7)，是否可以確定∠C1GB1就是所求的角呢？

圖7 圖8

生：不是，應(yīng)該是它的補(bǔ)角.

師：由此發(fā)現(xiàn)用三垂線法解決問題時(shí)只能求銳二面角，若要求鈍二面角，就先求它的補(bǔ)角.

6)若更換4個(gè)頂點(diǎn)的順序，則二面角就發(fā)生了相應(yīng)的變化，當(dāng)把“二面角C1-AF-B”改為“二面角F-AC1-B”時(shí)(如圖8)，請作出對應(yīng)的平面角.

師：能否嘗試過點(diǎn)B作公共棱的垂線呢?

生：過點(diǎn)B作BK⊥AC1于點(diǎn)K,再作KL⊥AC1交AF于點(diǎn)L，聯(lián)結(jié)BL(如圖9)，則∠BKL即為所求角.

圖9 圖10

師：以上都是結(jié)合定義直接作出二面角，再構(gòu)造三角形，利用余弦定理求解.同學(xué)們能否嘗試找找面的垂線呢？

生：取BC中點(diǎn)G(如圖10)，聯(lián)結(jié)FG,可證得FG⊥BC1，因?yàn)锳B⊥面BC1，所以AB⊥FG，則FG⊥面ABC1，即FG為面ABC1的垂線.

師：怎么證明FG⊥BC1呢？

生：可通過△FBG∽△BB1C1來證明.

生：也可聯(lián)結(jié)B1C.因?yàn)镕G是△BCB1的中位線，所以FG∥B1C.又因?yàn)樵谡叫蜝CC1B1中，B1C⊥BC1，所以FG⊥BC1.

師：請作出該平面角.

生：記FG與BC1的交點(diǎn)為I，過點(diǎn)I作IT⊥AC1于點(diǎn)T，再聯(lián)結(jié)FT(如圖10)，則∠FTI即為所求角.

7)若直接過點(diǎn)F作面ABC1的垂線有困難，則該怎么辦？

通過師生、生生的對話，問題再次得以解決.

師：由此發(fā)現(xiàn)，若現(xiàn)成的線面垂直不好找，也可利用圖形特征轉(zhuǎn)化為找其他相關(guān)的線面垂直，或找面面垂直，再利用其性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線面垂直.

圖11

8)如圖11，結(jié)合二面角平面角的定義，在棱l上找一點(diǎn)O引2條射線OA,OB與棱l垂直(相當(dāng)于棱垂直于2條射線確定的平面).換句話說，要找平面角也可以找棱的一個(gè)垂面與2個(gè)半平面的交線(2條射線)所成的角.能否試著去找棱AC1的垂面呢？

設(shè)計(jì)意圖 問題4)和問題5)的設(shè)計(jì)目的是當(dāng)“面的垂線”不容易作出時(shí)，可適時(shí)調(diào)整幾何體的位置從而使問題轉(zhuǎn)化為“熟悉的模型”.而問題6)和問題7)的設(shè)計(jì)目的是增強(qiáng)學(xué)生在作面的垂線時(shí)的靈活性.問題8)的設(shè)計(jì)意在使學(xué)生意識(shí)到作二面角的平面角，實(shí)際上是構(gòu)造了一個(gè)棱的“垂面”，從而引出垂面法.

通過以上變式的探討，逐一復(fù)習(xí)了二面角平面角的幾種常見的作法：定義法、三垂線法、垂面法等.接下來，筆者繼續(xù)進(jìn)行變式，將求二面角的一些特殊情況加以展現(xiàn)：

設(shè)問3 如圖12，若F是棱CC1的中點(diǎn),請作出平面D1AF與平面ABCD所成的銳二面角的平面角.請觀察該題與前面的設(shè)問1、設(shè)問2有什么區(qū)別？

圖12 圖13

生：沒有現(xiàn)成的交線.

師：如何找到2個(gè)面的交線呢？

生：延長D1F,DC交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE即為交線.過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)D1G，則∠D1GD即為所求角.

師：面對無棱二面角，盡可能去作出棱，若作不出呢？譬如說如何求銳二面角的平面角的余弦值？

生：用射影法.因?yàn)辄c(diǎn)D1,F在面ABCD內(nèi)的投影點(diǎn)分別為點(diǎn)D,C,則△DAC是△D1AF在面ABCD內(nèi)的射影三角形.

生：向量法.

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)問3給學(xué)生展現(xiàn)了求二面角的一些特殊情況，當(dāng)二面角的棱沒有作出時(shí)，應(yīng)當(dāng)先作出棱再求解，若作棱有困難，則可直接用射影法和向量法.這樣不僅使學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固了求二面角的基本方法，而且將各種方法靈活應(yīng)用.

