圖形相似中的數(shù)學(xué)思想

文/朱廣科

圖形相似中的數(shù)學(xué)思想

圖形相似是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.它包含著幾種數(shù)學(xué)思想.現(xiàn)以2016年中考題為例,把圖形相似的常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想歸納如下,供你學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、方程思想

例1（2016年安順卷）如圖1，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG在BC上，若AD⊥BC，BC=3，那么EH的長(zhǎng)為．

解：疫四邊形EFGH是矩形，亦EH∥BC，亦△AEH∽△ABC，

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)未知數(shù)，利用比例式作為相等關(guān)系建立方程.

圖1

圖2

二、函數(shù)思想

例2（2016年泰安卷）如圖2，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為BC邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于點(diǎn)D援設(shè)BP=x，BD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=60°，

∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，∴∠BPD=∠CAP，

∴△BPD∽△CAP，亦BP∶AC=BD∶PC，

∵正△ABC的邊長(zhǎng)為4，BP=x，BD=y，

點(diǎn)評(píng)：利用相似三角形的性質(zhì)建立了y與x的二次函數(shù)關(guān)系式，問(wèn)題化難為易，要注意自變量的取值范圍.

圖3

三、轉(zhuǎn)化思想

例3（2016年齊齊哈爾卷）如圖3，在△ABC中，AD⊥BC，

BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F援

（1）求證：△ACD∽△BFD；

（2）當(dāng)tan∠ABD=1，AC=3時(shí)，求BF的長(zhǎng)．

解：（1）證明：疫AD⊥BC，BE⊥AC，

亦∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，

亦△ACD∽△BFD．

（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°，∴AD=BD，

又∵△ACD∽△BFD，亦△ACD≌△BFD，亦BF=AC=3．

點(diǎn)評(píng)：全等是特殊的相似，它的相似比是1，在相似問(wèn)題中添加條件，可轉(zhuǎn)化為全等問(wèn)題求解.

四、分類(lèi)討論思想

例4（2016年河南卷）如圖4，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，點(diǎn)E為射線(xiàn)BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B憶處，過(guò)點(diǎn)B憶作AD的垂線(xiàn)，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N援當(dāng)點(diǎn)B憶為線(xiàn)段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長(zhǎng)為．

解：由翻折的性質(zhì)，得AB=AB憶，BE=B憶E．

圖4

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)圖形的形狀或圖形的位置不確定時(shí)，需分類(lèi)討論.本題由于三等分點(diǎn)的位置關(guān)系不確定，需要討論，謹(jǐn)防漏解.

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