幾何圖形中常見最值問題的解法

江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué)(226006)

吳玉紅●

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幾何圖形中常見最值問題的解法

江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué)(226006)

吳玉紅●

本文從軸對(duì)稱變換——最短路徑問題；垂線段最短——最短路徑問題；三角形三邊關(guān)系——最短路徑問題；平面展開圖——最短路徑問題闡述了平面幾何圖形的最短路徑問題的解法．

平面幾何圖形；最短路徑問題

平面幾何圖形中的最值問題是近幾年中考常見的題型，此類問題常讓學(xué)生無(wú)從下手，特別是新市民子女，由于他們數(shù)學(xué)知識(shí)的短缺、題目信息采集不夠、綜合應(yīng)用能力弱、數(shù)學(xué)思維紊亂，課本知識(shí)理解不到位等原因造成錯(cuò)誤．為此我在平時(shí)教學(xué)中注重對(duì)這類問題的歸類整理，在教學(xué)中對(duì)他們進(jìn)行必要的專題拓展訓(xùn)練，引導(dǎo)他們歸納、總結(jié)、獲得解決這類問題的基本技能，培養(yǎng)他們的思維習(xí)慣．

一、軸對(duì)稱變換——最短路徑問題

1．書本原型：

(1)點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l兩側(cè)，在直線l找一點(diǎn)P，使PA+PB值最小．

分析 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短．點(diǎn)P既在直線l上，又在線段AB上，PA+PB值最?。?/p>

解 連接AB，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)．

(2)點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l同側(cè)，在直線l找一點(diǎn)P，使PA+PB最小

分析 利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找一個(gè)點(diǎn)B1，使得PB1=PB，因而 PA+PB=PA+PB1，要使PA+PB最小，只要PA+PB1最小，只要，A、P、B1三點(diǎn)共線．

解 作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接AB1交l于點(diǎn)，點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)．(也可以作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接A1B交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)).

2．應(yīng)用

例1 在右圖中，以直線l為x軸，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A(1,2)、B(4,1)．

(1)在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P，并求出點(diǎn)PA+PB的最小值．

分析 作A、B 兩點(diǎn)中的一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的線段交x軸于點(diǎn)P. PA+PB的最小值實(shí)際上就是線段AB1的長(zhǎng)3 . ∴PA+PB的最小值是3.

(2)在y軸上找一點(diǎn)C，在x軸上找一點(diǎn)D，使四邊形ACDB的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為____,點(diǎn)D的坐標(biāo)為____.

分析 本題兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D，要使四邊形ACDB的周長(zhǎng)最小，只要AC+CD+BD+AB的值最小,而AB是一個(gè)定值，只要AC+CD+BD最?。鼽c(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B1，則AC=A1C，BD=B1D，AC+CD+BD=A1C+B1D+CD，只要A1、C、D、B1共線，則A1C+B1D+CD最小，從而AC+CD+BD最?。?/p>

二、垂線段最短——最短路徑問題

1．書本原型

在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠使渠道最短．

分析 根據(jù)垂線段最短， P到直線l最短的距離是點(diǎn)P到直線l的垂線段的長(zhǎng)．

解 過點(diǎn)P作直線河岸l的垂線段，垂足為點(diǎn)A，線段PA就是最短的渠道．

2．應(yīng)用

例3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A(-4，0)、B(0，4)，⊙O的半徑為1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為____．

四、平面展開圖——最短路徑問題

我們常常遇到螞蟻從一個(gè)幾何體的一個(gè)側(cè)面上一個(gè)點(diǎn)，繞過側(cè)面走到另一個(gè)點(diǎn)，怎樣走最近的問題．通常將曲面展平，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短問題，從而將曲面的最短路徑問題轉(zhuǎn)化為平面最短路徑問題．

例5 如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是____.

分析 這是一個(gè)螞蟻爬行的最短路徑問題，將圓柱的側(cè)面展平，得到一個(gè)矩形．螞蟻從容器外壁爬到容器內(nèi)壁最短，就是螞蟻沿圓柱側(cè)面爬到容器頂經(jīng)過某一點(diǎn)P，再爬到點(diǎn)A的最短路徑，實(shí)際上就是在一邊DE上找一點(diǎn)P，使PA1+PB最小.根據(jù)軸對(duì)稱——最短路徑問題的作圖步驟得螞蟻沿線段BA2最短，根據(jù)勾股定理可得BA2的長(zhǎng)．

解 在Rt△A2B1B中,

∵A2B1=12cm，BB1=5cm

由勾股定理得,

∴A2B=13cm.

所以螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是13cm.

學(xué)生覺得難以解決的幾何最值問題，我在平時(shí)的教學(xué)中注重把書本原型跟學(xué)生講透；讓學(xué)生理解書本上的原理：兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)中的化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生有章可循，有法可用.授人以魚不如授人以漁，對(duì)于新市民子女的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主要是提高他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，學(xué)會(huì)解題技能，讓他們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)樂趣，讓他們想學(xué)數(shù)學(xué)、能學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，從而愛上數(shù)學(xué)，真正實(shí)現(xiàn)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的理念：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．”

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