巧解雙曲線選擇題

唐和海

考查雙曲線的方程

例1 已知方程[x2m2+n-y23m2-n=1]表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是（ ）

A. （-1，3） B. （-1，[3]）

C. （0，3） D. （0，[3]）

解析 若[n≥0，]則[m2+n>0]，焦點(diǎn)落在[x]軸上.

若[n<0]，則[3m2-n>0].

由于[y23m2-n]前面有一個(gè)負(fù)號，

所以焦點(diǎn)仍落在[x]軸上.

所以[a2=m2+n]，[b2=3m2-n].

由[c=2]及[c2=a2+b2]得，[m2+n+3m2-n=4]，

解得，[m2=1].

因?yàn)榉匠蘙x21+n-y23-n=1]表示雙曲線，

所以[1+n>0，3-n>0，]即[-1

所以[n]的取值范圍是[-1，3].

答案 A

點(diǎn)評 本題只需將已知條件[2c=4]及基礎(chǔ)知識(shí)[a2]，[b2]大于0用上即可.

考查漸近線

例2 已知雙曲線C：[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的離心率為[52]，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）

A.y=[±14x] B.y=[±13x]

C.y=[±12x] D.y=±x

解析 ∵[e=ca=52]，∴[e2=c2a2=a2+b2a2=54].

∴a2=4b2，即[ba=±12].

∴所求漸近線方程為[y=±bax=±12x].

答案 C

點(diǎn)評 要求雙曲線的漸近線方程，只需將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，將方程中的1換成0，然后整理成直線方程即可. 本題由離心率及[c2=a2+b2]很容易求出[ba]的值.

考查離心率

例3 設(shè)直線[l]過雙曲線[C]的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線C的一條對稱軸垂直，[l]與雙曲線[C]交于A， B兩點(diǎn)，[|AB|]為雙曲線C的實(shí)軸長的2倍，則雙曲線C的離心率為（ ）

A. [2] B. [3]

C. [2] D. [3]

解析 由通徑[|AB|=2b2a=4a]得，[b2=2a2].

所以[c2-a2=2a2]，即[c2=3a2.] [∴e=3].

答案 B

點(diǎn)評 離心率屬于圓錐曲線中的高頻考點(diǎn)，其綜合性及靈活性都較高，一般都設(shè)置為中、高檔難度的題. 其實(shí)離心率問題的規(guī)律性也很強(qiáng)，只要基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，一般都能解決. 因?yàn)殡x心率[e=ca]，所以只要找到一個(gè)只含有[a，c]的齊次式即可. 而實(shí)際上要得到這樣的式子，需兩個(gè)含有[a，b，c]的式子，消去[b]即可. 根據(jù)雙曲線的定義，已經(jīng)有一個(gè)式子：[c2=a2+b2]，所以只需根據(jù)已知條件再得到一個(gè)等式即可. 如本題中的[2b2a=4a].

與其他知識(shí)的綜合

例4 等軸雙曲線[C]的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在[x]軸上，雙曲線[C]與拋物線[y2=16x]的準(zhǔn)線交于[A，B]兩點(diǎn)，[AB=43]，則雙曲線[C]的實(shí)軸長為（ ）

A.[2] B. [22]

C.[4] D. [8]

解析 由題意得，[A（-4，23）]，[B（-4，-23）]，

所以[a2=（-4）2-（23）2=4]，即[a=2].

答案 C

例5 已知F為雙曲線C：x2-my2=3m（m>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（ ）

A.[3] B.3

C.[3m] D.3m

解析 由題意得，雙曲線C為[x23m-y23=1]，則雙曲線的半焦距[c=3m+3]，漸近線方程為[y=±1mx]，即[x±m(xù)y=0].

不妨取右焦點(diǎn)[F3m+3，0]，

由點(diǎn)到直線的距離公式得，[d=3m+31+m=3].

答案 A

例6 已知[M（x0，y0）]是雙曲線[C：x22-y2=1]上的一點(diǎn)，[F1，F(xiàn)2]是雙曲線C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若[MF1?MF2<0]，則[y0]的取值范圍是（ ）

A. （-[33]，[33]） B. （-[36]，[36]）

C. （[-223]，[223]） D. （[-233]，[233]）

解析 由題意得，[F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）]，[x202-y20=1].

所以[MF1?MF2]=[（-3-x0，-y0）?（3-x0，-y0）]

=[x20+y20-3=3y20-1<0].

即[-33

答案 A

點(diǎn)評 解決這類問題只需將相關(guān)知識(shí)和已知條件結(jié)合用式子表達(dá)出來即可. 如例5中，只需將點(diǎn)到直線的距離公式寫出來，問題就解決了. 例6中，只需將向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示出來，然后通過雙曲線方程消去一個(gè)參數(shù)，問題也就迎刃而解了.

[練習(xí)]

1. 已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則雙曲線E的離心率為（ ）

A.[5] B.[2]

C.[3] D.[2]

2. 已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線C上.若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（ ）

A.[14] B.[13]

C.[24] D.[23]

3. 若橢圓[x2m+y2n=1m>n>0]與雙曲線[x2a-y2b=1][（a>b>0）]有相同的焦點(diǎn)[F1，F(xiàn)2，P]是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則[|PF1|·|PF2|]的值是（ ）

A. [m-a] B. [12m-a]

C. [m2-a2] D. [m-a]

4. 雙曲線[x2-y2=1]的一弦的中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為（ ）

A. [y=2x-1] B. [y=2x-2]

C. [y=2x-3] D. [y=2x+3]

5. 設(shè)[P]為雙曲線[x2-y212=1]上的一點(diǎn)，[F1，F(xiàn)2]是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若[|PF1|∶|PF2|=3∶2]，則[△PF1F2]的面積為（ ）

A. [63] B. [12]

C. [123] D. [24]

[參考答案]

1～5 DAACB