一個(gè)經(jīng)典模型的創(chuàng)新演變

許 文 ●

華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(430074)

?

一個(gè)經(jīng)典模型的創(chuàng)新演變

許 文 ●

華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(430074)

在物理習(xí)題中，我往往會(huì)看到如圖1所示的由兩個(gè)小球a、b與兩條細(xì)線1、2組合的物理問(wèn)題.這是一個(gè)經(jīng)典的模型.將此模型進(jìn)行一系列的演變，可生成一個(gè)個(gè)精彩紛呈的物理習(xí)題.這種模型因經(jīng)典而存在，因創(chuàng)新而精彩.本文通過(guò)實(shí)例解析這種模型的幾種演變.

一、平衡

例1 用輕質(zhì)細(xì)線把兩個(gè)質(zhì)量未知的小球懸掛起來(lái)，如圖2所示，今對(duì)小球a持續(xù)施加一個(gè)向左偏下30°的恒力，并對(duì)小球b持續(xù)施加一個(gè)向右偏上30°的同樣大小的恒力，最后達(dá)到平衡，表示平衡狀態(tài)的圖3可能的是( ).

解析 表示平衡狀態(tài)的圖是哪一個(gè)，關(guān)鍵是要求出兩條輕質(zhì)細(xì)繩對(duì)小球a和小球b的拉力的方向，只要拉力方向求出后，平衡狀態(tài)的圖就確定了.

先以小球a、b及連線組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)共受五個(gè)力的作用，即兩個(gè)重力(ma+mb)g，作用在兩個(gè)小球上的恒力Fa、Fb和上端細(xì)線對(duì)系統(tǒng)的拉力T1，因?yàn)橄到y(tǒng)處于平衡狀態(tài)，所受合力必為零，由于Fa、Fb大小相等，方向相反，可以抵消，而(ma+mb)g的方向豎直向下，所以懸線對(duì)系統(tǒng)的拉力T1的方向必然豎直向上.再以b球?yàn)檠芯繉?duì)象，b球在重力mbg、恒力Fb和連線拉力T2三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，已知恒力向右偏上30°，重力豎直向下，所以平衡時(shí)連線拉力T2的方向必與恒力Fb和重力mbg的合力方向相反，如圖4所示，故正確選項(xiàng)為A.

例2 質(zhì)量相等的a、b兩小球用兩根等長(zhǎng)的細(xì)線相連，懸掛于天花板下處于靜止(如5圖)，現(xiàn)對(duì)a球施加水平向右的恒力2F，對(duì)b球施加水平向左的恒力F.則平衡后兩球所處的狀態(tài)圖6中可能的是( ).

小結(jié)：以上兩題在分析平衡時(shí)上段細(xì)繩與豎直方向的夾角時(shí)都用到了整體法，分析下段細(xì)繩與豎直方向的夾角時(shí)用到了隔離法.是一種典型的整體法與隔離法相結(jié)合的分析方法.

例3 如圖8所示，將兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b用細(xì)線相連懸掛于O點(diǎn)，用力F拉小球b，使整個(gè)裝置處于平衡狀態(tài)，且懸線Oa與豎直方向的夾角為θ=30°，則F的大小( ).

解析 設(shè)上段細(xì)繩上拉力為T1，對(duì)兩球系統(tǒng)受力分析：上段細(xì)繩上拉力為T1、重力2mg、外力F.系統(tǒng)在這三個(gè)力作用下處于平衡，這三個(gè)力的合力為零.平移這三個(gè)力矢量組成矢量三角形(如圖9所示).可知當(dāng)F⊥T1時(shí)F的最小值為Fmin=2mgsin30°=mg，故正確選項(xiàng)為C．

小結(jié)：本題只要求在外力F作用下系統(tǒng)平衡時(shí)上段細(xì)繩與豎直方向夾角保持θ角不變，而下段細(xì)繩的方向不限，因此應(yīng)考慮整體分析法.通過(guò)作出矢量圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)平衡分析，能快速找出外力F的大小范圍，從而達(dá)到問(wèn)題的求解.

二、平動(dòng)

例4 如圖10所示，用兩段細(xì)線分別系住質(zhì)量分別為M與m(M>m)的兩個(gè)小球，手握住線的上端，若手沿水平方向向右作勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩小球無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能的形狀是圖11中的( ).

解析 如圖12所示，設(shè)水平向右的加速度為a，上段繩子受力大小為F1，與豎直方向夾角為θ；下段繩子受力大小為F2，與豎直方向夾角為α.

小結(jié)：在分析上段細(xì)繩與豎直方向的夾角時(shí)用到了整體法，分析下段細(xì)繩與豎直方向的夾角時(shí)用到了隔離法.牛頓第二定律結(jié)合矢量圖進(jìn)行分析與求解是一種常用的問(wèn)題分析方法.

三、轉(zhuǎn)動(dòng)

例5 如圖13所示，質(zhì)量相等的a、b兩球用兩段等長(zhǎng)的細(xì)線系于豎直桿上.當(dāng)桿以某一角速度繞豎直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩段細(xì)線與豎直方向的夾角分別為α、θ，則有( ).

A．α>θB．α<θC．α=θD．以上都有可能

解析 設(shè)桿旋轉(zhuǎn)角速度為ω，每段繩長(zhǎng)為l.上段繩子受力大小為F1，下段繩子受力大小為F2.

