胡振宇

(江蘇省海安縣實驗中學(xué)，226600)

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○高考之窗○

細(xì)品考試說明 落實能力培養(yǎng)

胡振宇

(江蘇省海安縣實驗中學(xué)，226600)

一、問題的提出

《江蘇高考考試說明》明確指出，高考命題中突出數(shù)學(xué)對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的考查;重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查;注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查．作為一線教學(xué)的教師應(yīng)當(dāng)在平時的教學(xué)中加強對學(xué)生思維的訓(xùn)練,積極引導(dǎo)學(xué)生主動參與,敢于探索,積極創(chuàng)新．

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過,掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題．更多的高中學(xué)生喜歡刷題,而刷題的優(yōu)勢是常規(guī)化題目能夠比較熟練,劣勢就是缺乏對問題的深入思考,尤其是遇到一個新問題,用熟悉的題型去“套”的思維也許有一定的效果,即僅僅滿足于解出來,而對本題所涉及數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解不夠透徹,因而不能融會貫通．只有深入思考才能提出新看法、巧解法．近幾年江蘇高考試題重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查,尤其突出考查學(xué)生的能力．我們教師在平時的教學(xué)中要立足教材，有意識地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察、思考,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題和解決問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．本文就教學(xué)中一個案例，引導(dǎo)學(xué)生積極探索，以期拋磚引玉.

二、案例與探索

案例 若正實數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍．

視角1 等式轉(zhuǎn)化為不等式

利用不等式將題目中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于ab或a+b整體的不等式,再通過解不等式求出ab或a+b的取值范圍．

結(jié)合a、b為正實數(shù), 解得ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號.

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

化簡得(a+b)2-4(a+b)-12≥0.

因為a、b都是正實數(shù),所以a+b>0，解得a+b≥6,所以ab=a+b+3≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號.

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

視角2 函數(shù)視角:“二元”化“一元”

本題屬于二元函數(shù)的值域問題,題目所給的條件揭示了兩個正的變量a、b之間的關(guān)系,可以化”二元”為”一元”,即轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的值域問題．

因為a，b都是正實數(shù),所以b>1，

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

因為a、b都是正實數(shù),所以b>1.

令y′=0，得b=3.當(dāng)13時y′>0，所以當(dāng)b=3 時y取得最小值9.

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

視角3 利用條件式結(jié)構(gòu)巧妙構(gòu)造

解法5 由已知條件,得

(a-1)(b-1)=4.

易知a-1>0，b-1>0，所以

(a-1)+(b-1)

當(dāng)且僅當(dāng)a-1=b-1時取等號.

結(jié)合已知條件 ab=a+b+3,解得a=b=3，所以a+b≥6,ab=a+b+3≥9.

所以ab的取值范圍是[9,+∞)

解法6 由已知條件，得

(a-1)(b-1)=4.

易知a-1>0，b-1>0.

當(dāng)且僅當(dāng)t=1即a=b=3時取等號．

所以ab的取值范圍是[9,+∞)

解法7 由已知條件ab=a+b+3，得

a+b=ab-3.

因為a、b都是正實數(shù),所以ab-3為正實數(shù).

關(guān)于x的一元二次方程x2-(ab-3)x+ab=0有正實數(shù)根，所以有

解得 ab≥9.

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,因為ab>3 解得ab≥9.

所以ab的取值范圍是[9,+∞).

三、解題小結(jié)

本題審題過程中主要采用了上面介紹的三個視角，通過將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過變形、構(gòu)造、消元和基本不等式將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題獲得了解決.由此我們看到，在解決這類問題時應(yīng)該注意如下一些方面：

(1)利用基本不等式和重要不等式求取值范圍時,尤其要注意將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系．通過解不等式求出取值范圍．解法1和解法2將條件中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于未知量(或其關(guān)聯(lián)量)的不等式,通過解不等式求出有關(guān)取值范圍，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的等價轉(zhuǎn)化思想．

(2)在解題中應(yīng)抓住已知等量關(guān)系,通過降維(消元)將多元取值范圍問題轉(zhuǎn)化為一元取值范圍問題，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想．解法3是典型的分式函數(shù)求值域問題；解法4以導(dǎo)數(shù)為工具求函數(shù)的值域，更加具有一般性．

(3)抓住結(jié)構(gòu),巧妙構(gòu)造．解法5通過參變分離,構(gòu)造出應(yīng)用均值不等式的定值條件;

解法6抓住結(jié)構(gòu)巧妙換元,實現(xiàn)知識與方法的合理遷移;

