新課程概率統(tǒng)計學(xué)生易混淆問題

吳永峰

摘要：新課程改革下，高考對于概率統(tǒng)計問題的考查側(cè)重點發(fā)生了變化，其中理科的獨立重復(fù)實驗和排列組合問題、文科的古典概型的列舉問題和線性規(guī)劃的問題加強了考查的力度，而這些問題學(xué)生在復(fù)習(xí)中容易產(chǎn)生混淆，本文結(jié)合自己的教學(xué)體會，分別從文科和理科兩方面對以上問題進行闡述。

關(guān)鍵詞：文科；古典概型的列舉；線性規(guī)劃；理科；獨立重復(fù)實驗；排列組合

一.引言

高中新課程改革之前，概率試題注重對四個基本公式的考查，即對等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式；獨立事件的概率乘法公式；事件在 次獨立重復(fù)試驗中恰發(fā)生 次的概率的考查。高中新課程改革之后，概率的考查更多與統(tǒng)計結(jié)合，結(jié)合莖葉圖和頻率直方圖，理科重點考察隨機變量、分布列、數(shù)學(xué)期望，文科側(cè)重抽樣方法和總體分布估計，文理科均以古典概型和幾何概型為考查重點。

二.文理科概率混淆點

高考復(fù)習(xí)中，在概率統(tǒng)計的復(fù)習(xí)中學(xué)生遇到了一些容易出現(xiàn)了混淆的問題。

理科學(xué)生混淆的問題主要是獨立重復(fù)實驗和排列組合問題；文科主要是古典概型的列舉問題和線性規(guī)劃的問題。

1.文科常規(guī)題

例：一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機抽取一個球，將其編號記為 ，然后從袋中余下的三個球中再隨機抽取一個球，將其編號記為 .求關(guān)于 的一元二次方程 有實根的概率；

（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n.若以 作為點P的坐標(biāo)，求點P落在區(qū)域 內(nèi)的概率.

解答：（1）基本事件（a，b）有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）

共12種。

∵ 有實根，∴△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。

記“ 有實根”為事件A，則A包含的事件有：

（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）共6種。

∴P（A）= 。

（2）基本事件（m，n）有：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）

（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）

（4，3）（4，4）共16種。

記 “點P落在區(qū)域 內(nèi)”為事件B，則B包含的事件有：

（1，1）（2，1）（2，2）（3，1）共4種。∴P（B）= 。

此類問題的第二問顯然是古典概型的列舉問題。學(xué)生也容易看出。但在下列兩類題型一放在一起時學(xué)生就難區(qū)分是古典概型還是線性規(guī)劃問題了。

2.文科混淆題

某水泥廠甲、乙兩個車間包裝水泥，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：

甲：102，101，99，98，103，98，99

乙：110，115，90，85，75，115，110

（1）畫出這兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖；

（2）求出這兩組數(shù)據(jù)的平均值和方差（用分?jǐn)?shù)表示）；并說明哪個車間的產(chǎn)品較穩(wěn)定.

（3）從甲中任取一個數(shù)據(jù)x ，從乙中任取一個數(shù)據(jù)y ，求滿足條件 的概率.

解答：（1）莖葉圖略

評析：這兩個題型中的第三問，極易混淆，但仔細(xì)審題之后，會發(fā)現(xiàn)題型一中的關(guān)鍵詞“若干次訓(xùn)練成績中隨機抽取6次”，最后是研究甲乙的成績狀況，是由樣本研究總體的問題，所以是線性規(guī)劃問題；而題型二則是直接從甲乙中各取出一個，研究的就是樣本中的數(shù)據(jù)問題，所以是古典概型問題，這兩個問題如不仔細(xì)審題極其容易混淆，這也是教師的一個教學(xué)難點。

3.理科常規(guī)題

例：甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，其中甲袋裝有1個紅球，4個白球；乙袋裝有2個紅球，3個白球?，F(xiàn)從甲、乙兩袋中各任取2個球。

（1）用 表示取到的4個球中紅球的個數(shù)，求 的分布列及 的數(shù)學(xué)期望；

（2）求取到的4個球中至少有2個紅球的概率.

解答：（1） ，

某市 年 月 日— 月 日（ 天）對空氣質(zhì)量指數(shù) 進行監(jiān)測，獲得數(shù)據(jù)后得到如下條形圖：

（1）估計該城市一個月內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的概率；

（2）在上述30個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè) 為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)的天數(shù)，求 的分布列.

解答：（1）由條形統(tǒng)計圖可知，空氣質(zhì)量類別為良的天數(shù)為 天，

所以此次監(jiān)測結(jié)果中空氣質(zhì)量類別為良的概率為P= .

（2）隨機變量 的可能取值為 ，則

， ，

所以 的分布列為：

概率與統(tǒng)計是高考數(shù)學(xué)解答題考察的六大題型之一，所以教師務(wù)必對這些問題要非常清晰的分析到位，否則失分較多，給學(xué)生的復(fù)習(xí)帶來嚴(yán)重的隱患，謹(jǐn)以此篇文章略談自己的一點看法，希望與高中數(shù)學(xué)老師共勉，提出寶貴意見！

參考文獻：

[1]近幾年課改城市高考真題或模擬試題