對(duì)a球有：F1cosα=mg+F2cosθ(1)

F1sinα-F2sinθ=mω2lsinα(2)

對(duì)b球有：F2sinθ=mω2l(sinα+sinθ) (3)

F2cosθ=mg(4)

將(4)代入(1)得：F1cosα=2mg(5)

將(4)(5)代入(2)得：2tanα-tanθ=mω2lsinα/g(6)

(3)/(4)得：

tanθ=mω2l(sinα+sinθ)/g(7)

小結(jié)：本題中a、b兩球均以相同的角速度分別繞桿上的某點(diǎn)在水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動(dòng).兩球在豎直方向上受力平衡，水平面內(nèi)合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.采用隔離法分別對(duì)兩球進(jìn)行研究，同時(shí)結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，是問(wèn)題求解的關(guān)鍵.

例6 如圖14所示，質(zhì)量相等的A、B兩小球分別用兩段等長(zhǎng)的細(xì)線相連，線的一端固定在O點(diǎn).開始時(shí)兩球與O點(diǎn)等高，兩線拉直且水平狀態(tài).現(xiàn)讓兩球從圖示位置從靜止開始運(yùn)動(dòng)，在A球到達(dá)O點(diǎn)正下方的過(guò)程中，則下列說(shuō)法中正確的是( ).

A．線對(duì)小球A的作用力做負(fù)功，對(duì)小球B的作用力做正功

B．線對(duì)小球A的作用力做正功，對(duì)小球B的作用力做負(fù)功

C．線對(duì)小球A、B的作用力均做正功

D．線對(duì)小球A、B的作用力均做負(fù)功

解析 設(shè)兩小球質(zhì)量均為m，每段線長(zhǎng)L/2 .假如將細(xì)線換成輕桿，兩球均繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)角速度為ω，桿對(duì)A、B球的作用力做的功分別為WA、WB.對(duì)A、B小球與輕桿組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得：

由此可以推知，當(dāng)輕桿換成細(xì)線時(shí)，兩球在下落過(guò)程中的狀態(tài)如圖15所示，A、B間的那段細(xì)線與A、B兩球的運(yùn)動(dòng)方向不垂直，此段細(xì)線上的拉力對(duì)A球做負(fù)功，對(duì)B球做正功.故正確選項(xiàng)為A.

小結(jié)：本題將細(xì)線與輕桿進(jìn)行置換對(duì)比轉(zhuǎn)換分析，采用了定性分析與研究計(jì)算相結(jié)合的問(wèn)題分析方法，使問(wèn)題得以順利求解.

總之，兩球與兩線組合的模型可以從力與平衡、力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、功與能的關(guān)系等角度進(jìn)行多側(cè)面、多層次地拓展與創(chuàng)新演變.通過(guò)這種變式訓(xùn)練，更有助于我們加深對(duì)知識(shí)的鞏固與深化，提高解題技巧及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)思維的靈活性、變通性和創(chuàng)新性.

即學(xué)即練 1．如圖16所示，質(zhì)量相等的帶電小球用絕緣細(xì)繩懸掛，小球間也用絕緣細(xì)繩連接，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中靜止，球間作用力不計(jì)，現(xiàn)將其中一根懸線剪斷，平衡時(shí)圖中不可能出現(xiàn)的情況是( ).

2．如圖17所示，兩段等長(zhǎng)細(xì)線L1和L2串接著兩個(gè)質(zhì)量相等的小球a、b，懸掛于O點(diǎn).現(xiàn)施加水平向右的力F緩慢拉動(dòng)a，L1對(duì)a球的拉力大小為F1，L2對(duì)b球的拉力大小為F2，在緩慢拉動(dòng)的過(guò)程中，F(xiàn)1和F2的變化情況是( ).

A．F1變大 B．F1變小

C．F2不變 D．F2變大

3．將兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b用細(xì)線相連后，再用細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，如圖18所示．用力F拉小球a，使兩個(gè)小球都處于靜止?fàn)顟B(tài)，且細(xì)線Oa與豎直方向的夾角保持θ=30°，則F的最小值為( ).

A．33mgB．mgC．32mgD．12mg

參考解答:

1．正確選項(xiàng)A.由沒有剪斷的平衡圖可知，兩球帶相同的性質(zhì)的電荷，把A、B看作一個(gè)整體，可知水平方向受電場(chǎng)力，豎直方向受重力，根據(jù)平衡的條件則最上面的繩子不可能處于豎直狀態(tài)，A正確．

2．正確選項(xiàng)AC.對(duì)小球b受力分析如圖19甲所示，由平衡條件可得：F2=m2g，大小不改變，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；對(duì)整體受力如圖18乙所示，由平衡條件得F1cosθ-(m1+m2)g=0，在力F向右拉動(dòng)過(guò)程中，L1與豎直方向的夾角θ變大，cosθ變小，故F1變大，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤.

3．正確選項(xiàng)B.將a、b看成一個(gè)整體受力分析可知，當(dāng)力F與Oa垂直時(shí)F最小，可知此時(shí)F=2mgsinθ=mg，選項(xiàng)B正確．

G632

B

1008-0333(2016)28-0054-02