伏開放, 陳志祥

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產出和質檢具有學習效應的EPQ決策

伏開放, 陳志祥

(中山大學 管理學院，廣東 廣州 510275)

研究產出和質檢過程同時具有學習效應的EPQ決策問題。由于生產過程的不完備，在生產過程中會生產質量缺陷的產品。在面臨常數(shù)需求的基礎上，建立了產出與質檢過程均具有學習效應的成本函數(shù)模型，并采用牛頓法進行了求解。數(shù)值與敏感性分析表明，隨著生產的推進，在早期的生產階段，單位產品的平均生產時間快速減少，在后期趨于穩(wěn)定；隨著產出率學習系數(shù)的增大，最優(yōu)生產時間緩慢遞減；隨著質檢學習系數(shù)的增大，最優(yōu)生產時間緩慢遞增；隨著缺陷率的增大，最優(yōu)成本快速增加。所得結論為決策最優(yōu)的生產量提供了依據(jù)。

產出；質檢；學習效應；生產批量；質量缺陷

FU Kaifang， CHEN Zhixiang

(School of Business, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

學習效應是生產過程由于人的經驗積累，生產率提高與成本隨產量增加而遞減的過程，并且這種遞減呈現(xiàn)出規(guī)律性。學習效應不僅在生產過程中存在，而且在質檢過程中也存在。產出率具有學習效應，則生產單位產品的成本越來越低；質檢過程具有學習效應，則質檢成本越來越低。學習效應對最優(yōu)生產策略有著重要的影響，因而探討生產過程與質檢過程具有學習效應的經濟生產批量模型具有重要的現(xiàn)實意義。

Wright[1]在1936年提出了學習曲線理論，之后諸多學者對學習曲線進行廣泛的拓展與應用。Salameh等[2]在假設需求為常數(shù)的條件下，將學習效應引入到EPQ模型中，但沒有考慮缺陷品對最優(yōu)生產策略的影響。Chen等[3]采用平均生產率的方法建立了允許缺貨的產出率具有學習效應的EPQ模型。Mahata[4]在文獻[3]的 基礎上，采用平均產出率的方法，建立了產出率具有學習效應和缺陷品數(shù)量具有模糊數(shù)屬性的EPQ模型。Teng等[5]分析了產出率具有學習效應對EPQ模型中的最優(yōu)信用支付期及最優(yōu)生產批量的影響。Khan等[6]建立了質檢過程具有學習效應的EOQ模型。Balkhi[7]采用Wright學習曲線形式，探討了生產率具有學習效應及時變需求與缺貨部分延期供給的易逝產品的EPQ模型。Kumar等[8]在模糊隨機環(huán)境下，探討了生產率具有學習效應的缺陷品可以返工處理的的EOQ模型。Dar-El等[9]認為雖然Wright學習曲線整合了學習過程中的認知因素和技能因素，但是Wright學習曲線模型沒有區(qū)分認知和技能學習，Dar-El等提出了雙重學習曲線模型。Jaber等[10]通過對初始生產時間的劃分，改進了Dar-El等人的模型，并運用到了經典的EPQ模型中。Jaber等[11]在假設學習效應存在投資成本的情形下，建立了生產率具有學習效應的制造與再制造混合生產批量模型。

由于生產過程中的設備老化、工人技術水平的參差不齊和其他不確定性因素，生產中的缺陷品廣泛存在，缺陷品的存在使得最優(yōu)生產策略發(fā)生改變。關于缺陷品的EPQ模型，Salameh等[12]建立了具有缺陷品的EPQ模型，并與經典的EPQ/EOQ模型進行了對比。Jaber等[13]建立了質量改善具有學習效應的EPQ模型，由于質量改善學習效應的存在，產品的缺陷率越來越低。Wahab等[14]考慮合格品與缺陷品不同單位存儲成本對文獻[12]與[13]進行了拓展。Mukhopadhyay等[15]在存在排污成本前提下，擴展了缺陷品可以返工處理的EPQ模型。國內學者柏慶國等[16]針對非變質產品的生產存貯問題和易變質產品的存貯問題，考慮訂購過程具有學習效應，分別建立了混合整數(shù)約束優(yōu)化模型以及無約束優(yōu)化模型。徐健騰等[17]不僅考慮生產過程中具有學習效應，而且考慮零售商分銷過程中具有學習效應，得出了系統(tǒng)的最優(yōu)策略。于秀麗等[18]考慮員工學習效應，分析了生產進度受員工技能差異和變化的影響。鮮見學者研究考慮質檢過程中的學習效應。

