耿志琦

費馬大定理非常美妙的證明

耿志琦

自費馬在書中某頁的邊沿寫下斷言：“我發(fā)現(xiàn)一個美妙的證明，這里空白太小寫不下”[1]之后的350多年里，還沒有人給出符合上述要求的簡單證明。1994年，有學(xué)者發(fā)表了每條半穩(wěn)定有理橢園曲線可模形式化的證明，證明過程應(yīng)用了現(xiàn)代數(shù)論與代數(shù)幾何中許多深刻的結(jié)果與方法，花費了100多頁紙。本文追求費馬表述的不大的篇幅，簡單明了的邏輯推理，給出一個美妙的證明，以饗讀者。

一、本文用到的記號以及通用規(guī)則說明如下

1、費馬大定理是說，當n≥3時，an+bn≠cn，其中a、b、c、n都是自然數(shù)（即正整數(shù)），且a＜b＜c。

2、本文設(shè)an=Kn，bn=（K+L）n，cn=（K+L+m）n。其中K、L、m、n都是正整數(shù)。顯然這里的K＜K+L＜K+L+m；由于K、L、m是任取的正整數(shù)，滿足了Kn=an，（K+L）n=bn，（K+L+m）n=cn。就是說保證了費馬定理可以寫成Kn+（K+L）n≠（K+L+m）n這種表達形式；其中K=1，2，3，……，K；L=1，2，3，……，L；m=1，2，3，……，m；

3、根據(jù)上述規(guī)則和規(guī)定，將正整數(shù)n次方的冪序列排列如下，其中的n≥3；

1n，2n，3n，……，Kn（序列1）

1n，2n，3n，……，Kn，（K+1）n，（K+2）n，……，（K+L）n，（序列2）

1n，2n，3n，……，Kn，（K+1）n，（K+2）n，……，（K+L）n，（K+L+1）n，（K+L+2）n，（K+L+3）n，……，（K+L+m）n，（序列3）

從上述列出的三個序列得出，用Kn+（K+L）n≠（K+L+m）n是符合費馬定理an+bn≠cn原意的。

4、本文用記號k-1▽k表示Kn-（K-1）n的差值，即k-1▽k=Kn-（K-1）n；例如，1▽2=2n-1n，

2▽3=3n-2n，3▽4=4n-3n，……，k-1▽k=Kn-（K-1）n；更進一步表示成1▽k=Kn-1n，

2▽k=Kn-2n，3▽k=Kn-3n，……，k-1▽k=Kn-（K-1）n；這種表示法的優(yōu)越之處在于，任何一個正整數(shù)K的n次冪，即Kn都可用它之前的第一個正整數(shù)的n次冪加上之后順序的正整數(shù)n次冪之間的差值之和表示出來，即是

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=1n+1▽k=1n+（2n-1n）+（3n-2n）+……+[Kn-（K-1）n]=1n+（Kn-1n）=Kn……（1）

2n+2▽3+3▽4+……k-1▽k=2n+2▽k=2n+（3n-2n）+（4n-3n）+……+[Kn-（K-1）n]=2n+（Kn-2n）=Kn……（2）

3n+3▽4+4▽5+……k-1▽k=3n+3▽k=3n+（4n-3n）+（5n-4n）+……+[Kn-（K-1）n]=3n+（Kn-3n）=Kn……（3）

……以此類推，可得出下式等式

（K-1）n+k-1▽k=（K-1）n+[Kn-（K-1）n]=Kn……（4）

還可以得出下列等式

1▽2+2▽3+3▽4+……k-1▽k=1▽2+2▽k=（2n-1n）+（Kn-2n）=Kn-1n……（5）

2▽3+3▽4+4▽5+……k-1▽k=2▽3+3▽k=（3n-2n）+（Kn-3n）=Kn-2n……（6）

3▽4+4▽5+5▽6+……k-1▽k=3▽4+4▽k=（4n-3n）+（Kn-4n）=Kn-3n……（7）

……以此類推，可得出下式等式

k-1▽k=Kn-（K-1）n……（8）

5、從上邊的（1）式→（8）式，可以得出任何一段順序的正整數(shù)n次方冪的差值之和都不能等于任意一個正整數(shù)的n次方冪，而只能等于這一段順序的正整數(shù)n次方冪的末端的n次方冪與開端n次方冪之差。

以（5）式為例，（5）式中

1▽2+2▽3+……k-1▽k=1▽k=Kn-1n……（9）

（9）式中，正整數(shù)軸上的從1n→Kn之間只有2n，3n，4n，5n，……（K-1）n這K-2個正整數(shù)n次方冪的點，且這些點是唯一的，再不能有任何另一個正整數(shù)x的n次方冪的點，否則就會得出xn+x▽k=Kn；即是1n→Kn之間除2n，3n，……（K-1）n這K-2個正整數(shù)n次方冪的點之外，還有另一個xn的點存在，這顯然是不可能的。換句話說，除2n，3n，……（K-1）n這K-2個正整數(shù)n次方冪的點之外，還有另一個xn的點存在，成為K-1個正整數(shù)n次方冪的點，這顯然與事實不符。再進一步說，就是Kn-1n≠xn，當然x是任意正整數(shù)。同樣可得出2▽k=Kn-2n≠xn，3▽k=Kn-3n≠xn，……k-1▽k=Kn-（K-1）n≠xn；

