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      含無理式最值問題的解法梳理

      2016-12-12 09:18:34李保勤
      新課程(下) 2016年10期
      關(guān)鍵詞:雙根原函數(shù)呂梁市

      李保勤

      (山西省呂梁市高級實驗中學(xué))

      含無理式最值問題的解法梳理

      李保勤

      (山西省呂梁市高級實驗中學(xué))

      函數(shù)的最值問題是高中數(shù)學(xué)的重點和難點,也是高考的熱點,而含無理式的函數(shù)最值問題往往是學(xué)生在這方面的弱點,總結(jié)該類型的常用解法很有必要。

      無理函數(shù);單根號;雙根號;最值

      一、單根號無理函數(shù)最值問題的求法

      (一)判別式法:此法要由Δ≥0計算出y的范圍后,還要注意求原函數(shù)定義域限制下y的范圍,最后通過二者結(jié)合,求出原函數(shù)的最值,以免產(chǎn)生“增值”“誤判”等情況.

      兩邊平方整理,得2x2-(2y+1)x+y2=0.

      ∵x∈R,∴Δ=(2y+1)2-8y2≥0,解得.

      (二)換元法:通過巧妙地對函數(shù)自變量換元,轉(zhuǎn)換為我們比較熟悉的函數(shù),化繁為簡,化難為易,進(jìn)而求函數(shù)最值.

      ∴y=2(1-t2)+4t=-2(t-1)2+4(t≥0).

      故ymax=4.

      二、雙根號無理函數(shù)最值問題的求法

      (一)配方法:通過恰當(dāng)配方,可以去根號,轉(zhuǎn)化為有理式

      故ymin=2

      例5.求函數(shù)的最小值.

      由于y2最小值為4,故ymin=2

      (三)單調(diào)性法:把原函數(shù)分解為兩個(或多個)新函數(shù),根據(jù)兩個(或多個)新函數(shù)在公共定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,求原函數(shù)在每一區(qū)間上的最值,最后總結(jié)原函數(shù)在整個定義域上的最值.

      綜上可得,f(x)min=f(2)=

      (四)幾何法:利用兩點距離公式,將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求一動點到兩定點距離和(差)的最值問題.

      解:原函數(shù)轉(zhuǎn)化為

      (五)構(gòu)造法:通過構(gòu)造向量數(shù)量積等將函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值,這要用到向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示相關(guān)知識.

      故yman=,ymin=2

      ·編輯王亞青

      李保勤,男,碩士研究生,山西省呂梁市高級實驗中學(xué)年級主任。

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