本文與現(xiàn)有文獻的不同在于，本文在經濟生產批量模型中同時考慮產出和質檢具有學習效應。以往對經典EPQ進行拓展時，忽略了原材料的存儲成本，本文在建模過程中考慮原材料的成本，并且由于產出學習效應的存在，原材料呈現(xiàn)加速消耗趨勢。由于生產過程的不完備，在生產過程中存在缺陷品，本文在建模過程中考慮缺陷品的存在。本文的研究擴展了經典經濟生產批量模型，為生產管理者提供了決策依據(jù)。

1 模型描述、假設與變量說明

制造商的產成品由3類原料按1∶1∶1的比例加工而成。制造商對生產完的產成品進行質量檢驗。質檢過程滯后于生產過程，且質檢速率小于產出率。制造商在生產與質檢過程中存在學習效應，生產和質檢單位產品的時間越來越短。由于生產過程的不完備，在生產過程中存在缺陷品。產出率學習效應的存在使得原材料的消耗呈現(xiàn)加速消耗趨勢。

本文模型的建立基于如下假設。

1)生產過程中產出率存在學習效應，學習系數(shù)為常數(shù)δ。質檢過程中存在學習效應，學習系數(shù)為ε。

2)制造商邊生產邊銷售產品，面臨的需求為D。

3)由于生產過程的不完備，在生產過程中存在缺陷品，缺陷率為γ。制造商在對所有產品質檢完成后，將缺陷品集中處理掉。

4)生產庫存模型運行在無限計劃期內。

5)在初始質檢過程中，缺陷品均可檢出，不考慮質檢過程中存在的質檢錯誤。

本文模型中用到的參數(shù)和變量定義如下。

K為生產第1個產品的時間(d)；

A為生產準備費用(元/周期)；

L為單位時間的勞動費用(元/d)；

Cm為單位產成品的原料采購成本(元)；

Ch0為單位時間單位產成品的存儲費(元/d)；

Ch1、Ch2、Ch3分別為原料1、原料2、原料3的單位時間單位存儲成本(元/d)；

Cs為單位產品的質檢費用(元/單位)；

t*為最優(yōu)時間(d)；

Tpi為第i個周期制造商的生產時間(d)；

Tsi為第i個周期制造商的質檢時間(d)；

Ti為第i個周期的時間長度(d)；

Xi為第i個周期的生產數(shù)量；

I(t)為t時刻的庫存水平；

Ip(t)為在[0,tpi]時間段內產成品庫存水平；

Id 1(t)為在[tpi,tsi]時間段內的產成品庫存水平；

Id2(t)為在(tsi,T)時間段內的產成品庫存水平。

2 學習效應下的生產庫存模型

2.1 生產庫存成本模型

圖1反映了原料與成品庫存水平隨時間變化情況。根據(jù)Wright學習曲線理論，生產第X件產品的工時為tX=KX-δ。生產一批X件產品的生產總工時為

。

(1)

圖1 原料與成品庫存水平隨時間變化趨勢圖

。

(2)

在[0,tpi]時間段內，庫存水平變化的狀態(tài)方程為

。

(3)

根據(jù)初始條件Ip(0)=0，可得

。

(4)

在[tpi,tsi]時間段內，庫存水平變化的狀態(tài)方程為

。

(5)

根據(jù)Ip(Tpi)=Id1(Tpi)，有

。

(6)

進一步可得

。

(7)

在(tsi,T)時間段內，庫存水平變化的狀態(tài)方程為

。

(8)

根據(jù)初始條件

,

進一步可得

tpi≤t≤tpi+tdi。

(9)

根據(jù)式(6)，可得第i個周期的時間長度為

。

(10)

在[0,tpi]時間段內產成品庫存成本

。

(11)

在[tpi,tsi]時間段內產成品庫存成本

(12)

在[tsi,Ti]時間段內產成品庫存成本：

(13)

原料1的存儲成本為：

(14)

所有原料的存儲總成本為

(15)

第i個周期的總成本為

(16)

第i個周期的日平均成本為

。

(17)

(18)

2.2 生產庫存成本模型求解步驟

對ATC(Xi)求極小值，也即求無約束的非線性規(guī)劃問題。由于式(18)的高度非線性，難以求出最優(yōu)解的解析表達式，因此采用數(shù)值方法求解。這里采用牛頓迭代法進行求解。牛頓法的最大優(yōu)點是在方程的單根附近具有平方收斂。其中m表示牛頓迭代法的迭代次數(shù)。

