江蘇省淮陰師范學(xué)院附屬中學(xué) 竇劍眉

高中數(shù)學(xué)重要的思想方法
——函數(shù)與方程思想

江蘇省淮陰師范學(xué)院附屬中學(xué) 竇劍眉

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，也是高考考查的重要思想方法之一。 函數(shù)與方程思想以函數(shù)知識做基石，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析、研究數(shù)學(xué)對象間的數(shù)量關(guān)系，使函數(shù)知識的應(yīng)用得到極大的擴(kuò)展，豐富并優(yōu)化了數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，給數(shù)學(xué)解題帶來很強(qiáng)的創(chuàng)新能力。 因此，函數(shù)與方程思想越來越成為數(shù)學(xué)高考中長考不衰的熱點(diǎn)。

函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化；應(yīng)用

函數(shù)與方程思想就是高中數(shù)學(xué)的常用思想方法之一，也是歷年高考長考不衰的熱點(diǎn)。函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系十分密切，解方程f(x)=0，就是求函數(shù)y=f(x)當(dāng)函數(shù)值為零時(shí)自變量x的值；求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個(gè)數(shù)，就是求函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)；參數(shù)方程更具有函數(shù)因素，屬于能隨參數(shù)的變化而變化的動(dòng)態(tài)方程。它所研究的數(shù)學(xué)對象已經(jīng)不是一些孤立的點(diǎn)，而是具有某種共性的幾何曲線。 正是這些聯(lián)系，促成了函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的互化互換，豐富了數(shù)學(xué)解題的思想寶庫。

下面我將結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，對“函數(shù)與方程”在解題中的運(yùn)用及其求解策略進(jìn)行初步分析，以期起到拋磚引玉的作用。

一、 函數(shù)與方程思想在應(yīng)用時(shí)的相互轉(zhuǎn)化

例1 如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范圍。

【分析】：可分離變量為a＝－cos2x＋sinx，轉(zhuǎn)化為確定的相關(guān)函數(shù)的值域。

解法一：把方程變形為a＝－cos2x＋sinx。

設(shè)f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])。顯然當(dāng)且僅當(dāng)a屬于f(x)的值域時(shí)，a＝f(x)有解。

易求得f(x)的值域?yàn)?－1，1]。

解法二：令t＝sinx，由x∈(0，]，可得t∈(0，1]。將方程變?yōu)閠2＋t－1－a＝0。

依題意，該方程在(0，1]上有解。設(shè)f(t)＝t2＋t－1－a。

其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸t＝－。

【評注】研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決。

二、 函數(shù)與方程思想在求最值或參數(shù)范圍中的應(yīng)用

【分析】參數(shù)a隱含在一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于a的不等式（組）非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把a(bǔ)分離出來，重新認(rèn)識a與其他變元(x)的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，?？墒乖瓎栴}“柳暗花明”。

三、函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用

例3 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0 。

①求公差d的取值范圍； ②指出S1、S2、…、S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由。

【分析】： ①問利用公式an與Sn建立不等式，容易求解d的范圍；②問利用Sn是n的二次函數(shù)，將Sn中哪一個(gè)值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時(shí)Sn取最大值的函數(shù)最值問題。

【評注】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進(jìn)行算式化，從而簡潔明快。由此可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活運(yùn)用、巧妙結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性。

總之，綜觀高中數(shù)學(xué)，函數(shù)的圖象及性質(zhì)在解題中的應(yīng)用非常廣泛，而函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)最重要也是最常用的思想方法之一，在解題中數(shù)學(xué)老師要做好函數(shù)與方程關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，啟發(fā)學(xué)生深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)——數(shù)學(xué)知識的精髓，才能將知識轉(zhuǎn)化為能力，才能提高學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決問題的能力。