去偽存真，探求問題本質(zhì)

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)校(2151021)

張 超●

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去偽存真，探求問題本質(zhì)

——三角形中線等分面積問題的教學(xué)思考

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)校(2151021)

張 超●

三角形中線等分面積是義務(wù)教育教科書(蘇科版)七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)-認(rèn)識(shí)三角形專題中重要問題，它既是對(duì)三角形三邊，三線(中線，角平分線，高線)關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)也為后續(xù)三角形全等，相似等知識(shí)作鋪墊.筆者在此以練習(xí)課的一道習(xí)題為例，通過兩次解題教學(xué)的研究，談?wù)勛约涸趯?shí)踐中一些體會(huì)與思考.

一、習(xí)題呈現(xiàn)

如圖1，已知△ABC，D,E,F分別是BC,AD和EC的中點(diǎn)，△ABC的面積為16，求△BEF的面積.

二、第一次教學(xué)

1.看似很簡(jiǎn)單，學(xué)生為什么不會(huì)做

2.反思失敗之因

問題根源:學(xué)生沒有領(lǐng)悟中線等分面積問題的實(shí)質(zhì)，三角形的中線為何能等分面積？多數(shù)同學(xué)無法從復(fù)雜的圖形中分離出簡(jiǎn)單圖形的模型.七年級(jí)下學(xué)期，剛剛涉及到幾何，大多數(shù)學(xué)生對(duì)于幾何圖形的辨析能力比較薄弱.在第一次教學(xué)中，學(xué)生缺乏理解與參與思考的立足點(diǎn)，整個(gè)教學(xué)過程是老師領(lǐng)著學(xué)生的思維在走，學(xué)生并沒能形成有效的啟發(fā)與思考，因而不能形成有效的教學(xué).

三、第二次教學(xué)

3.1 教學(xué)更注重從形式到思想的點(diǎn)撥

提問1 從三角形的面積公式入手(學(xué)生容易得出三角形的面積大小是通過底和高這兩個(gè)量決定的，為下面研究中線等分面積作鋪墊)

提問2 如圖3，△ABD與△ABC面積有怎樣的聯(lián)系？取AD中點(diǎn)E，如何比較S△BED與S△CED的大小，并說明它們與S△ABC有怎樣的關(guān)系？(說明中線等分面積的實(shí)質(zhì))

提問3 在圖4中，進(jìn)一步，取EC中點(diǎn)F，連接BF探求S△EBD與S△ABC的關(guān)系(通過圖形分離，層層推進(jìn)，訓(xùn)練他們幾何的邏輯思維)

3.2 進(jìn)一步探究

如圖5,△ABC的面積為S, D,E分別是BC,AC中點(diǎn)，連接AD,BE相交于點(diǎn)O,試比較的S△ABO與S四邊形ODEC的大小.

解法點(diǎn)撥 仍從兩條中線AD,BE入手，由這兩條中線可以得到哪些三角形的面積？學(xué)生經(jīng)過思考后得知, S△ABOS四邊形ODEC與S△ABC并無明顯數(shù)量關(guān)系，無法直接求解.但它們都可作為是△ABD與△BEC的一部分，引導(dǎo)學(xué)生從“整體”中分離出“部分”，進(jìn)而求解.

3.3題型拓展

在上題的基礎(chǔ)上，再取AB的中點(diǎn)F,連接FC如圖6所示.(1)比較S△OFB與S△OEC的大小.(2)你還能在圖中找出哪些三角形面積相等.

解析點(diǎn)撥 (1)有了上題從“整體”到部分的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快得出S△OFB=S△OEC.對(duì)于問題(2)，學(xué)生們能列舉出S△OFA=S△OFB,S△OAE=S△OBC，S△OBD=S△ODC，進(jìn)一步得出S△OFA=S△ODC,S△OEA=S△OBD……細(xì)心觀察的同學(xué)不難發(fā)現(xiàn)，△ABC三條中線把三角形分成的六個(gè)小部分的面積都相等.

3.4模型應(yīng)用

如圖7，△ABC中，D,E,F分別是CE，AF與BD的中點(diǎn)，已知△DEF的面積為1，求△ABC的面積.

解法分析 此題難點(diǎn)在于由題中三個(gè)中點(diǎn)，在△ABC中無法找到相應(yīng)的中線，無從尋求△DEF與△ABC的面積關(guān)系.如何讓D,E,F轉(zhuǎn)化為相對(duì)應(yīng)的中線是關(guān)鍵，連接AD,BE,CF使其轉(zhuǎn)化成三角形的中線，添加輔助線構(gòu)造三個(gè)三角形.

由圖8所示，學(xué)生們很快能夠表示出S△ABF,S△DBC,S△AEC,從而求出S△ABC.

從復(fù)雜圖形中分離出簡(jiǎn)單模型，從“整體”到“部分”對(duì)研究對(duì)象求解，學(xué)生理解更為流暢自然.此時(shí)，他們不僅收獲了這一類題的通法內(nèi)涵，更為重要的是他們?cè)谒枷雽用嫔系念I(lǐng)悟以及帶來的自信與快樂，這是彌足珍貴的.從師生再到生生之間的交流，課堂中的靈動(dòng)表現(xiàn)產(chǎn)生彼此信任不正是為師者不懈追求嗎？

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