令f(X)=ATC(Xi)。

求解步驟如下：

步驟1：令i=1，m=0；

步驟2：給定初始值Xi0，允許誤差?(本文?=0.000 1)；

步驟4：若(Xim-Xi(m-1))

步驟6：令i=i+1，重復步驟2～5，直到i=I(I是學習曲線穩(wěn)定后的生產周期數(shù)，也就是最佳生產周期，經過測試后確定)；

3 算例與敏感性分析

生產第1個產品的時間K=0.008 d；質檢第1件產品所需要的時間=0.023 d；生產準備費用A=200元/周期；勞動費用為L=80 元/d；單位產成品的原料采購成本Cm=25元/單位；單位時間單位產成品的存儲費Ch0=2.5元/d；原料1、原料2、原料3的單位時間單位存儲成本Ch1=1.5元/d，Ch2=1元/d，Ch3=2元/d；單位產品的質檢費用Cs=3.5元/單位；產出率學習系數(shù)為 δ=0.1；質檢學習系數(shù)ε=0.35；需求D=150單位/d。

由表1知，在生產的早期階段，最優(yōu)生產量與最優(yōu)生產時間快速下降，第2個生產周期以后的學習效應表現(xiàn)不明顯。由圖2知，隨著生產周期的推進，生產單位產品的時間越來越小，但生產時間不會趨向于零，最后趨向于一個固定的值。圖2中單位產品生產時間的變化，表現(xiàn)出明顯的學習曲線特征。

表1 不同周期下的最優(yōu)策略

圖2 周期數(shù)對單位產成品生產時間的影響

圖3反映了產出率學習系數(shù)變化對最優(yōu)生產時間的影響，隨著學習系數(shù)的增大，即學習率越小，因可改善的空間越來越大，所以最優(yōu)的生產時間越來越小。圖4反映了質檢學習系數(shù)變化對最優(yōu)生產時間的影響，隨著質檢學習系數(shù)的增大，最優(yōu)生產時間呈現(xiàn)出緩慢增加的趨勢。

圖3 產出率學習系數(shù)變化對最優(yōu)生產時間的影響

圖4 質檢學習系數(shù)變化對最優(yōu)生產時間的影響

圖5反映了缺陷率對最優(yōu)成本的影響，隨著缺陷率的增大，制造商需要生產更多的產成品來滿足消費者的需求，同時缺陷品不能出售，生產缺陷品耗費了大量的成本，故而隨著缺陷率的增大，最優(yōu)成本呈現(xiàn)快速增加的趨勢。

圖5 缺陷率對最優(yōu)成本的影響

4 結論

文章考慮制造商的產出率和質檢過程具有學習效應的經濟批量優(yōu)化問題。數(shù)值分析結果表明，在早期生產階段，學習效應對最優(yōu)生產量及最優(yōu)生產時間有顯著的影響。在生產的后期學習效應發(fā)揮的作用有限，因為單位產品的生產時間基本保持不變，此時在學習效應上的投資是不明智的。隨著缺陷率的增大，最優(yōu)成本快速增加，應設法降低缺陷率。

文章的研究沒有考慮生產中斷帶來的學習中斷現(xiàn)象，在實際生產過程中，生產的中斷，會使得學習效應帶來負面影響；另外，由于產品質量學習效應的存在，產品缺陷率是越來越小的，在后續(xù)研究中，可考慮產出率同時具有學習與中斷效應的情形及產品質量的學習效應。

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Decision of EPQ Model under Learning Effect of Productivity and Quality Inspection

The EPQ (economic production quantity) model of learning effect in the process of production and quality inspection is extended. The production process is not perfect, and quality defects will be produced. On the basis of constant demand, a cost function model of the learning effect in the process of production and quality screening is established, and the solution is solved by Newton method. Numerical and sensitivity analyses show that, along with the advance of production, in the early stages of production, the average production time of the unit product decreases rapidly with the increase of productivity, but the optimal production time tends to be stable in the later stage. With the increase of learning coefficient, the optimal production time decreases slowly; with the increase of the quality screening coefficient, the optimal production time increases slowly; with the increase of the defect rate, the optimal total average cost increases quickly. The conclusion provides the basis for the optimal decision.

productivity; quality inspection; learning effect; lot sizing; quality defect

2016- 04- 26

國家自然科學基金資助項目(71372154)

伏開放(1988-)，男，江蘇省人，博士研究生，主要研究方向為生產與運作管理、工作研究.

10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.05.021

N945；F406

A

1007-7375(2016)05- 0153- 06