不同的問(wèn)題 同一個(gè)模型

李兆龍

從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí).

例1 一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成2個(gè)半圓，分別標(biāo)為A、B.甲、乙2人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)則如下：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果指針指向相同的字母，那么甲得1分，如果指針指向不同的字母，那么乙得1分.做10次這樣的游戲，得分高的為贏家.你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？為什么？

【解析】P（指針指向相同的字母）=[12]，P（指針指向不同的字母）=[12]，游戲規(guī)則對(duì)雙方是公平的.

【反思】這個(gè)游戲與“拋硬幣游戲：拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，如果2次都出現(xiàn)正面朝上或反面朝上，那么甲得1分，否則乙得1分”是同一個(gè)概率模型.

【模型應(yīng)用】甲、乙、丙三位同學(xué)打乒乓球，想通過(guò)“手心手背”游戲來(lái)決定其中哪兩個(gè)人先打，規(guī)則如下：三個(gè)人同時(shí)各用一只手隨機(jī)出示手心或手背，若只有兩個(gè)人手勢(shì)相同（都是手心或都是手背），則這兩人先打，若三人手勢(shì)相同，則重新決定.那么通過(guò)一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是 .

【解析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與通過(guò)一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的情況，再利用概率公式即可求得答案.分別用A、B表示手心、手背.畫(huà)樹(shù)狀圖得：

∵共有8種等可能的結(jié)果，通過(guò)一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的有4種情況，

∴通過(guò)一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是：[48]=[12].

故答案為：[12].

【反思】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率.列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.上述問(wèn)題與拋硬幣游戲是同一個(gè)概率模型.將“手心手背”看成硬幣的正反面，此游戲相當(dāng)于將1枚均勻的硬幣拋擲3次.

嘗試練習(xí)：交通信號(hào)燈，俗稱“紅綠燈”，至今已有一百多年的歷史了.“紅燈停，綠燈行”這是我們必須遵守的交通規(guī)則.小剛每天騎自行車上學(xué)都要經(jīng)過(guò)三個(gè)安裝有紅燈和綠燈的路口.假如每個(gè)路口紅燈和綠燈亮的時(shí)間相同，那么，小剛從家出發(fā)去學(xué)校，他至少遇到一次紅燈的概率是多少？不遇紅燈的概率是多少？（提示：可以將上述問(wèn)題看成是拋硬幣概率模型的應(yīng)用.不遇紅燈的概率相當(dāng)于同時(shí)拋出3枚硬幣時(shí)3個(gè)反面都朝上的概率，即[18]，至少遇到1次紅燈的概率是[78].）

例2 某商場(chǎng)為某品牌冰箱舉辦有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，聘請(qǐng)甲、乙2名員工分別設(shè)計(jì)抽獎(jiǎng)方案，要求是：顧客每購(gòu)買1臺(tái)該品牌冰箱可獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，其中中大獎(jiǎng)的概率為0.1，中小獎(jiǎng)的概率為0.9.甲員工給出的設(shè)計(jì)方案是：準(zhǔn)備10張相同的紙條，并在其中1張紙條上畫(huà)上記號(hào)，把它們放在1個(gè)盒子中，攪勻后從中任意抽取1張紙條，抽到紙條上畫(huà)有記號(hào)的顧客中大獎(jiǎng)，否則中小獎(jiǎng)；乙員工給出的設(shè)計(jì)方案是：在1個(gè)盒子中放入2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出2個(gè)球，摸到2個(gè)紅球的顧客中大獎(jiǎng)，否則中小獎(jiǎng).

（1）甲、乙2名員工的設(shè)計(jì)方案符合商場(chǎng)的要求嗎？為什么？

（2）請(qǐng)舉出一些事件，它們發(fā)生的概率都是0.1.

【解析】（1）根據(jù)甲、乙2名員工的設(shè)計(jì)方案，可求得顧客中大獎(jiǎng)的概率都是0.1，中小獎(jiǎng)的概率都是0.9，甲、乙2名員工的設(shè)計(jì)方案都符合商場(chǎng)的要求.

（2）例如，把1個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)分為10個(gè)面積相等的扇形，其中紅色扇形1個(gè)，黃色扇形3個(gè)，白色扇形6個(gè)，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在紅色區(qū)域的概率是0.1.

【反思】概率是描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，不同的問(wèn)題往往可以歸結(jié)為同一個(gè)概率模型.

【模型應(yīng)用】（2015·江蘇徐州）小明參加某網(wǎng)店的“翻牌抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，如圖，4張牌分別對(duì)應(yīng)價(jià)值5，10，15，20（單位：元）的4件獎(jiǎng)品.

（1）如果隨機(jī)翻1張牌，那么抽中20元獎(jiǎng)品的概率為 .

（2）如果隨機(jī)翻2張牌，且第一次翻過(guò)的牌不再參加下次翻牌，則所獲獎(jiǎng)品總值不低于30元的概率為多少？

【解析】（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，據(jù)此用1除以4，求出抽中20元獎(jiǎng)品的概率為多少即可，答案為25%.

（2）首先用樹(shù)狀圖法列舉出隨機(jī)翻2張牌所獲獎(jiǎng)品的總值一共有多少種情況，然后用所獲獎(jiǎng)品總值不低于30元的情況的數(shù)量除以所有情況的數(shù)量，求出所獲獎(jiǎng)品總值不低于30元的概率為多少即可.

∵所獲獎(jiǎng)品總值不低于30元有4種情況：30元、35元、30元、35元，

∴所獲獎(jiǎng)品總值不低于30元的概率為：[13].

【反思】此題主要考查了概率公式，還可以用枚舉法.

課本在估計(jì)魚(yú)塘內(nèi)青魚(yú)的條數(shù)問(wèn)題中，運(yùn)用“卡通人”的提示：“把魚(yú)塘內(nèi)的青魚(yú)看成‘紅球”“往魚(yú)塘內(nèi)投放若干條白魚(yú)，把白魚(yú)看成‘白球”，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，讓我們感受到不同的問(wèn)題往往可以歸結(jié)為同一個(gè)概率模型的模型思想.同學(xué)們，隨著我們知識(shí)的學(xué)習(xí)和積累，我們會(huì)認(rèn)識(shí)更多的概率模型，會(huì)合理地解釋生活中的概率問(wèn)題，充分感受到不同的問(wèn)題往往可以歸結(jié)為同一個(gè)概率模型.

（作者單位：江蘇省淮安曙光雙語(yǔ)學(xué)校）