◇ 江蘇 季明峰

關(guān)于數(shù)列通項公式求解的分類討論

◇ 江蘇 季明峰

數(shù)列問題在高考中是C級要求,數(shù)列通項公式的求解是數(shù)列的重要知識點,而根據(jù)問題情境以及所給題設(shè)的不同,有累加法、累乘法、降項作差法、待定系數(shù)法等不同的處理方式,因此,需要對數(shù)列通項公式的求解進行歸類討論.

1 一道調(diào)研試題引發(fā)的思考

數(shù)列通項的求解在高中數(shù)學(xué)里占有十分重要的地位,它存在多種處理方式,2016年南通市高三第一次調(diào)研試卷第20題的通項求解,將筆者的思維引向了通項求解的歸納與整理上.

例若數(shù)列{an}中存在3項按照一定次序排列能構(gòu)成等比數(shù)列,稱數(shù)列{an}為等比源數(shù)列,數(shù)列{an}中a1＝2,an＋1＝2an－1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式.

(2)判斷數(shù)列{an}是否為等比源數(shù)列.

解析

點評

這種問題是典型的降項作差法,其題設(shè)條件如an＋1＝kan＋b.但實際情境中學(xué)生遇到的題設(shè)并不僅限于這種類型,表達形式還有諸如an＋1＝an＋f(n)、an＋1＝an·f(n)(an≠0)、an＋1＝kan＋b以及an＋1＝kan＋ban－1(an＋1＝kan＋f(n))等,每種形式會對應(yīng)著一種處理方式,需要歸類解析.

2 常見形式的數(shù)列通項求解歸納

1)型如an＋1＝an＋f(n)用累加法.

觀察an＋1＝an＋f(n)的表達式,不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列的后一項與前一項之差f(n)是關(guān)于n的一個離散型函數(shù),其自變量與前一項an的下標(biāo)相同,故有an＋1－an＝f(n),an－an－1＝f(n－1),an－1－an－2＝f(n－2),…,a2－a1＝f(1).這與等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)過程相似,由此得到啟示,型如an＋1＝an＋f(n)的問題用累加法得an＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1.需要說明的是利用累加法求得通項公式時應(yīng)當(dāng)驗證n＝1時,a1與所求通項公式是否相匹配.

2)型如an＋1＝an·f(n)(an≠0)用累乘法.

3)型如an＋1＝kan＋b用降項作差法.

例1就屬于這種類型.由于數(shù)列的后一項總等于前一項加上一個常數(shù),因此通過降項可得到an和an－1的關(guān)系an＝kan－1＋b.將2式作差,不難發(fā)現(xiàn)

4)型如an＋1＝kan＋ban－1或an＋1＝kan＋f(n)用待定系數(shù)法.

當(dāng)問題情境所給題設(shè)條件為an＋1＝kan＋ban－1或an＋1＝kan＋f(n)時,由于降項相減的法則,只能適用于所加項為常數(shù)的情境,而此時等式右側(cè)所加項是一個關(guān)于n的表達式,降項相減不能適用,但可以從中得到破題的啟示.以an＋1＝kan＋ban－1為例,給等式左、右側(cè)各配上一個m·an,則可得an＋1＋m·an＝(k＋m)an＋ban－1,提取(k＋m)后得,則可得到的值為常數(shù)t(t＝k＋m),從而將原的問題轉(zhuǎn)化成型如an＋1＋m·an＝t(an＋man－1)的問題,如此可用等比數(shù)列的方式做后續(xù)處理.

(作者單位:江蘇省大豐市南陽中學(xué)(大豐港校區(qū)))