考慮摩擦的兩球體接觸承載分析的分形接觸模型研究

樊 浩， 晏偉清， 劉 鵬, 陳 奇

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

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考慮摩擦的兩球體接觸承載分析的分形接觸模型研究

樊 浩， 晏偉清， 劉 鵬, 陳 奇

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

為了獲得更貼合實(shí)際的兩球體接觸承載能力分析的分形接觸模型,文章考慮摩擦的影響,在兩球體接觸應(yīng)力計(jì)算分形模型的基礎(chǔ)上,引入存在摩擦的彈塑性變形臨界面積公式,給出考慮摩擦的兩球體分形接觸模型；通過在Matlab中對(duì)模型的仿真和預(yù)測(cè),獲得了模型中主要參數(shù)對(duì)兩球體接觸承載能力的影響。結(jié)果表明:降低摩擦系數(shù)、減小粗糙度幅值以及選擇內(nèi)接觸形式,有利于提高接觸承載能力;分形維數(shù)與接觸承載能力之間不是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,而是存在一個(gè)分形維數(shù)的最優(yōu)值。因?yàn)榍蛎娓笔乔蜉S承的簡(jiǎn)化模型,所以該文的研究為后續(xù)進(jìn)行球軸承及相關(guān)產(chǎn)品的接觸承載分析提供了理論依據(jù)。

摩擦球面副;接觸承載分析;分形理論

高副接觸體之間的表面承載能力是影響其強(qiáng)度和壽命的重要指標(biāo)。目前,用于高副接觸體間的表面承載能力分析主要有傳統(tǒng)的Hertz方法[1]、近現(xiàn)代的有限元方法[2-6]以及近年來比較熱門的分形理論方法[7-8]。前兩者主要用于宏觀分析,而后者可進(jìn)行微觀分析,能分析接觸體表面微觀形貌對(duì)接觸承載的影響,因此考慮因素更全面，分析能力更強(qiáng),從而得到了研究者們的廣泛關(guān)注[9-13]。

齒輪和軸承為常見的高副接觸體產(chǎn)品。具體分析時(shí),常常把齒輪副接觸和圓柱滾子軸承簡(jiǎn)化為兩圓柱體,把球軸承簡(jiǎn)化為兩球體。目前，關(guān)于兩圓柱體和齒輪的分形承載能力分析已經(jīng)取得了一定的成果[14-17];對(duì)于兩球體的分形接觸承載能力分析也進(jìn)行了前期研究,并建立了基于分形理論的兩球體接觸模型[18]，但是該模型沒有考慮摩擦對(duì)接觸承載能力的影響。在實(shí)際工況中,摩擦常常不可忽略,因此,需要建立更為準(zhǔn)確的兩球體接觸承載能力分析的分形接觸模型,并將之用于球面副相關(guān)產(chǎn)品的接觸應(yīng)力分析。

本文以M-B分形接觸模型和兩球體分形接觸模型為基礎(chǔ),引入存在摩擦的彈塑性變形臨界面積公式,給出考慮摩擦的兩球體分形接觸模型;通過對(duì)該模型的預(yù)測(cè)分析可以獲得相關(guān)參數(shù)對(duì)其承載能力影響的變化規(guī)律,有利于提高其接觸承載能力的最優(yōu)參數(shù),為改善和提高球面副及相關(guān)產(chǎn)品的接觸承載能力提供理論依據(jù)。

1 考慮摩擦的兩球體分形接觸模型

在M-B分形接觸模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合兩球體的接觸面積分布公式和考慮摩擦的彈塑性臨界接觸面積公式,得出考慮摩擦因素的兩球體接觸承載能力的分形接觸模型。

1.1 M-B分形接觸模型

文獻(xiàn)[19]建立了粗糙表面的彈塑性接觸的分形模型,即M-B分形接觸模型。M-B分形接觸模型給出了粗糙“平面”間的接觸載荷與實(shí)際接觸面積之間的關(guān)系,其公式描述如下。

(1) 當(dāng)al>ac,接觸點(diǎn)發(fā)生彈塑性變形,則總載荷為:

(1)

其中,第1項(xiàng)為彈性接觸載荷;第2項(xiàng)為塑性接觸載荷。

(2) 當(dāng)al

(2)

(3)

as為最小接觸點(diǎn)的面積;al為最大接觸點(diǎn)的面積;ac為微凸體彈塑性變形臨界面積,其計(jì)算公式為:

(4)

