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      GV-半群的矩形群同余

      2016-12-19 11:38:37
      通化師范學院學報 2016年8期
      關鍵詞:同理正則矩形

      王 宇

      (安徽理工大學 理學院,安徽 淮南 232001)

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      GV-半群的矩形群同余

      王 宇

      (安徽理工大學 理學院,安徽 淮南 232001)

      利用GV-半群中元素的弱逆和核-超跡的方法,通過建立矩形同余對來描述GV-半群的矩形群同余的性質(zhì),并給出矩形群同余的一個表示.

      GV-半群;矩形群同余;弱逆;自共軛

      半群是一個滿足結(jié)合律的二元運算的代數(shù)系統(tǒng).在一個多世紀的半群代數(shù)理論歷史中,對正則半群的研究一直占主導地位.近三十年,對非正則半群的研究引起代數(shù)學者的重視.GV-半群是廣義的完全正則半群,因此,它是與完全正則半群性質(zhì)最為接近的非正則半群.研究畢竟正則半群的最常用方法就是把正則半群中已知結(jié)果推廣到畢竟正則半群中.同余是正則半群研究中的一個重要工具,并已取得廣泛的結(jié)果,核-跡方法是正則半群中研究同余的一個重要方法,Gomes發(fā)展了核-跡方法而定義了核-超跡方法.羅彥鋒教授使用這種方法在畢竟正則半群中研究同余.本文就是利用核-超跡方法來研究GV-半群的矩形群同余.首先,給出文中所需要的基本概念和定義.

      1 基本概念及定義

      半群S稱為畢竟正則半群,若S的每個元素a都存在一個整數(shù)冪n,使得an是正則的.半群S稱為GV-半群,如果S是畢竟正則的,且S中每一正則元都是完全正則的;半群S的元素x稱為a的弱逆,若xax=x,a∈S,用W(a)表示S中所有a的弱逆的集合,半群S稱為矩形群,若S是正則半群,且ES是矩形帶.半群S上的同余稱為矩形群同余,若S/ρ是矩形群.設ρ是半群S的同余,定義S的子集{a∈S|aρ?E(S/ρ)}為ρ的核,記作kerρ.把ρ限制在上稱為ρ的超跡,記為htrρ.以下文中如沒有特別說明S均指GV-半群.

      定義1 S的一個子半群K稱為正規(guī)的,若

      (1)a∈K,a′∈W(a)?a′∈K;

      (2)ES?K;

      (3)a∈S,a′∈W(a)?aKa′,a′Ka?K.

      定義2 S的子半群上的同余ε稱為正規(guī)的,若對任意x,y∈,a∈S和a′∈W(a),有xεy?axa′εaya′,a′xaεa′ya,其中axa′,aya′,a′xa,a′ya∈.

      定義3 設ε是上的正規(guī)同余,且/ε是矩形帶,K是S的正規(guī)子半群,則(ε,K)稱為S的矩形同余對,若它滿足:

      (RCP1)?a∈S,a′∈W(a),則存在a″∈W(a),使得aa″aa′εaa′,a′aa″aεa′a;

      (RCP2)?a∈S,x∈且xa∈K?a∈K.

      下面在S上定義一個二元關系

      2 主要結(jié)論

      以下用RC(S)表示S上所有的矩形群同余集合,用RCP(S)表示S上所有的矩形群同余對集合.首先給出本文的主要結(jié)果.

      定理1 設S是GV-半群.若(ε,K)∈RCP(S),則ρ(ε,K)∈RC(S)且kerρ(ε,K)=K和htrρ(ε,K)=ε.

      證明定理1需要證明下面四個命題.在下面的證明中令ρ=ρ(ε,K),若(ε,K)∈RCP(S).

      命題1 若(ε,K)∈RCP(S),且?a,b∈K.?x∈.如果ab∈K,則axb∈K且ρ是S的等價.

      證明 設ab∈K,?a,b∈S,則a′aba∈K,?a′∈W(a).由(RCP2),可得ba∈K,a′a∈,又(ba)x∈K,?x∈和b′baxb∈K,?b′∈W(b),則由(RCP2)知axb∈K.ρ滿足對稱性.又因ES?K和ε是自反的,故ρ是自反的.

