☉江蘇省鹽城市亭湖高級(jí)中學(xué) 侍昌亞

高中數(shù)學(xué)解題中換元法的運(yùn)用

☉江蘇省鹽城市亭湖高級(jí)中學(xué) 侍昌亞

換元法是高中數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題方法.在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中有很多比較復(fù)雜的或者存在兩個(gè)及兩個(gè)以上未知條件的數(shù)學(xué)題，解題時(shí)根據(jù)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，適時(shí)地轉(zhuǎn)化題目中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)各個(gè)變量間的條件轉(zhuǎn)換，把一種問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一種問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化整個(gè)解題過(guò)程.換元的方法有很多，比如函數(shù)換元、等量以及不等量換元、變量換元、三角函數(shù)換元等等，在數(shù)學(xué)解題時(shí)，如果能靈活運(yùn)用換元法，不僅能有效地鍛煉學(xué)生的思維敏捷性，而且能有效地提高學(xué)生的思維能力.下面筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐分析各種換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活應(yīng)用.

一、通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系換元

三角換元在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用比較廣泛，它的解題思路有一定的技巧性，運(yùn)用三角換元解題，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.利用三角換元解題的主旨是：通過(guò)適當(dāng)?shù)娜菗Q元，將代數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)化為三角表達(dá)，進(jìn)而把代數(shù)式的證明或解答轉(zhuǎn)化為三角式的證明和解答，從而起到理順?biāo)悸?、?jiǎn)化題目的作用.有時(shí)利用同角的三角關(guān)系，有時(shí)利用輔助角公式（其中a、b是不為零的實(shí)數(shù)，φ角由確定），由此簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題效率.

例1 已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2-xy+y2=1，求x2-y2的取值范圍.

解：設(shè)x=ρcosθ，y=ρsinθ，則ρ2-ρ2sinθcosθ=1，即ρ2=cos2θ=2k，（其中由三角函數(shù)的有界性得即

二、通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)換元

通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)達(dá)到換元的目的是一種重要的解題思想方法.函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，它具有工具性和導(dǎo)向性.許多問(wèn)題都可以通過(guò)巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，使得原本撲朔迷離的問(wèn)題變得直觀(guān)明了，變得可程序化.因此，在教學(xué)中應(yīng)該重視這種方法的引導(dǎo)和滲透，同時(shí)還要加強(qiáng)訓(xùn)練，及時(shí)歸納總結(jié)，才有利于方法的掌握和運(yùn)用.

解：當(dāng)m=1，a＜0時(shí)，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞）.

所以f（x）在［3，4］上為增函數(shù).

設(shè)h（x）=1=ex，

g（x） ex

所以h（′x）=ex-（1xx2-1）＞0在［3，4］恒成立，

所以h（x）在［3，4］上為增函數(shù).

則u（x）在［3，4］為減函數(shù).

所以v′（x）＜0，v（x）為減函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：在解題中構(gòu)造輔助函數(shù)方法靈活多樣，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，弄清原問(wèn)題和輔助函數(shù)的直接或間接聯(lián)系，通過(guò)大膽聯(lián)想、猜測(cè)、推理，就可以構(gòu)造出合理的輔助函數(shù)，進(jìn)而使問(wèn)題順利解決.但一定要注意原問(wèn)題和輔助問(wèn)題的等價(jià)性.掌握這種方法，不但能開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，還能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力.

三、通過(guò)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行換元

形如y=f［f（x）］的復(fù)合函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，在近幾年的高考中屢見(jiàn)不鮮，常以壓軸選擇題或填空題的形式考查，有時(shí)關(guān)于該類(lèi)問(wèn)題的解答通常為分類(lèi)討論，過(guò)程繁雜且不易于學(xué)生接受，更談不上舉一反三、觸類(lèi)旁通了.筆者從復(fù)合函數(shù)角度出發(fā)，利用換元思想，輕松便捷地解決此類(lèi)問(wèn)題.