其中,φ為材料的特性參數(shù),定義φ=σy/E。

1.2 兩球體的接觸面積分布公式

M-B分形接觸模型主要分析粗糙“平面”間的接觸承載能力,而對(duì)于粗糙“曲面”間的接觸問題未能涉及。為了將M-B分形接觸模型應(yīng)用于粗糙曲面,本研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過研究建立了“兩任意輪廓彈性體接觸應(yīng)力計(jì)算的分形模型”[21],并同時(shí)建立了“兩球體的分形接觸模型”[18]。在上述模型中,引入了表面接觸系數(shù),對(duì)接觸面積分布公式進(jìn)行了修正,從而解決了M-B不能分析粗糙“曲面”間的接觸承載問題。已獲得的“兩球體的接觸面積分布”計(jì)算公式如下:

(5)

其中,λB為兩球體的接觸系數(shù),其計(jì)算公式[16]為:

(6)

其中,R1和R2為兩圓柱體的曲率半徑;“+”為外接觸;“-”為內(nèi)接觸(假設(shè)R1>R2)。

兩球體接觸示意圖如圖1所示。

圖1 兩球體接觸示意圖

1.3 考慮摩擦的彈塑性臨界接觸面積計(jì)算公式

根據(jù)文獻(xiàn)[22]的研究可知,存在摩擦?xí)r微凸體彈塑性變形臨界面積的計(jì)算公式為：

(7)

其中,aμc為考慮摩擦的微凸體彈塑性變形臨界面積;kμ為摩擦力修正因子,與摩擦系數(shù)μ有關(guān),其計(jì)算公式為:

(8)

1.4 考慮摩擦因素的兩球體分形接觸模型

將(5)式和(7)式帶入M-B分形接觸模型,即可得到“考慮摩擦因素的兩球體分形接觸模型”，該模型可建立兩球體接觸載荷與真實(shí)接觸面積之間的關(guān)系。具體公式描述如下。

(1) 當(dāng)al>aμc時(shí),接觸點(diǎn)處于彈塑性接觸狀態(tài),此時(shí)又分成如下2種情況:

當(dāng)D≠1.5時(shí),有

(9)

當(dāng)D=1.5時(shí),有

(10)

(11)

(2) 當(dāng)al

(12)

2 模型仿真與預(yù)測(cè)

為了驗(yàn)證上述模型,本文在Matlab中對(duì)模型進(jìn)行仿真,重點(diǎn)分析模型中的4個(gè)主要參數(shù)(摩擦系數(shù)、分形維數(shù)、粗糙度幅值以及接觸形式)對(duì)兩球體接觸承載能力的預(yù)測(cè)分析。

假設(shè)兩球面副的基本參數(shù)如下:彈性模量E1=E2=2.06×105N/mm2,泊松比υ1=υ2=0.3,球體半徑分別為R1=100 mm,R2=60 mm。

2.1 摩擦系數(shù)對(duì)兩球體承載能力的影響

摩擦系數(shù)對(duì)兩球體接觸承載的影響如圖2所示。由圖2可知,隨著摩擦系數(shù)μ的增加,相同真實(shí)接觸面積對(duì)應(yīng)的法向載荷增加,接觸應(yīng)力增加,從而接觸承載能力下降。

這一結(jié)論與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相符,即降低接觸體的摩擦(如常采用潤滑措施)對(duì)于提高接觸面的承載能力有利,也與文獻(xiàn)[23-24]中的試驗(yàn)結(jié)果一致,因此上述模型可信。

圖2 摩擦系數(shù)對(duì)兩球體接觸承載的影響

2.2 分形維數(shù)對(duì)兩球體承載能力的影響

分形維數(shù)對(duì)兩球體接觸承載的影響如圖3所示。

圖3 分形維數(shù)對(duì)兩球體接觸承載的影響

由圖3可知,分形維數(shù)對(duì)兩球體承載能力的影響,不是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,而是存在一個(gè)最優(yōu)值,即隨著分形維數(shù)的增加,接觸承載能力總體趨勢(shì)為增強(qiáng)。但當(dāng)分形維數(shù)為1.5時(shí),相同載荷時(shí)的真實(shí)接觸面積最大,因此此時(shí)的接觸應(yīng)力最小,接觸承載能力最強(qiáng)。