      下證ρ滿足傳遞性.設aρb,bρc,則對?a′∈W(a),存在b″∈W(b),使得a′b∈K,aa′εbb″,a′aεb″b.對?b′∈W(b),存在c′∈W(c),使得b′c∈K,bb′εcc′,b′bεc′c.則由ε的傳遞性可得,aa′εcc′,a′aεc′c.令g∈M(aa′,bb′) .則由K是正規(guī)的和a′b∈K,可得b′ga∈W(a′b)?K.又因a′bb′ga∈ES?K,a′bb′c∈K和gaa′∈,即得a′bb′(gaa′)c∈K,因而由(PCP2),即得a′c∈K.另一方面,同理可知對?c′∈W(c),存在a′∈W(a),使得c′a∈K,aa′εcc′,a′aεc′c,故aρc,因此ρ是S上的一個等價.

      命題2 若(ε,K)∈RCP(S),則ρ是S上的同余.

      證明 先證ρ是左相容的.設aρb,a,b∈S,對?(ca)′∈W(ca),有a′=(ca)′c∈W(a),c′=a(ca)′∈W(c),(ca)′=a′c′,aa′=cc′.由aρb即知(ca)′cb=a′b∈K.又由ρ的定義,可知存在b′∈W(b),使得aa′εbb′又存在g∈M(aa′,bb′)=M(c′c,bb′),使得c′c=aa′εgεbb′.設(cb)′=b′gc′,則(cb)′=b′gc′∈W(cb).同理可得,對?(cb)′∈W(cb),存在(ca)″∈W(ca),使得(cb)′ca∈K,ca(ca)″εcb(cb)′,(ca)″caε(cb)′cb,則caρcb.故ρ是S上的左同余.另一方面,同理可證ρ是S上的右同余,因此,ρ是S上的同余.

      命題3 設(ε,K)∈RCP(S),則htrρ=ε,且ρ(ε,K)是S上的矩形群同余.

      證明 首先證htrρ=ε.設xρy,x,y∈,又存在x′∈W(x)∩,使得xεxx′x(ε是上的矩形帶同余).又由ρ的定義知存在y′∈W(y)∩,使得xx′εyy′,x′cεy′y,因此xεxx′xεyy′xεyx和yεyy′y(ε是上矩形帶同余).又εyx′x,cεy′y則xεy,即htrρ?ε.

      反之,設xεy,x,y∈,?x′∈W(x)∩,因此x′y∈?K,x′yx′εx′xεx′(ε是上的矩形帶同余),即x′ε∈W(yε).存在y′∈W(y)∩,使x′εy′,則xx′εyy′,x′xεy′y.同理,對?y′∈W(y),則存在x′∈W(x),使得y′x∈K,xx′εyy′,x′xεy′y,故xρy,即ε?htrρ,因此htrρ=ε.

      下證ρ=ρ(ε,K)是S上的正則同余.由(RCP1)知,對?a∈S,a′∈W(a),存在a″∈W(a),使得a′aa″a∈K,a′aa″aa′aεa′aa′a=a′a,即(a′a)ε∈W((a″a)ε).存在(a″a)∈W(a″a)∩,使(a″a)′εa′a.又因(a″a)′(aa″a)(a″a)′a′ρ(a″a)′(a″a)′a″a(a″a)′a′=(a″a)′(a″a)′a′ρ(a″a)′a′

      (/ε是矩形帶且htrρ=ε)

      即((a″a)′a′)ρ∈W((aa″a)ρ).存在(aa″a)′∈W(aa″a),使得(aa″a)′ρ(a″a)′a′,

      則aa″a(a″a)′ρaa″a(a″a)′a′ρaa″aa′aa′=aa″

      aa′εaa′(由RCP1)

      即aa″a(aa″a)′εaa″aa′εaa′.因htrρ=ε,且

      (aa″a)′aa″aρ(a″a)′a′aa″aρa′aa′aa″a=a′aa″

      aεa′a(由RCP1)

      即(aa″a)′aa″aεa′aa″aεa′a(因htrρ=ε).