解法7構(gòu)造一元二次方程有正實數(shù)根,整體求出ab的取值范圍．

解法8抓住結(jié)構(gòu)構(gòu)造等差數(shù)列,結(jié)合放縮法得到關(guān)于ab的不等式求解．

(4)第二類消元的方法為通用方法．其它方法都是特殊方法．在實踐操作中應(yīng)甄別算法,提升運算能力．提高運算求解能力的關(guān)鍵不僅僅是細(xì)心,更重要的是思考算理,當(dāng)然,一些常見的方法,如換元、消元等能有效簡化運算,提高運算效率,必須在學(xué)習(xí)中去思考．學(xué)習(xí)中要重視計算,比較不同的算法,最終提高運算的準(zhǔn)確性和速度．

四、教學(xué)反思

一道經(jīng)典題,經(jīng)過分析、再思考,立足于不同的視角,有多種不同的解法,解法是自然的,讓人回味,發(fā)人深省,同時也為今后的數(shù)學(xué)教學(xué)指明了思考的方向．

1. 既重結(jié)果、更重過程

新課標(biāo)強調(diào)學(xué)生的積極參與,強調(diào)學(xué)生的體驗,強調(diào)知識的發(fā)生、發(fā)展過程．在解題教學(xué)中,不僅要關(guān)注學(xué)生解題結(jié)果的正確與否,而且還要讓學(xué)生展示他們的思維過程.特別是對那些學(xué)生易錯、易漏、不嚴(yán)謹(jǐn)、欠規(guī)范或?qū)χR的理解出現(xiàn)偏差或錯誤的要害處,我們更要讓學(xué)生去體驗．平時的教學(xué)中,教師要讓學(xué)生充分“暴露”他們的錯誤,通過引導(dǎo)、交流、討論,讓學(xué)生在思維的碰撞中,既能知錯、又能改錯,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和比較各種思路的優(yōu)劣,解法的長短,和學(xué)生一起探求最優(yōu)解法和通性通法．讓學(xué)生主動參與,積極思考,在體驗中享受成功的喜悅．

2.既重知識、又重能力

新課標(biāo)強調(diào)“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”.對學(xué)生一生的影響中,最有用的不僅是數(shù)學(xué)知識,更重要的是數(shù)學(xué)思維能力. 因此我們在教學(xué)中不僅要重視知識的形成過程,還要在數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程中重視挖掘它所蘊藏的重要思想方法,提高學(xué)生分析問題、解決問題的思維能力．重知識,還表現(xiàn)在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考知識間的邏輯聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生類比、想象、抽象概括的能力,在通過尋找知識內(nèi)部聯(lián)系看本質(zhì),進(jìn)而把握問題的本質(zhì),探索到合理、高效的解題方法．這樣將知識學(xué)透 、方法精通、能力升華三者有機(jī)結(jié)合起來,我們的教學(xué)才更加高效.

3.輕技巧，重通法

高考是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的檢驗,高考試題計算量偏大,要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)完成．對于多數(shù)學(xué)生而言,時間是最寶貴的,掌握一定的解題技巧也是有必要的．但技巧的背后往往有一定的局限性和偶然性,有時難以在短時間內(nèi)想到．因此我們平時的教學(xué)中,我們更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生如何去分析思維的起點在哪里,突破口又在哪里. 注重知識間的邏輯聯(lián)系,講通法,但更重視這些方法背后所蘊含的最基本的數(shù)學(xué)思想方法(如本題中所涉及到的消元的方法、函數(shù)與方程的思想、化歸的思想等),讓通性通法成為學(xué)生思維的主旋律,而技巧只是輔助思維的調(diào)味品．

4.知差異 重個性

新課標(biāo)要求教師要認(rèn)識學(xué)生間的差異,關(guān)注學(xué)生個性的發(fā)展．教學(xué)中如何讓所有學(xué)生都能吃飽,又能讓優(yōu)秀學(xué)生吃得好,需要教師及時與學(xué)生溝通,了解學(xué)生的困惑,適時調(diào)整自身的教學(xué)策略．讓每一位學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力都有大幅度的提升是我們教師關(guān)注的焦點和熱點．?dāng)?shù)學(xué)的應(yīng)用意識的培養(yǎng)要求學(xué)生能夠運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,將一些簡單的實際間題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)間題,并加以解決,創(chuàng)新意識的培養(yǎng)要求學(xué)生能夠綜合,靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和思想方法,創(chuàng)造性地解決問題,這些都要我們教師在平時的教學(xué)中有意滲透,積極積累．