一道課本例題引出神奇圓錐曲線的三個美妙結(jié)論

武增明

人教2007年1月第2版，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書A版，數(shù)學(xué)選修44，坐標(biāo)系與參數(shù)方程，第38頁例4：

圖1如圖1所示，AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2.求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

筆者在探究此例題的解答思路時，看到|PA|·|PB|=|PC|·|PD|非常像圓的相交弦定理，由此想到，若A，B，C，D四點共圓， 則|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.進(jìn)一步思考，又看到∠1，π-∠2分別是直線AB，CD的傾斜角.再結(jié)合課本中給出的此例題的解答，通過計算可知，如圖1，若A，B，C，D四點共圓，那么∠1+（π-∠2）=π，即直線AB與直線CD的傾斜角互補(bǔ)，由此得，直線AB與直線CD的斜率互為相反數(shù).再進(jìn)一步深入探究，發(fā)現(xiàn)如下神奇圓錐曲線的三個美妙結(jié)論.

結(jié)論1如果一個橢圓與一個圓相交于A，B，C，D四點，那么四邊形ABCD的對邊所在的直線的斜率互為相反數(shù)，兩條對角線的斜率互為相反數(shù).

證明不妨設(shè)橢圓的方程為

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.①

若圓的圓心在原點O，如圖2，則由橢圓和圓的對稱性可知，四邊形ABCD是矩形，從而直線AD，BC的斜率都不存在，直線AB，DC的斜率都為O，直線AC與直線BD的斜率互為相反數(shù).

圖2圖3若圓的圓心不在原點O，如圖3.

下面證明直線AD與直線BC的斜率互為相反數(shù).

設(shè)直線AD與直線BC交于點P，設(shè)P（x0，y0），設(shè)直線AD，BC的傾斜角分別為α，β，則直線AD的參數(shù)方程為

直線AD與直線BC的斜率都不存在.

若α=π-β，則直線AD與直線BC的斜率互為相反數(shù).

證明直線AB與直線CD的斜率互為相反數(shù)，直線AC與直線BD的斜率互為相反數(shù)的方法仿上述證明直線AD與直線BC的斜率互為相反數(shù)，證明過程略.

結(jié)論2如果一個雙曲線與一個圓相交于A，B，C，D四點，那么四邊形ABCD的對邊所在的直線的斜率互為相反數(shù)，兩條對角線的斜率互為相反數(shù).

結(jié)論3如果一條拋物線與一個圓相交于A，B，C，D四點，那么四邊形ABCD的對邊所在的直線的斜率互為相反數(shù)，兩條對角線的斜率互為相反數(shù).

結(jié)論2、結(jié)論3的證法仿上述結(jié)論1，在這里略.

上述結(jié)論可統(tǒng)一為，如果A，B，C，D是圓錐曲線上任意四點，且四點共圓，那么四邊形ABCD的對邊所在的直線的斜率互為相反數(shù)，兩條對角線的斜率互為相反數(shù).

說明筆者查閱了大量的資料，沒有找到上述結(jié)論的證明記錄.在2013年11月第1版，聞杰老師編著的《神奇的圓錐曲線與解題秘訣》一書中的第140頁，用動態(tài)課件探究出了上述結(jié)論，但沒有給出證明.