      另一方面,對?c∈W(aa″a),ca∈W(a″a),ac∈W(aa″)∈?K,

      又因caa″a(ca)caa″aεcaa″a(因/ε是矩形帶),即(caa″a)ε∈W((ca)ε),又因存在x∈W(ca)∩,使得xεcaa″a.令a′=xc,則a′∈W(a),a(xc)εaa″axc(因RCP1)εaa″acaa″acε(aa″a)c.

      并且同理可得(xc)aεc(aa″a),因此aρaa″a.所以ρ是S上的正則同余.下面設aρ,bρ∈E(S/ρ),則存在e,f∈ES,使aρe,bef,因/ε是矩形帶,故efeρe,則(aba)ρa,即S/ρ是矩形群,因而ρ是S上的矩形群同余

      命題4 若ρ是S的矩形群同余,則(htrρ,kerρ)是S上的矩形群同余對且ρ=ρ(htrρ,kerρ).

      證明 由矩形群同余對定義只需證(htrρ,kerρ)滿足(RCP1)和(RCP2)即可.設a∈S,?a′∈W(a),由ρ是S上的正則同余,則存在a″∈W(a),使得aρaa″a,因此aa′ρaa″aa′,a′aρa′aa″a,其中aa′,a′a,aa″aa′,a′aa″a∈,則aa′htrρaa″

      aa′,a′ahtrρa′aa″a.從而滿足RCP1.設?a∈S,x∈,xa∈K,則(xa)ρ∈E(S/ρ).又因ρ是S的正則同余,則存在a″∈W(a)使得aρaa″a,又aρaa″aρaa″(xa)a″a,由aa″a″a∈ρaa″a″a(E(S/ρ)是矩形帶),因此aρ=(aa″a″a)ρ∈E(S/ρ),即a∈K,因此(htrρ,kerρ)是S上的矩形群同余對.

      下證ρ=ρ(htrρ,kerρ).設aρb,?a′∈W(a),故a′bρa′a,即a′b∈K.由a′∈W(aρ)=W(bρ),則存在b′∈W(b)使得a′ρb,因此aa′htrρbb′,a′ahtrρb′b,其中aa′,a′a,b′b,bb′∈ES.同理對?b′∈E(b),則存在a′∈W(a),使得b′a∈K,aa′htrρbb′,a′ahtrρb′b,即aρ(htrρ,kerρ)b,故ρ?ρ(htrρ,kerρ).

      反之,設aρ(htrρ,kerρ)b,a,b∈S,因ρ是S上的正則同余,則存在

      a″∈W(a),b″∈W(b),使得aρaa″a,bρbb″b,因而存在b′∈W(b),使得

      aa″htrρbb′,a″ahtrρb′b,a″b∈K.另一方面,存在a′∈W(a),使得aa′htrρbb′,a′ahtrρb″b,b′a∈K,因而

      aρ=(aa″a)ρ=(bb′a)ρ=(bb′ab′a)ρ=(aa″ab′a)ρ=(ab′a)ρ,和bρ=(bb″b)ρ=(aa′b)ρ=(aa′aa′b)ρ=(aa″bb″b)ρ=(aa″b)ρ,則aρb,即ρ?ρ(htrρ.kerρ),因此ρ=ρ(htrρ.kerρ).

      最后綜合命題1,2,3,4,即可證明定理1.

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      [4]Hanumantha R S.Group congruences on eventually regular semigroup[J].JAustral.Soc.,1988,45:320-325.

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      [7]Weipoltshammer B.Certain congruences on E-inverse E-semigroups[J].semigroup forum,2002,65(3):233-248.

      [8]Zheng H W.Group congruences on an E-inverse semigroup[J].Southest Asia Bull Math,1997,21(1):1-8.

      (責任編輯:陳衍峰)

      10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.016

      2016-04-22

      安徽省自然科學基金項目“GV-半群及其子系統(tǒng)格的理論和方法研究”(1308085QA12)

      王宇,安徽壽縣人,博士,碩士生導師,講師.

      O152.7

      A

      1008-7974(2016)04-0049-03

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