通過(guò)換元，借助函數(shù)y=f（t）和y=2t的圖像可解決分解問(wèn)題1（圖1）：

圖1

圖2

由圖1知，滿(mǎn)足f（t）=2t的t的取值范圍是t≥1，而t的取值范圍與a的取值范圍又有關(guān)聯(lián)，即f（a）≥1.借助函數(shù)t= f（a）的圖像解決分解問(wèn)題2（圖2）：

點(diǎn)評(píng)：在此例中，先進(jìn)行換元，將復(fù)合函數(shù)y=f［f（x）］利用換元思想寫(xiě)成兩個(gè)函數(shù)y=f（t）和t=f（x）；再在直角坐標(biāo)系tOy和直角坐標(biāo)系xOt中畫(huà)出函數(shù)y=f（t）和t=f（x）的圖像.一般情況下，兩幅函數(shù)圖像應(yīng)該不一致，只有當(dāng)自變量t與自變量x的取值范圍相同時(shí)，圖像保持一致.但在具體作圖中，未考慮自變量t與自變量x的取值范圍，將兩幅圖畫(huà)得完全一致，也不影響解題；最后借助直角坐標(biāo)系tOy中，借助函數(shù)y=f（t）的圖像求出t的范圍（分解問(wèn)題1），再在直角坐標(biāo)系xOt中，利用函數(shù)t=f（x）的圖像求出x的范圍（分解問(wèn)題2）.以上解法很好地回避了分類(lèi)討論過(guò)程，將整個(gè)解題過(guò)程以圖形方式直觀(guān)地呈現(xiàn)出來(lái)，易于學(xué)生理解與接受，同時(shí)注重了函數(shù)教學(xué)中需強(qiáng)化的數(shù)形結(jié)合思想.

四、通過(guò)對(duì)函數(shù)變量整體進(jìn)行換元

在高中數(shù)學(xué)中很多函數(shù)都是在已知函數(shù)相關(guān)等式的前提下，求相關(guān)的函數(shù)值，如果函數(shù)值比較復(fù)雜時(shí)，學(xué)生往往會(huì)被題目復(fù)雜的表面所困，實(shí)際上解答此類(lèi)問(wèn)題可以用換元簡(jiǎn)化函數(shù)等式，使復(fù)雜的函數(shù)得到簡(jiǎn)化，從而使學(xué)生輕而易舉的解出函數(shù)值，掌握解題思路，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力.

例4 已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，同時(shí)f（x-2）=-f（x），f（1）=-1.

（Ⅰ）請(qǐng)求證：f（x+2）=f（x-2）；

（Ⅱ）請(qǐng)計(jì)算出f（2005）的值.

解：（Ⅰ）證明：通過(guò)上述分析可知，f（x-2）=-f（x），所以，f（x）=-f（x-2），然后可以采用變量換元法將x變換為x+2，代入f（x）=-f（x-2）中可以得到f（x+2）=-f（x），因此f（x+2）=f（x-2）.

（Ⅱ）通過(guò)（Ⅰ）我們可知，f（x+2）=f（x-2），然后由f（x+2）=f（x-2）可以采用換元法將x變換成為x-2代入其中，最后可以得到f（x-2+2）=f（x-2-2），f（x）=f（x-4）.

因此f（2005）=f（2001）=…=f（1）=-1.

總之，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，換元法是一種比較常用的解題方法，它不僅能簡(jiǎn)化解題過(guò)程，而且?guī)椭鷮W(xué)生分析解題思路，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，靈活運(yùn)用多種不同形式的換元法能將復(fù)雜而煩瑣的數(shù)學(xué)題簡(jiǎn)化計(jì)算，收到奇妙的效果，使學(xué)生不再畏懼?jǐn)?shù)學(xué)計(jì)算.所以在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中一定要綜合運(yùn)用歸納、猜想、假設(shè)、數(shù)形結(jié)合以及等量轉(zhuǎn)化等相關(guān)的數(shù)學(xué)方式解決疑難問(wèn)題，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)解題思路，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.