這一結(jié)論的總體趨勢(shì)與文獻(xiàn)[25]的結(jié)論一致,即分形維數(shù)與表面粗糙度大體成負(fù)指數(shù)關(guān)系,即減小表面粗糙度,分形維數(shù)增加,表面承載能力提高。但由于分形維數(shù)與表面粗糙度并非一一對(duì)應(yīng)關(guān)系[25],因此降低表面粗糙度,并不一定提高分形維數(shù),即不一定對(duì)提高表面承載能力有利。本文仿真結(jié)果也反映了該問題,即分形維數(shù)對(duì)兩球體的接觸承載能力影響并非是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,而是存在一個(gè)最優(yōu)值。鑒于篇幅,分形維數(shù)的優(yōu)化理論研究本文不再贅述。

2.3 粗糙度幅值對(duì)兩球體承載能力的影響

粗糙度幅值對(duì)兩球體接觸承載的影響如圖4所示。由圖4可以看出,隨著粗糙度幅值的降低,相同真實(shí)接觸面積的法向載荷也降低,因此減小粗糙度幅值對(duì)于提高兩球體之間的接觸承載能力有利。

由文獻(xiàn)[16]可知,粗糙度幅值G*是反映表面粗糙度的參數(shù),且兩者成正比關(guān)系。即減小粗糙度幅值,表面粗糙度隨之降低,表面承載能力可相應(yīng)提高。由以上分析可知,上述結(jié)論與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和已有的結(jié)論一致,因此結(jié)論可信。

圖4 粗糙度幅值對(duì)兩球體接觸承載的影響

2.4 接觸形式對(duì)兩球體承載能力的影響

接觸形式對(duì)兩球體接觸承載的影響如圖5所示。由圖5可知,內(nèi)接觸時(shí)比外接觸時(shí)的承載能力要高,因此盡量選用內(nèi)接觸的高副產(chǎn)品可降低接觸應(yīng)力,改善接觸條件。

這一結(jié)論與Hertz理論對(duì)于接觸形式的分析一致[26-27]。因此上述結(jié)論合理。

圖5 接觸形式對(duì)兩球體接觸承載的影響

3 結(jié) 論

本文考慮摩擦因素的影響,通過引入存在摩擦的彈塑性變形臨界面積公式,并結(jié)合兩球體接觸面積分布公式,建立了考慮摩擦的兩球體分形接觸模型。通過對(duì)模型的仿真和預(yù)測(cè),得到了模型中主要參數(shù)對(duì)兩球體接觸承載能力影響分析的主要結(jié)論:① 摩擦系數(shù)與兩球體表面承載能力成反比關(guān)系,即隨著摩擦系數(shù)的降低,有利于提高兩球體的接觸承載能力；② 分形維數(shù)與兩球體的表面承載能力大體成正比關(guān)系,但并非是一個(gè)線性關(guān)系,而是存在一個(gè)分形維數(shù)的最優(yōu)值。因此,對(duì)于特定工況,需要進(jìn)行分形維數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)；③ 粗糙度幅值與兩球體的表面承載成正比關(guān)系,即降低粗糙度幅值有利于提高表面承載能力；④ 內(nèi)接觸時(shí)比外接觸時(shí)的球面副表面應(yīng)力要低,因此盡量選用內(nèi)接觸的結(jié)合形式。

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(責(zé)任編輯 胡亞敏)

Research on fractal contact model for contact carrying capacity of spherical pair considering friction factor

FAN Hao, YAN Weiqing, LIU Peng, CHEN Qi

(School of Machinery and Automobile Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In order to set up a more realistic fractal contact model of spherical pairs for contact carrying capacity analysis, the fractal contact model of spherical pairs considering the factor of friction is deduced by introducing the equation of calculating critical contact area of elasto-plastic deformation with friction and referring to an earlier fractal contact model of spherical pairs. By the simulation and prediction in Matlab, the influence of some parameters in the model on the contact carrying capacity is acquired. The numerical results show that reducing the friction coefficient, decreasing the roughness amplitude and choosing the style of inner contact can help to improve the contact carrying capacity; the relationship between fractal dimension and contact carrying capacity is not simply linear, but there is an optimal value of fractal dimension. Because the spherical pair is a simplified model for ball bearing, the presented research can lay a theoretic basis for the contact carrying capacity analysis of ball bearings and related products.

friction spherical pair; contact carrying capacity analysis; fractal theory

2015-06-17；

2015-07-22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305116)

樊 浩(1993-),男,安徽肥東人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生; 陳 奇(1979-),男,安徽肥東人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.11.006

TH114

A

1003-5060(2016)11-1468-05