倪銘宏

(江蘇省靖江高級中學(xué)高三學(xué)生，214500)

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○學(xué)生習(xí)作○

一道焦半徑拓展題的探究

倪銘宏

(江蘇省靖江高級中學(xué)高三學(xué)生，214500)

一、問題的提出

二、問題的思考

我從多方面進(jìn)行了探究.探究中發(fā)現(xiàn)都與一個(gè)等式有關(guān)，我們就先來證明這一等式，為了便于說明，不妨稱之為橢圓焦半徑傾斜角等式.

而當(dāng)α大于90°時(shí)，在?PF1L中，有

三、問題的解決

下面借助“橢圓焦半徑傾斜角等式”，解決|PQ|+|PM|的取值范圍問題.

解 設(shè)∠PF1F2=θ,∠PF2F1=γ,|PF1|=r1,|PF2|=r2.

由“橢圓焦半徑傾斜角公式”，可得

在?PF1F2中，由余弦定理，得

設(shè)t=r1r2,則t=r2(2a-r2),

結(jié)合a-c≤r2≤a+c,可得b2≤t≤a2.

四、問題的反思

思考1 “橢圓焦半徑傾斜角等式”的證明可以用極坐標(biāo)來完成，這里只簡單說明.以橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸的方向建立極坐標(biāo)系，則橢圓方程為

思考2 用余弦定理證明

事實(shí)上，用余弦定理化去cos β,cos α，得

思考3 用基本不等式證明

又∵|PQ|+|PM|=|QF1|+|MF2|+|PF1|+|PF2|=|QF1|+|MF2|+2a，

當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時(shí)，取等號.

我還進(jìn)行了其它方面的探索，有些還不成熟，但是通過這樣的探索，有很多感悟，最重要的感悟是：數(shù)學(xué)雖然較難，但是經(jīng)過探索后，有一種成功的喜悅.