2.3 課堂小結(jié)

課堂小結(jié)部分，筆者也采用問題的形式進(jìn)行：

設(shè)問4 通過本堂課的學(xué)習(xí)，你有怎樣的收獲呢？

通過師生的互動(dòng)交流，本節(jié)課的收獲如下：

首先，師生一起鞏固了求二面角的常用方法有：定義法、垂面法、三垂線法.若作角有困難，也可嘗試用射影法或向量法.其次，明確了求二面角的一般思路：

1)應(yīng)當(dāng)先找平面角，若找不到，就作平面角.通過例題我們體會(huì)到找平面角實(shí)際就是作棱的垂面，最有利的情形是找棱的垂面或面的垂線，若沒有，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，在一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線跟另一平面垂直.

2)若所求二面角沒有畫出棱，則可先作出棱再求解，若作棱有困難，則可直接用射影法和向量法.

3 幾點(diǎn)反思

上述教學(xué)過程的成功促使筆者展開了思索：是什么原因使得我們獲得更好的效果呢？

3.1 “一題一課”式復(fù)習(xí)課教學(xué)模式有利于學(xué)生形成知識(shí)與方法系統(tǒng)

以“精選例題，注重變式，合理設(shè)問”為基本特點(diǎn)的一題一課式的復(fù)習(xí)課教學(xué)，打破了碎片化知識(shí)點(diǎn)為中心的灌輸式教學(xué)，整個(gè)探究過程對知識(shí)和方法的整合非常有效.本課例從最初的引導(dǎo)學(xué)生“尋找現(xiàn)成的二面角”本身，過渡到“找不到現(xiàn)成的二面角”就轉(zhuǎn)移到“作二面角”，再親身經(jīng)歷“作二面角”的種種難處，直到抓住構(gòu)造二面角的本質(zhì)——找棱的垂面或面的垂線.通過一系列問題串的設(shè)計(jì)，不斷激起學(xué)生思維的沖突，讓學(xué)生在變式過程中學(xué)會(huì)基本方法，體會(huì)方法間的聯(lián)系，這為發(fā)揮學(xué)生的主體能動(dòng)性創(chuàng)造了良好的條件.

3.2 “一題一課”式復(fù)習(xí)課成功的關(guān)鍵是母題的選擇以及問題情景的轉(zhuǎn)換

本課例以正方體為基礎(chǔ)模型和題根，著眼于在學(xué)生認(rèn)知水平的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置母題，這為發(fā)揮學(xué)生的主體能動(dòng)性創(chuàng)造了良好的條件.隨著對母題的深入研究，產(chǎn)生了鮮活的新問題，并始終依托正方體這個(gè)模型，通過不斷更換中點(diǎn)的位置，為學(xué)生呈現(xiàn)了求二面角的各種情形，通過問題串架構(gòu)起知識(shí)的脈絡(luò)，使得復(fù)習(xí)課不再拘泥于就題論題，而是就題及類，連題成面，逐步實(shí)現(xiàn)“一題多變，一題多解，一法多用”的變化模式，從真正意義上既復(fù)習(xí)知識(shí)，學(xué)會(huì)方法，領(lǐng)會(huì)思想，又“活躍”課堂.

3.3 問題情景的轉(zhuǎn)換過程中應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生參與“變式活動(dòng)”

在本課例中，教師不斷轉(zhuǎn)換問題的情景，使得學(xué)生靈活掌握求二面角的各種方法，并了解各種方法適用的情形.但是，通過反思，筆者認(rèn)為在本節(jié)課的教學(xué)過程中還需要改進(jìn)以下3個(gè)方面：

1)最突出的是問題情景的轉(zhuǎn)換均在教師的掌控之下，使得教學(xué)活動(dòng)完全按照教師的“預(yù)設(shè)”進(jìn)行，缺少精彩的生成.如果在變式的過程中，能夠引導(dǎo)學(xué)生參與變式、擬題活動(dòng)，提出一些有探究價(jià)值的問題，一定會(huì)使本節(jié)課添彩不少.

2)本節(jié)課在注重思想與方法引導(dǎo)的同時(shí)，對計(jì)算能力的考查未能深入涉及.從課后的作業(yè)完成情況來看，思路準(zhǔn)確性極高，但計(jì)算能力有待提高.

3)在教學(xué)過程中，學(xué)生的極高參與度造就了課堂的高密度，但有個(gè)別學(xué)生未能適應(yīng)這種高容量課堂，課堂上偶有困惑神情，教學(xué)過程中期待適時(shí)“慢”節(jié)奏，有助于加深學(xué)生對知識(shí)的理解和掌握.

?2016-05-31；

2016-09-10

陳 彬(1983-),女,浙江諸暨人,中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.2

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1003-6407(2016)12-07-04