6、以n=3，K=10為例說明如下

先列表13、23、33、43、53、63、73、83、93、103，

具體計算13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729，103=1000，

先計算1▽2=23-13=7，2▽3=33-23=19，3▽4=43-33=37，4▽5=53-43=61，5▽6=63-53=91，6▽7=73-63=127，7▽8=83-73=169，8▽9=93-83=217，9▽10=103-93=271，

我們?nèi)?▽2+2▽3+3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+ 8▽9+9▽10=1▽10=7+19+37+61+91+127+169+217+271=999= 1000-1≠x3……（10）

取2▽3+3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+8▽9 +9▽10

=2▽10=19+37+61+91+127+169+217+271=992=1000-8≠x3……（11）

取3▽4+4▽5+5▽6+6▽7+7▽8+8▽9+9▽10

=3▽10=37+61+91+127+169+217+271=973=1000-27≠x3……（12）

取4▽10=1000-64=936≠x3……（13）

取5▽10=1000-125=875≠x3……（14）

取6▽10=1000-216=784≠x3……（15）

取7▽10=1000-343=657≠x3……（16）

取8▽10=1000-512=488≠x3……（17）

取9▽10=1000-729=271≠x3……（18）

從（10）式→（18）式完全驗證了5中的結(jié)論：任何一段順序的正整數(shù)n次方冪的差值之和都不能等于任意一個正整數(shù)的n次方冪，而只能等于這一段順序的正整數(shù)n次方冪的末端的n次方冪與開端n次方冪之差。

7、基于上述同樣道理可以得出下列式子

k▽k+1+k+1▽k+2+k+2▽k+3+……+k+L-1▽k+L =（K+L）n-Kn≠xn（x為任意的正整數(shù)）……（19）

k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+k+L+2▽k+L+3+……+ k+L+m-1▽k+L+m=（K+L+m）n-（K+L）n≠xn……（20）

二、證明過程

按照（一）1中的論述，只要證明了Kn+（K+L）n≠（K+L+m）n這一不等式，就等價于證明了an+bn≠cn這一費馬定理。

我們已經(jīng)知道

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=Kn……（21）

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2 +……+k+L-1▽k+L=（K+L）n……（22）

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽ k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1

+k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m=（K+L+m）n……（23）

那么費馬定理就是要證明下述不等式成立，即

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2+……+k+L-1▽k+L≠1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+ k+L+m-1▽k+L+m……（24）

用反證法證明不等式（24）成立

假設(shè)（24）式相等，即

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2+……+k+L-1▽k+L=1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k+k▽k+1+k+1▽k+2……+k+L-1▽k+L+k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m……（25）

整理（25）式可得

1n+1▽2+2▽3+……k-1▽k=k+L▽k+L+1+k+L+1▽k+L+2+……+k+L+m-1▽k+L+m……（26）

（26）式可寫成為Kn=（K+L+m）n-（K+L）n……（27）

根據(jù)（一）7中的（20）式可知（K+L+m）n-（K+L）n≠xn，當然可知（K+L+m）n-（K+L）n≠Kn……（28）

這與（25）式矛盾，所以（24）式成立，也保證了an+bn≠cn成立，到此，費馬定理得到證明。

三、討論

1、用符號k-1▽k表示Kn-（K-1）n，就是表示任意兩個相鄰正整數(shù)n次方冪的差值。顯然它們之間差值不能等于任意一個正整數(shù)的n次方冪。即

k-1▽k=Kn-（K-1）n≠xn，x為任一正整數(shù)。這是顯而易見的，因為（K-1）n與Kn之間不存在另一正整數(shù)的n次方冪。

2、因為1n+1▽k=Kn、2n+2▽k=Kn、3n+3▽k=Kn、……（K-1）n+k-1▽k=Kn表明1n→Kn之間，只有2n，3n，4n，……（K-1）n這K-2個正整數(shù)n次方冪的點，且是唯一的。進而表明（K+L）n→（K+L+m）n之間，只有（K+L+1）n、（K+L+2）n、（K+L+3）n、……（K+L+m-1）n這m-1個正整數(shù)n次方冪的點，除此之外不可能再有另一個正整數(shù)n次方冪xn的點存在。

3、我們只討論n≥3的情形，至于n=2，已有很多研究，這里不做討論。本文只用幾頁紙就證明了an+bn≠cn，這顯然符合費馬提出的“美妙證明”的說法。

[1]（美）Joseph H.Silverman.孫智偉等譯[M].數(shù)論概論.機械工業(yè)出版社，2008.5.

A Very Wonderful Proof to Fermat's Last Theorem

Geng Zhiqi