劉書海

【摘要】數(shù)論是中學數(shù)學競賽的一個重要考點，對學生的競賽成績有著類似中考高考壓軸題般的作用，由于它很少在常規(guī)學習中出現(xiàn)，故而需要有針對性的訓練，如果學習得當，短期內(nèi)成績也能取得很大的提高，但相對于整個數(shù)論學而言，中學數(shù)論只是其中很小的一部分。

【關(guān)鍵詞】質(zhì)數(shù) ?奇偶 ?整除 ?分類 ?因式分解 ?不等式

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2016）11-0110-02

中學數(shù)學競賽中的數(shù)論知識往往涉及到質(zhì)數(shù)、奇偶性、整除、因式分解等方面的知識，方法容易理解但難以想到，常常需要靈活的代數(shù)運算技巧和敏銳的觀察力，同時還需要嚴密的思維來進行討論，討論時參數(shù)限制條件的使用會使得過程大大簡化，而因式分解在很多時候會起到意想不到的效果，本文將就這些方面進行簡單的舉證。

例1.已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為30，求它的外接圓的面積 .

分析：題目的顯性條件是三角形周長為30，隱性條件是三邊滿足勾股定理，且三邊均為整數(shù)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出相應的式子再利用數(shù)論的知識進行簡單的討論即可得到結(jié)果.

例3.一個正整數(shù)除以5，7，9，11的余數(shù)依次是1，2，3，4，求滿足上述條件的最小的正整數(shù).

分析：據(jù)題意可列出不定方程，經(jīng)巧妙變形再利用最小公倍數(shù)的知識可得結(jié)果.

例4.

分析：由整數(shù)之間運算的封閉性及分數(shù)與整數(shù)的關(guān)系可列出相關(guān)的不等式，經(jīng)因式分解再結(jié)合已知條件討論可求得結(jié)果（別忘了檢驗）。

例5.

分析：根據(jù)有理數(shù)和根式的關(guān)系并結(jié)合一元二次方程根的判別式可列出相應的等式，再利用數(shù)的奇偶性經(jīng)討論可得結(jié)果。

分析：末位數(shù)相同則差為零，據(jù)此可考慮作差，通過嘗試可確定m，n的值，末兩位數(shù)相同則差可以被100整除，此時可借助二項式定理確定m-n的最小值.

分析：

例8.

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注：數(shù)論習題的解答很多都是必要而非充分條件，望各位同學能養(yǎng)成驗根的好習慣。

數(shù)論知識博大精深，限于個人能力和篇幅，只能就此進行簡單的講述，疏漏之處在所難免，希望數(shù)學愛好者和各位同仁不吝賜教，不勝感謝！如果能對同志諸君有所裨益，也不枉贅述。

參考文獻：

[1]南秀全，高中數(shù)學奧林匹克競賽2010詳解版（全國聯(lián)賽卷），武漢：湖北教育出版社，2009.4

[2]南秀全，高中數(shù)學奧林匹克競賽2012詳解版（全國聯(lián)賽卷），武漢：湖北教育出版社，2011.7

[3]南秀全，高中數(shù)學奧林匹克競賽2014詳解版（全國聯(lián)賽卷），武漢：湖北教育出版社，2013.2

[4]蔡小雄，全國高中數(shù)學聯(lián)賽（預測卷）（第三版），杭州：浙江大學出版社，2012.9